湖南大学
硕士学位论文
我国商品期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
姓名：曹建军
申请学位级别：硕士
专业：金融学
指导教师：戴晓凤
20071010
我国商^占期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
摘要
商品期货的期限结构指的是商品期货的价格与不同到期期限的关系。因为期限
结构综合了市场上所有能够获得的信息和操作者对将来的预期，因此，它能为套
期保值与投资决策提供非常有用的信息，从而有利于现货市场的风险管理，市场
可据此调整现货的存货水平和生产率，同时也可以利用这些信息来进行套利交易。
本文首先分析和比较了期限结构理论与传统的商品期货的定价理论，得出的结
论是：给商品期货定价的传统理论并不是很好的定价工具，而商品期货的期限结
构理论能够很好地解决不同到期期限的商品期货的定价问题。接着，本文介绍了
三个著名的期限结构模型，并选取上海期货交易所的合约铜在2003年12月22日
到2007年8月19日之间190个周数据样本，运用卡尔曼滤波方法，对三个期限
结构模型在我国铜商品期货期限结构中进行了实证检验。最后，本文比较和分析
了三个期限结构模型在我国铜商品期货期限结构中的实证结果，结果显示，双因
素模型和三因素模型适合我国铜商品期货期限结构，而单因素模型估计的误差较
大，不适合我国铜商品期货期限结构。
总之，研究商品期货的期限结构，不仅可以解决商品期货的定价问题，而且能
够为套期保值和投资决策提供有价值的参考信息，具有重要的理论意义和实践意
义。
关键词：中国商品期货市场，期限结构，卡尔曼滤波，因素模型
lI
硕十学位论文
Abstract
’Ihe C0mmodlt，，fhture t蹦n s觚lcture is defined嬲廿1e r科ationsllip betweell the
如tul．eS prices aIld me di行brerlt mat嘶ties．Because it syIlthesizes all the info肌ation
available in the m破et锄d the operatorS’expectatiollS C0ncenliIlgⅡle矗mlre，Ⅱlus it c觚
provide Ve巧uSe如l iIlfom撕on forhed百ng aIld inVe蚰ent锄d it is help伽for me risk
manag锄em pl印os懿iIl me spot market．It can also be used to adjust tlle stock leVer or
the production rate觚d to undenake arbitrage transaCtio璐．
This dissenation龇alyses and compares me CoIll]modi够向turc t锄s仇劬】re
廿leofy锄d me觚ditional pricing tlleory at first，Ⅱ心conClllsion is tllat tlle latter is not a
舀)0d pricing memod，onⅡle con心a巧Ⅱle p—cing problem向rⅡle commodity如turc of
dif王确lt ma咖jties c锄be∞lVed perf．ectly印plyiIlg me coIImod埘fim鹏t锄
咖cturc the0吼Secondly，Ⅱ1】旧e f．amous tenn S仃咖models are preseIlted iIl tllis
mesis觚d be t姻ted elllpirically iIl Cllin豁e copper如tIlre tenn stmcture applying tlle
Kalm锄Filter memod，b懿cd on tlle week data s锄pl鹤of copp盯con仃act of Sh雒gllai
fhtureS eXCh姐gc fbom Dec．22，2003 t0 Aug．1 9，2007．Finally，廿lis diss鲥ati∞
aIlalyses锄d comparesⅡle above即叩irical砌mlts，wrhich indicates mat me伽o f．act0I．s
tem s缸1】ctI】re model锄d 1he t11ree f．actors te]Hn s缸1lctul．c model aI．c fitted to tlle
Chill器e copper如ture t蹦n s加】ctur岛butⅡle siIl哲e‰r model is not s0 bccause of
it’s s仃ongcr premction e盯or．
hl a word，Ⅱ心research for me commodity觚re term stmcture is important锄d
si朗i6c锄t廿leoretically孤d praIctically，tllfougll砌ch not oIlly me埘Cing problem of
me c0舢mod时fim鹏caIl be solVed but also much more use如l infonnation forhcd百ng
and invesnnent can be avail a．ble．
1(ey words： Chinese commodi坶futll№s market； term stmctlIn；
Kalman脚ter； factor models．
III
我国商。u1期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
插图索引
图3．1铜期货到期期限(Fl、F3、F5、F7、F9)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．22
图3．2单因素模型估计的状态变量与铜期货价格：2003．12·2007．8⋯⋯⋯⋯．23
图3．3双因素模型估计的状态变量与铜期货价格：2003．12．2007．8⋯⋯⋯⋯．25
图4．1模型估计出的期限结构与市场期限结构对比图：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．29
图4．2模型估计出的期限结构与市场期限结构对比图：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．29
图4．3期限结构模型与实际期货价格波动率期限结构对比图：⋯⋯⋯⋯⋯．．33
VI
硕十学位论文
附表索引
表3．1 2003．12．22．2007．08．19 190个周观察数据⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22
表3．2单因素模型实证检验结果：铜(对数价格)⋯⋯⋯⋯⋯：．．⋯⋯⋯⋯⋯23
表3．3模型预测误差⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一24
表3．4双因素模型实证检验结果：铜(对数价格)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25
表3．5双因素模型预测误差：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．26
表3．6三因素模型实证检验结果：铜(对数价格)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯27
表3．7三因素模型预测误差：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．28
表4．1三个因素模型横截面预测误差比较：2003．12．22．2007．8．19⋯⋯⋯⋯：．．30
表4．2三个因素模型时间序列预测误差比较：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．3l
VII
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得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其
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由本文承担。
作者签名：嘴连笨日期：：一七年+一月；十六日
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日期：；一七年斗．月二斗÷．日
日期：：刃t年千．月：十六日
硕十学位论文
第1章绪论
1．1问题的提出及现实意义
期货业是风险管理行业，其本身也存在一定的风险，期货的价格一直都受
到监管当局和投资者的高度重视和密切关注。
传统的给商品期货定价的理论是在风险中性的条件下，运用无套利定价理
论，通过构建不同的投资组合，使得两者的现值相等从而得到期货的价格。但商
品期货市场是不完全的市场，实物资产市场上的套利机会远没有大多数金融资产
市场那么大，所以给商品期货定价不可能在风险中性的条件下，运用无套利定价
理论实现。这样，传统的给商品期货定价的理论存在很严重的缺陷。而商品期货
的期限结构理论从商品期货价格是状态变量(时间或到期时间，现货价格，便利
收益等)的函数出发，假设状态变量(现货价格和便利收益等)遵循不同的动态
过程，运用伊滕引理得到期货价格的动态模型，通过求解期货价格满足的偏微分
方程，得到偏微分方程的闭式解，从而得出商品期货的价格，从另一角度解决商
品期货的定价问题。本文意欲把这一新的商品期贫定价理论运用到我国铜期货市
场，用实证的方法分析我国铜期货市场的期限结构，并描绘出相应的商品期货价
格的期限结构曲线。
本文的意义在于：为我国铜期货市场的期限结构提供一个实证支持。实证
结果不仅可以检验我国铜期货市场期限结构，而且也为铜期货市场交易者做套期
保值和投资决策提供有价值的参考信息。
1．2相关研究回顾
1．2．1传统的商品期货定价理论
(1)预期假设理论
该理论认为：在风险中性的条件下，期货价格等于未来现货价格的期望值，
F．E(墨)，由于空头的预期盈利为F．E(品)，多头的为E(品)-F，因此由预期假设可得双
方的预期盈利为O．
我国商品期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
在市场不存在非确定性的条件下，预期假设理论有其合理性，但是当市场
存在不确定性时，期货价格就不一定等于未来现货价格的期望值，这时就应该考
虑风险补偿。
(2)交割延期理论
20世纪30年代，凯恩斯(JotHl MayIlard Keynes)和希克斯(JollIl Hicks)
提出正常现货升水理论．该理论认为在正常情况下，远期价格低于现货价格(即现
货升水)．他们假设套期保值者倾向于做空头，而投机者倾向于做多头．期货价格与
到期期望现价之间存在一个正的风险溢价，它是对投机者承担的风险的补偿，该
风险补偿亦称为“卖方付给买方的正常交割延期费用”，投机者只有在预期期货
价格上涨的情况下才会买进期货，令F代表当前期货价格，S为未来现货价格，
n为延期交割费用，那么该理论表明：
E(墨)=F+n． (1．1)
(3)现代资产组合理论
现代资产组合理论理论所采用的方法是套利定价法。其基本思路为：构建两
种投资组合让其终值相等，则其现值一定相等。否则的话，就可以进行套利，即
卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就
可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下
降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值
相等。
设U为期货合约有效期间所有存储成本的现值，则期货价格为F-(s+u)矿‘卜¨。
若任何时刻的存储成本与商品价格成一定的比例，存储成本可看作是负的红利收
益率，则F=s P(mx卜‘’(u是每年的存储成本与现货价格的比例)。
在实际中，商品持有者一定会感到持有实实在在的商品比持有期货合约是有
好处的， 这些好处包括：从暂时的当地商品短缺中获利或者具有维持生产线运行
的能力，这些好好处成为商品的便利收益(用c表示)。便利收益反映了市场对未
来商品可获得性的期望。在期货合约有效期间商品短缺的可能性越大，则便利收
益就越高。若商品持有者拥有大量的库存，则在将来出现商品短缺的可能性就越
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硕十学位论文
小，从而便利收益就比较低。另一方面，较低库存会导致较高的便利收益。
考虑了便利收益后，商品期货的价格可表示为：F-sPp”刊～’。(1．2)
1．2．2商品期货价格的期限结构理论
(1)现货与期货价格关系的传统理论
1930年凯恩斯提出正常现货升水理论。该理论认为在正常情况下，远期价格
低于现货价格(即现货升水)，因此，他假设套期保值者倾向于做空头，而投机者倾
向于做多头。期货价格与到期期货现价之问存在一个正的风险溢价，它是对投机
者承担的风险的补偿，而投机者只有在预期期货价格上涨的情况下，才会买进期
货。但是，DlIsal【(1973)，Bodie觚d Rosalll【y(1980)，黜chard锄d SudaresaIl(1981)，
以及Bessembinder(1993)等通过实证研究发现，对于同样的期货市场和不同的
到期期限，既存在现货升水，也存在远期升水。为了进一步解释商品市场上期货
价格与现货价格的关系， Kaldor(1939)提出了便利收益的概念，从而创立了存
储理论。Br翎na(1958)指出便利收益C与现货价格S正相关且是存货水平的反
函数。从传统的存储理论可得到三个结论：(1)期货价格至少受三个变量，即现货
价格、便利收益和利率的影响；(2)c和S正相关且是储存水乎的反函数；(3)便利
收益具有不对称性，当期货升水时，便利收益不超过储存成本且比较稳定，但当
现货升水时，便利收益没有此限制且波动大。
从1930年到1960年，期货市场上的交割期限一般不超过一年。随着市场的发
展，商品期货合约的期限也不断延长，但传统理论无法准确地解释较长期限的期
货价格与现货价格的关系。
凯恩斯认为，当考虑较长期限的价格曲线时，沿着该曲线会出现现货升水和期
货升水并存，这一现象是由于市场上对于某一到期期限的期货的供求不平衡造成
的，为了缓和这种不平衡，市场就会将风险溢价补偿给承担风险的投机者。
Modi西iaIli锄d sutch(1966)指出商品期货价格的期限结构可以看作是由一系列不
同到期期限的期货组成，市场参与者根据自己的需要选择不同到期期限的期货。
而存储理论则用商品供求的季节性变化来解释商品期货期限延长后现货升水和期
货升水并存的期限结构，但是，季节性因素不是偶然的也不是不可预测的。
为此，Gabillon(1995)指出随着期限的延长，必须引进新的用于解释期限结
我f目商品j{『J货价格．}c}j限结构的实证研究：以铜为例
构的变量。他从研究原油价格的期限结构出发，把原油价格的期限结构划分为两
个不同的部分：第一部分是较短期限部分(第1个月到第18个月)，这一部分主要
用于套期保值，解释这部分价格关系的变量主要有产量、消费和存货水平。第二
部分是较长的期限部分，这一部分是用于投资目的，解释这部分价格关系的变量
是利率、期望通胀率和竞争性能源的价格，从而得出了不同的期限结构有不同的
解释变量的结论。上述这些对延长的期限结构的研究能够解释凯恩斯正常现货升
水理论不能解释的问题，从而使得期限结构的研究超出了凯恩思理论框架L
萨谬尔森(1965)提出，期货价格的方差和期近的期货价格与期远的期货价
格的相关程度随到期期限的延长而下降，短期合约的价格波动大而不稳定，但从
长期来看，期货价格相对稳定，这就是著名的萨谬尔森效应。萨谬尔森认为短期
期货价格波动大是由于实物市场的供求波动引起的，Ande瑚n(1985)、Milon弱
(1986)、F锄a锄d French(1987)等从大量的商品和金融资产研究出发，对此进
行了实证支持。Deaton and L踟que(1992，1996)和Bailey(1996)也证明了萨
谬尔森效应是存储成本的函数，即高的存储成本则价格波动较小。但是，F锄a锄d
Fellch(1988)在其研究中却发现存货较高时，萨谬尔森效应不明显。为了进一
步研究期货价格的动态结构，Cortazar如d Schwanz(1994)、Tolmasky锄d Hind觚0v
(2002)和Lautier(2005)等应用主成分分析法来研究期限结构。由于引入主成
分分析法后，计算每一种变量对期货价格波动的贡献成为可能，因此，他们通过
计算发现，原油和铜期货价格波动的99％是由现货价格和便利收益的变化引起的。
(2)商品期货价格的期限结构理论
为商品期货衍生物定价的标准建模过程遵循期权和利率理论中的或有权益
分析。商品期货价格的期限结构模型基于三个假设：(1)市场无磨擦、无税收及交
易成本：(2)连续交易：(3)借贷利率相等且无卖空的限制。一般而言，由于期货价
格是状态变量(时间和到期时间)的函数，运用伊滕引理就应该能得到期货价格的动
态模型。但是利率理论框架并不能直接运用到商品期货定价中来，因为利率理论
的定价原理，是在完全市场的假定下，在风险中性条件下，由无套利机会决定均
衡价格的形成。而商品期货市场是不完全市场，实物资产市场上的套利机会远远
不及大多数金融资产市场，所以给商品期货衍生物定价不可能在风险中性条件下
4
硕}：学位论文
实现。BreIllla and Schwanz(1985)、Gibson aJld Schwanz(1989，1990)、BreIlna
(1991)和Gabillon(1992，1995)等认为现货价格遵循几何布朗运动，并据此提
出了他们的单因素模型，其中最著名的单因素模型当属BreIlIla锄d Schw胞模型：
出O)=淞(f胁+仃，s(f：皿，该模型表明：t时刻的现货价格s与先前的现货价格变动
无关，漂移率u代表价格的进化。当存货较低时，S则高，这说明市场需求的任
何变化对现货价格都会造成强烈的影响，因为存货不足以吸收价格的波动。
BrcIlIla and Schwanz(1985)模型是最简单的商品期货价格的期限结构模型，
但Sdlwanz(1997)、Cortazar锄d SChwartz(1997)和Routledgc S印pi and Spatt(2000)
等在他们的研究中发现几何布朗运动实际上并不是最好的描述价格动态过程的方
法，而运用存储理论和萨谬尔森效应中的均值回转过程来描述价格动态过程更有
意义。因此，他们在单因素模型中都保留了均值回转过程。这些模型中最具代表
性的是schwanz模型：凼=奴Q—lns协+仃。&切，该模型表示现货价格围绕长期
均衡价格波动，调整速度k保证现货价格S总能回到长期均值u。虽然这一模型比
Br吼na aIld Sc_hwanz(1985)模型优越，但它不能象存储理论那样解释期货升水和
现货升水并存的现象。
因此，Sdlw胞锄d Cortazar(1997)在他们的模型中除继续保留了中值回转
过程外，提出把便利收益作为第二状态变量，从而提出了双因素模型。在该模型
中，不仅保留了均值回转过程，而且便利收益也遵循均值回转过程。该模型可以
很好地解释期货升水和现货升水并存的现象，但它不能解释商品市场上价格的波
动与现货升水的程度是正相关的。为此，Lautier锄d Galli(2001)提出了一个新
的双因素模型，在该模型中便利收益仍然遵循均值回转过程，且便利收益具有不
对称性，当存货较少时，由于现货升水，便利收益高而不稳定；当存货较多时，
便利收益则低且稳定。
由期货价格的萨谬尔森效应出发，Gabillon(1992)提出：便利收益是内生变
量，现货价格和长期价格是影响期货价格的两个状态变量，假定长期价格遵循几
何布朗运动，且现货价格和长期价格正相关，运用该双因素模型也能够描绘出期
货的期限结构曲线。后来，Schwartz a11d Smith(2000)在该双因素模型基础上进
行了改进，提出了一个新的双因素模型，该模犁把现债价格分为短期变动和长期
我国商^^期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
均衡两部分：短期价格波动Z假设遵循omstein．Uhlenbeck过程，而均衡价格孝，则
假设遵循普通布朗运动过程。短期价格的波动是由天气变化，供求状况引起的，
这中波动本身并不稳定，可以通过调整存货水平加以缓和，但长期均衡价格主要
是由生产率，通货膨胀和政治因素决定的，因而较为稳定，现货价格的短期变动
和长期均衡这两个变量不能直接观察到，只能从现货和期货价格中估计得到。该
模型最大的优势是避免讨论便利收益，但问题是便利收益也是一个随机变量而且
用随机变量来表示一个较为稳定的均衡价格并没有多大意义。
直到1997年，每一个期限结构模型都假定利率是一常数，ScIlwartz(1997)
提出：利率也是影响期货价格的状态变量，因而，在1997年SChwanz提出一个包
括S，C和利率r三个变量在内的三因素模型，并且假定利率遵循均值回转过程。从
1997年开始，几个三因素模型被提出，最后在2003年Sch、Ⅳanz aIId Cortaza提出
了一个著名的三因素模型，在这个模型中作者把长期现货价格收益作为第三个风
险因素，且认为它遵循均值回转过程，其它的两个状态变量是现货价格和便利收益，
便利收益短时的变动是因为存货水平的变动，然而长期现货价格收益的变动是由
于生产技术，通货膨胀或社会需求的变化引起的。Scllwartz(1997)通过实证指出，引
进第三个参数能够改进模型的性能，使之能更加精确地描述期货价格曲线的演进
过程。
对期限结构模型进行实证分析就是要分析模型估计出的期货价格与实际的期
货价格的误差，才能够评价模型的性能。为了估计商品期货的价格，比较估计价
格与实际价格的差异，必须估计出模型中的参数值。Schwartz(1997)指出，运用
kahn髓滤波方法可以估计出模型中的参数。
商品期货价格的期限结构模型中的非观察变量包括：现货价格、便利收益和
长期均衡价格水平。现货价格被视为非观察变量是因为在大多数的商品市场上缺
乏可靠的现货价格的时间序列：实物市场地理区域分散，交易不标准，价格报道
机制也不要求交易者揭示他们的交易价格。估计现货的通常方法是将期近的期货
价格作为近似值；便利收益也是一个非观察变量，因为它不是交易资产，对它的
近似计算需要两个变量Z时的期货价格F和夏时的期货价格F，计算式为：
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硕十学位论文
c：y一垫鱼堡苎互丝生地堕趔：长期价格也不是一种交易资产，为了估计它’
?：一?；
的值，Schwanz aIld Smim(2000)提出运用Kalm锄滤波的方法可以得到。
Schwanz(1997)指出：参数随研究期限而变化，随到期期限而变化，所以
应用期限结构模型时，参数应该定时重新计算。2003年Lautier又进一步指出，当
便利收益是随机的且遵循均值回转过程时，它的调整速度是到期期限的减函数，
同时现货价格波动和便利收益波动也随到期期限而递减。
实证结果表明：单因素模型的性能较差，它不适用于大多数商品。B舢
(1991)指出：贵重金属市场便利收益接近于零而工业品市场的便利收益为正，。
这种现象是由于操作者持有贵重金属和工业品的不同的动机造成的，操作者持有
贵重金属本质上是为了投机目的，这样存货水平高而存储成本低，所以便利收益
接近于零，故单因素模型适用于贵重金属市场而不适用于工业品市场。Sdlw疵
(1997)证实了上述实证结果，他认为现货价格均值回转过程的假设是有效的，
实证结果表明，该动态模型适用于原油市场，铜市场和工业品市场，但该动态模
型不适用于黄金市场。
BreIlIla(1991)，Scllwa兜(1997)，Schwanz锄d SIIliⅡl(2000)经过实证
研究发现：双因素模型比单因素模型更有优势，引进第二个状态变量后，模型的
性能得到了很大的改善，同时均值回转过程也适合描述便利收益的动态变化，实
证结果表明：通过模型得到的期限结构曲线与实际观察到的期限结构曲线吻合得
较好。La_utier锄d Galli(2001)认为引进不对称便利收益也改进了模型的性能。
Schwanz(1997)通过实证研究指出，双因素模型与三因素模型很相似，通
过引进第三个状态变量后，模型估计的误差更小，但总体说来，两个因素模型估
计的效果相差并不大。
1．2．3两种定价理论的比较
(1)定价的出发点不同
传统的商品期货定价理论只是探讨期货价格和现货价格的关系，而商品期货
的期限结构理论是要解决期货价格和不同的到期期限的关系。
(2)定价考虑的影响因素不同
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我国商品期货价格_}《『j限结构的实证研究：以铜为例
传统的商品期货定价理论只考虑到期期货的价格与到期现货或现货价格的关
系，而不考虑影响期货价格的其他因素；而商品期货的期限结构理论充分考虑了
影响期货价格的许多因素，例如：现货价格、便利收益、利率、长期价格和季节
性因素等。
(3)定价的方式不同
传统的商品期货定价理论只简单地给出了期货的价格与现货价格的关系，不
考虑现货价格的变化，即使是在现代资产组合理论中，也只是简单地通过贴现的
方法得到期货的价格，所以说这是一种静态的定价方式；而商品期货的期限结构
理论在考虑影响期货价格的诸多因素的同时，假设各个因素遵循不同形式的动态
过程，因而该理论是一种动态的定价方式。
总之，传统的商品期货定价理论是在风险中性的条件下，运用无套利定价理
论，通过构建不同的投资组合，使得两者的现值相等从而得到期货的价格。但商
品期货市场是不完全的市场，实物资产市场上的套利机会远没有大多数金融资产
市场那么大，所以给商品期货定价不可能在风险中性的条件下，运用无套利定价
理论实现，这样，传统的给商品期货定价的理论存在很严重的缺陷。
但商品期货的期限结构理论就不一样，该理论从考虑商品期货价格是状态变
量(时间或到期时间，现货价格，便利收益等)的函数出发，构建状态变量(现
货价格和便利收益等)的动态过程，这一点非常符合实际情况；另外该理论运用
伊滕引理得到状态变量的动态模型，通过求解随机微分方程对应的偏微分方程，
求出偏微分方程的闭式解，从而得出商品期货的价格，所以采用商品期货的期限
结构理论能够比较精确地计算出商品期货的价格。
1．3本论文的研究思路和结构安排
本论文的主要目的是研究和分析我国铜期货市场的期限结构，围绕着这一目
的构建的研究思路是：首先在分析国外对其研究的基础上，加以综合比较，找出
比较合适的，符合我国现实市场情况的模型来分析我国上海铜期货市场的价格期
限结构。为了使研究结果更具说服力，本文采用国外研究者通常所采用的卡尔曼
滤波方法来估计参数和状态变量。
硕t学位论文
本文的研究主要采取经验分析和规范分析相结合的方法，在西方国家对商品
期货价格的期限结构研究的基础上，分析其研究成果，揭示其期限结构的实质，
并以此为指导来研究和分析我国铜期货的期限结构。
本论文的结构安排如下：
第一章为绪论。就问题的提出及现实意义进行阐述，并简要回顾一下国外对商品
期货价格期限结构的研究情况。
第二章为商品期货期限结构理论模型。本章在绪论的基础上介绍主要的商品期货
期限结构模型。
第三章为我国商品期货价格期限结构的实证检验。本章采用国外研究者通常所采
用的卡尔曼滤波方法来估计参数和状态变量，然后对各个因素模型实证结
果进行分析。
第四章为我国商品期货期限结构实证结果分析。本章从商品期货期限结构，样本
外误差估计和波动率期限结构三个方面来比较分析三个期限结构模型在我
国商品期货价格期限结构中的实证检验结果。
第五章为结论及意义。通过实证分析得出结论，最后介绍期限结构理论在我国铜
期负市场中的应用。
本文在以下三方面有所新意：
第一、相比之下，运用较好的能说明问题的，也符合我国现实市场情况的期限结
构模型来分析我国铜期货价格的期限结构。
第二、做到理论与实证并重，做到有理有据。
第三、为了使研究结果更具说服力，采用卡尔曼滤波方法来估计参数和状态变量。
目前国内研究商品期货的期限结构的论文还很少，相信本文对研究我国商品
期货的期限结构会有一定的借鉴意义。
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我国商品j{lJ货价格期限结构的实证研究：以铜为例
第2章商品期货价格期限结构理论模型
商品期货期限结构理论是建立在一系列假设的基础上，假设影响期货价格的
状态变量(如现货价格，便利收益和利率)遵循某一动态过程，运用伊滕引理得
到期货价格的动态模型，通过求解期货价格满足的偏微分方程就可以计算出期货
的价格，它与传统的商品期货定价理论的最大区别是该理论是在一系列合理假设
基础上，运用现代数学的方法而不是简单地通过贴现的方法来计算商品期货的价
格。
通过实证研究，商品期货期限结构理论中的单因素模型不适用于大多数商品，
仅适用于贵重金属市场，模型的性能较差；在单因素模型的基础上引进第二个状
态变量(如便利收益)后的双因素模型的性能得到了很大的改善，双因素模型估
计的期限结构曲线与实际观察到的期限结构曲线吻合得较好；同样，引进第三个
状态变量后的三因素模型估计的误差更小，更精确。大量实证结果表明：双因素
模型和三因素估计的误差相差不大而且模型的性能明显优于单因素模型。
本文是基于我国商品期货市场的实际情况，从商品期货期限结构理论模型：单
因素、双因素和三因素模型出发来探讨我国商品期货的期限结构。
2．1单因素模型
单因素模型只考虑现货价格作为影响期货价格的唯一因素，而且假设现货价格
遵循不同的动态过程。
2．1．1现货价格遵循几何布朗运动的单因素模型
这类模型中，B崩ma如d SCh吡(1985)模型是最著名的，该动态模型为：
拶(f)=∥S(f)出+qS(f)出(2．1)
s是现货价格
“是现货价格的漂移率
盯。是现货价格的波动率
如是与现货价格相关的标准布朗运动的一个增量
10
硕十学位论文
运用伊藤引理可以得到单因素模型中期货价格必须满足如下偏微分方程：
扭：(望∥+望+!宴盯z)西+望仃出
、8s’8t 2 as2 1 8S
(2．2)
2．1．2现货价格遵循均值回转过程的单因素模型
目前主要的单因素模型是现货价格遵循均值回转过程的单因素模型，这些模
型只研究期货价格是状态变量(现货价格s)的函数，同时假定现货价格遵循均值
回转过程。1997年Schwanz，Cortazar觚d Schwanz，2000年Ibutledge S印pi and Spatt
在他们的单因素模型中保留了均值回转过程，在这些模型中，1997年Schwanz，模型
是最著名的，该动态模型如下
凼=始0一lns胁+吒姚(2．3)
s是现货价格
七是现货价格的调整速度
“是对数价格的长期均值
吒是现货价格的波动率
啦是与现货价格相关的标准布朗运动的一个增量
上式若设X_lnS，则
dX=k(口．X)dt+盯dz (2．4)
其中口钞毳(2．5)
单因素模型中期货价格必须满足如下偏微分方程：
三仃2s2疋州∥一兄乩s)皿一辱=o (2．6)
在边界条件F(s，O)=S下，上述偏微分方程的闭式解是：
耶加唧P·n州h坩矽+丢”一] ．亿7，
或者用用对数形式表示为：lIlF(s，T)=P“rlns+(1一P“7’)口++磊(1一P-2打) (2．8)
我国商^^期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
2．2双因素模型
口’=口一名名表示风险的市场价格，是一个常量。(2．9)
2．2．1便利收益作为第二状态变量的双因素模型
受1990年Gibson and Schwanz研究的启发．1997年Schwanz提出把便利收
益作为第二状态变量．从而提出了双因素模型：
搬=(∥一万)S巩+q5毖l(2．10)
d万=后(口一万)以+呸矗乙(2．11)
出I出2 2p dt (2．12)
七，q，吼>0
“是现货价格的漂移率
仃，是现货价格的波动率
出。是与现货价格相关的标准布朗运动的一个增量
口是便利收益的长期均值
七是便利收益的调整速度
仉是便利收益的波动率
也是与便利收益相关的标准布朗运动的一个增量
若设X=lns，则上面式子可变形为：
僻(∥一万一导砰m q也(2．13)
双因素模型中期货价格F必须满足如下偏微分方程：
丢砰s2瓦+q％硝％+三霹％+(，一万)皿+(七以一万)一名)磊一辱=。)(2．14)
在边界条件F(S，万，O)=s下，上述偏微分方程的闭式解为：
耶∥卿十竿圳n] 亿柳
12
硕十学位论文
或者用对数形式表示为：lnF(s，万，T)=lns．万竿+A(T) (2．16)
七
⋯cT户卜三参半n正竽“呻一譬，等亿忉
会=口一妻(2．18’
2．2．2长期价格作为第二状态变量的双因素模型
Schwa吨and SIIlitll(2000)提出把长期价格作为第二状态变量的双因素模型，
hl(S)=玉+缶(2．19)
蕾是现货价格的短期偏离
毒是均衡价格
短期价格偏离假设遵循均值回转过程而均衡价格假设遵循布朗运动过程，这两
如=一红出+吒呶(2．20)
d专=础+咋喀(2．21)
仃，是短期价格的波动率
呶是与薯相关的标准布朗运动的一个增量
红是与磊相关的标准布朗运动的一个增量
由此动态模型得到期货价格的计算式为：
13
我国商rul期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
In(，)=P廿7’x+f+彳(丁) (2．22)
这里A(T户俨(h坩)争+扣一r)嘉+《Ⅲ(1矿)半(2．23)
2．3三因素模型
2．3．1利率作为第三状态变量的三因素模型
直到1997年，每一个期限结构模型都假定利率是一常数。在1997年Schwa也
提出一个包括S，C和利率r三个变量的三因素模型，并且假定利率遵循均值回转
过程。Schwa舵(1997)模型为：
嬲=(，一万)S级+qS毖I (2．24)
d万=七(口一万)出+吒矗乞(2．25)
办=口(研‘一厂)出+吧也(2．26)
奶噍=岛出幺奶=岛出出，也=岛出(2．27)
三因素模型中期货价格F必须满足如下偏微分方程：
三砰s2瓦+三蠢％+主《只+q吒n帆+吒吒岛磊，+q吒岛踞
+(，一万)．S!lC+』j}(口一万)岛+口(胁‘一，．)E—C=O (2．28)
在边界条件F(S，万，r’O)：S下，上述偏微分方程的闭式解为： 耶一丹sexp[等竽+华堋叫亿29，
或者用对数形式表示为：
lnF(s，万^T)=瞒．华+始+c(D (2．30) 这里c(T)=堕盟警竺幽．煎坚氇掣
(口所++q吒岛)((1一P一。r)一口丁霹(4(1一P一口r)一(1一Pt“r)一2口r)
口2 钇3
14
硕十学位论文％岛c坚塑篆笋
+塑!坠枣关姜幽) (2．31)
尼2口2(七十口)
’ 、’
2．3．2长期现货收益作为第三状态变量的三因素模型
Cort钇ar md Schwanz(2003)提出把长期现货收益作为第三个状态变量，该动
态模型如下：
掘=(y一少)·蹴+q·姚l (2．32)
咖=一撇+吒如2 (2．33)
咖=口(V一’，)出+乃奶(2．34)
S是现货价格
v长期现货收益的期望值，满足v=“．口，“是S的漂移率
a是v的调整速度
k是便利收益的调整速度
y是长期现货收益的期望长期均值
正是变量i的波动率
出；是与变量i相关的标准布朗运动的一个增量
本章小结
本章主要是介绍了几个著名的期限结构模型，单因素模型、双因素模型和三因
素因素模型分别引进了各自的状态变量，并且假设每一个状态变量都遵循一定的
动态过程，在此基础上，运用数学方法求解出各个随机微分方程的闭式解，从而
得出不同的到期品种的期货的价格。
这一章是为第三章我国商品期货的期限结构的实证作准备的。
我国商rul期货价格j{}j限结构的实}lE研究：以铜为例
第3章我国商品期货价格期限结构的实证检验
商品期货期限结构模型在我国商品期货价格期限结构中的实证检验，就是要
检验商品期货期限结构模型是不是适合我国的商品期货市场，本文选取我国上海
期货交易所的合约铜为研究对象，运用Kalm锄滤波估计模型参数的方法，探讨
我国商品期货市场中铜期货的期限结构问题。
3．1我国商品期货价格期限结构实证模型的选择
3．1．1单因素实证模型的选择
如文献综述中所述，Br伽la锄d Schwanz(1985)单因素模型是最简单的商
品期货价格的期限结构模型，但Schw抓z(1997)、Cortazar锄d Schwanz(1997)
和Routledge S印pi舭d Spatt(2000)等在他们的研究中发现几何布朗运动实际上并
不是最好的描述价格动态过程的方法，而运用存储理论和萨谬尔森效应中的均值
回转过程来描述价格动态过程更有意义，因此，他们在单因素模型中都保留了均
值回转过程。这些单因素模型中，最著名的是Schwartz(1997)模型，该模型表
示现货价格围绕长期均衡价格波动，调整速度k保证现货价格S总能回到长期均
值u，虽然这一模型还存在很多不足，但该模型比Brelma锄d Sdlwa也(1985)模
型优越，因此，我们选择Schwanz(1997)单因素模型作为我国商品期货期限结
构的实证模型。
3．1．2双因素实证模型的选择
如前所述，比较著名的双因素模型包括Sdlwanz(1997)双因素模型和
Schwanz and Smim(2000)双因素模型，前者把现货价格和便利收益作为影响期
货价格的状态变量，而后者把影响期货价格的现货价格分为短期变动和长期均衡
价格两部分，并且假设便利收益为内生变量且为一个常数，该模型最大的优势是
避免讨论便利收益，但问题是便利收益也是一个随机变量而且用随机变量来表示
一个较为稳定的均衡价格并没有多大意义。两者相比，前者的假设更符合实际，
这样，在实证中，我们选择sChwanz(1997)双因素模型作为我国商品期货期限
16
硕十学位论文
结构的实证模型。
3．1．3三因素实证模型的选择
著名的三因素模型包括Schwanz(1997)三因素模型和Schwanz and Cort钇a
(2003)三因素模型，本文之所以选择Schwanz(1997)三因素模型作为我国商
品期货期限结构的实证模型主要是因为在我国该模型的实证数据更容易获得。
3．2数据来源及初步处理
本文选取我国上海期货交易所的合约铜为研究对象，并且选取每周数据作为
分析样本。原因在于：第一、从期货市场的交易特征来看，选取日数据或月数据
来分析问题并不是最好的选择，因为选取日数据，期货价格的波动太频繁，从而
期货价格不利于反映期货价格与到期期限的均衡关系，另一方面选取月数据又因
为样本的时间跨度大，难以有效反映市场的全部信息。第二、我国金属商品期货
市场从1999年后逐步走向规范，并且铜期货价格和现货价格的数据容易找到。
本文中铜的期货价格从上海期货交易所网站搜集得到，取每周的收盘价作为
期货的价格，遇到节假日，则取下_交易周的第一个交易日的收盘价作为该节假
日所在周的期货价格，而本文后面将要用到的现货价格和利率，现货价格采用上
海金属网中的每周报价，取每周星期五的平均价为该周铜的现货价格，原因在于
所选取的现货价格要与期货价格的观察日期相对应，而利率从中国人民银行网站
搜集得到。
本文中的数据分析采用EViews5．O软件完成。
3．3实证检验方法介绍一Kalman滤波
如第二章所述，商品期货期限结构模型依赖于一系列非观察变量，为了估计
模型中的参数值，最好的方法是运用Kalm距滤波来估计。Kalman滤波的基本原
理是运用连续的观察变量的时间序列来连续地修正非观察变量的值，从而可以对
模型中的所有未知参数进行估计。用KalmaIl滤波来估计参数时，实证模型必须表
示成状态空间模型形式：量测方程(meaSurI湘饥t equation)和状态方程(state
17
我围商品j5IJ货价格驯限结构的实证硼f究：以俐为例
equation)。
3．3．1状态空间模型
(1)量测方程(measur咖ent equation)
设y，是包含k个经济变量的k×l维可观测变量，q是m×l维不可观测的状态
变量，则量测方程的基本形式为：
只=zfq+巧+％ 卢1，2，⋯，T (3．1)
其中：T表示样本长度，Zf表示k×m矩阵，4表示k×1向量，％表示k×1向量，
是均值为O，方差为H。的连续的不相关扰动项，即
E(q)=．o， Va“心户只(3．2)
(2)状态方程(僦e equation)
口。是不可观测的状态变量，但可表示为一阶马尔可夫(Markov)过程，状态方
程的基本形式为：
q=巧q—I+G+Rt，f=l，2，⋯，F (3．3)
其中：巧表示m×m矩阵，q表示m×l向量，墨表示m×g矩阵，乞表示g×l向
量，是均值为O，方差为Q的连续的不相关扰动项，即
E(‘)=o， V斫‘)=Q (3．4)
3．3．2Kalman滤波的基本原理
概括地说，Kalm觚滤波是在时刻t基于所有可得到的信息计算状态变量的
一个递推过程。当扰动项和初始状态变量服从正态分布时，KalIIl姐滤波能够通过
预测误差分解计算似然函数，从而可以对模型的所有未知参数进行估计，并且当
新的观测值一旦得到，利用l跚mall滤波可以连续地修正状态向量的估计。
考虑上面的状态空间模型y，=互口，+吐+“， #1，2，⋯，T (3．5)
q=Zq—I+q+Rt，f=1，2，⋯，r (3．6)
18
硕+学位论文
设口f一。表示基于信息集合l一．的q一。的估计量，C一．表示估计误差的m×m协方
差矩阵，即覃。=E[(q一。一q一。)(q一．一q一。)’] (3．7)
当给定q一。和覃。时，q的条件分布的均值由下式给定：
即口flf．1=Zq—l+cf (3．8)
在扰动项和初始状态变量服从正态分布的假设下，q的条件分布的均值口“一。
是q在最小均方误差意义下的一个最优估计量。
估计误差的协方差矩阵是蜀H=ZC一．Z’+置Qg 仁l，2，⋯，T (3．9)
上面两式称为预测方程(p硼iCtion equation)．
一旦得到新的预测值只，就能够修正q的估计口fH，更新方程(updating
Equation)为： 口f=+￡州z：f_1(只一Zf口ff-l一4) (3．10)
和只=蜀H一日H互f-1 zf气一。(3．11)
其中C=互￡，．．乏+只仁1，2，⋯，T (3．12)
3．4期限结构模型的实证模型
为了研究商品期货的期限结构，期限结构的理论模型必须转化为实证模型的
形式，也就是说要将期限结构的理论模型转化为状态空间模型的形式，以便能够
运用№锄滤波方法来估计模型的参数和状态变量，从而估计出期货的价格。
3．4．1单因素模型的实证模型
从方程(2．8)：心(s，驴P吐rlns+(11以r)口++磊(1-Pmr) (3．13)
可以得到量测方程为：只=4+Zf工+‘，f=1，⋯胛(3．14)
这里只=[1n，(Z)】， f=J，⋯ⅣⅣ×1观察向量。(3．15)
19
我国商品j{fJ货价格期限结构的实证研究：以铜为例
t=卜嘲∥+丢”e圳巧，]一小一ⅣM向量@旧
互=P巧]， f=J，⋯ⅣⅣ×J向量(3．17)
‘表示N×l向量，是均值为O，方差为H的连续的不相关扰动项，即
E(t)=0， V缸t)2日
从方程(2．4)：dX-k(口．X)dt+盯dz可得状态方程：
xt=ct+Qtxtl七，lt t=l，⋯．NT
这里cf=艮以f Q=l一七缸
(3．18)
(3．19)
(3．20)
仉表示N×1向量，是均值为O，方差为∥2△f的连续的不相关扰动项，即
E(仇)=o’玩厂(仉)=仃2△f (3．21)
3．4．2双因素模型的实证模型
从方程(2．1 6)：lnF(s，艿，T户lns．万!{兰+A(T)可得量测方程： 庀
咒=4+互【五，4】’+乞，f=1，⋯，ⅣjrT (3．22)
这里只=[hl，(Z)】， f=J，，⋯，MⅣ×1观察向量(3．23)
4=【彳(巧)】， f=J『，⋯MⅣ×l向量(3．24)
冲一半]一小一一2矩阵n25，
t表示N×l向量，是均值为O，方差为日的连续的不相关扰动项，即
E(t)=O， V呱t)=日(3．26)
从方程(2．10)、(2．11)、(2．12)、(2．13)即： 搬=(∥一艿)鼬+q纰。
d万=七(口一万)出+％噍
噼(∥一万一丢砰)dt+q如
硕十学位论文
出l出2=pdt
可得状态方程为：【Z，谚】’=cf+Q【置十4一。】’+协， f=J，⋯，胛(3．27)
这罩q=[c∥一三盯D缸]。， 2×·向量
Q=巴一出
l一七出
仇是连续的不相关扰动项，且满足：
盹瑚肋c咖l嚣学l
3．4．3三因素模型的实证模型
从方程(2．30)：lIl F(s，万，r，T)：lns．望堕!二兰竺+
屉
，(1一e埘)
可得量测方程： 咒=4+Zf【置，4】’+乞，f=1，⋯，胛
这里咒=【lIl，(巧)】， 卢1．⋯．MⅣ×1观察向量、
吐：『止盟+c(z)]，
L 口j
=[1，_竿]，
卢l，⋯MⅣ×1向量
f=l，⋯MⅣ×2矩阵
+C(r)，
B表示N×l向量，是均值为O，方差为H的连续的不相关扰动项，即．
E(t)=O， V呱q)=日
而状态方程为：【五，巧】’=cf+Q【五．．，谚一。】’+仇， f=1，⋯，胛
这里q=[c∥一三砰，△r]’， 2×，向量
f1
Q 2 lo
一△f
1一后出
2l
(3．28)
(3．29)
(3．30)
(3．31)
(3．32)
(3．33)
(3．34)
(3．35)
(3．36)
(3。37)
(3．38)
我阳商品期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
，7，是连续的不相关扰动项，且满足：
地瑚⋯户Jp篡么，p君1 B39，
fp盯l仃2△， 仃i△f
3．5期限结构模型的实证检验结果
本文所选取的期货交易品种为一月期(用F1表示)、三月期(用F3表示)、五月
期(用F5表示)、七月期(用F7表示)和九月期(用F9表示)五个交易品种，其平均价
和平均到期如表(1)所示。
表3．1 2003．12．22—2007．08．19 190个周观察数据
三堕燮夔鲤鼙鼗鲤骥冀篓豳
¨000■≥i 誉≯鎏攀鬻鬻鬻瀵溱鬻黍褰藜誉!|誉i j 零秀+薹’誓j、i⋯。萼j驾i箩；j‘鬟鬻鬻i篓i雾j鬻≯缪譬“譬雾鸶薯善麓；；i褥褰。蔓i∞鼻叠
_| 一“*一一nj#十m∥。⋯， ¨I 一¨⋯ 苟群0”j、
o．4000 p_毒露#葛霄焉慧嘲氅赢荔枣囊謦搿黪冀鬻簿誓I暑鬻磐冀嚣穗爨缎魏魏糍藏爨麓囊照孵魏麓曩毫静静嘲韵
㈤000脚蘸繁瀵赫赫镰麓藕《麓鞭赫瓣麓蕊
oI。oo獬麟艚渊镟擞婚姆婚脚蘸融积晒戳鳟徘
图3．1铜期货到期期限(Fl、F3、F5、F7、F9)
图(1)表示在2003年1 2月22日到2007年8月19同五个期货品种的到期期限，
硕十学位论文
由图可见，每一个期货品种的到期期限都独立分布在一个狭长的区域内。
3．5．1单因素模型实证检验结果
运用Kalman滤波估计参数和状态变量的方法，可以得到单因素模型的参数
估计结果，如下表：
表3．2单因素模型实证检验结果：铜(对数价格)
观察期2003．12．22-2007．8．1 9
合约品种Fl、F3、F5、F7、F9
样本数量190
O．594(0．004)
l 0．607(0．352)
O．365(O．003)
Ⅲ．172(0．279)
0．064(O．001)
0．0 l 7(0．002)
0．003(O．001)
O．015(0．003)
0．02 l(0．002)
最大似然函数值4329
上表中，现货价格的调整速度k是比较高的，达到了0．6，表明均值回转的效果
比较明显，而其他的参数的估计误差都接近于零。
图3．2单因素模型估计的状态变量与铜期货价格(2003．12-2007．8)
七“盯力缶磊氦磊
我国商一W，j{}J货价格期限结构的实证研究：以铜为例
上图表示：一月铜期货，根据2003年12月23日到2007年8月19同铜期货
190个周数据样本，用KaIm锄滤波估计的现货价格的对数价格和期货价格的对数
价格，由图可以看出，两者拟合程度较高，但也存在差别。
用MPE_专善(舍(妒Ⅳ(妒))’和RMsE_
计算的预测误差为：
表3．3模型预测误差
(3．40)
从上表看出：随着到期期限的延长，模型估计的误差逐渐减小，平均误差有
接近于零的趋势，但是用单因素模型估计的均方绝对误差都比较高，平均的均方
绝对误差为0．052l，从而可以得出结论：单因素模型的估计效果并不好。
3．5．2双因素模型实证检验结果
在前面双因素模型的理论和实证模型中，r是无风险利率，本文取2003年到
2007年三个月期金融机构存款利率的平均利率r=O．0212，同样采用Kahn锄滤波
估计参数和状态变量的方法，得到双因素模型的参数估计结果，如下表：
硕}j学f讧论文
表3．4双因素模型实证检验结果：铜(对数价格)
观察期2003．12．22．2007．8．19
介约^^种
}l本数皱
Fl、F3、F5、F7、F9
190
七I．426(O．034)
“ 0．237(0．22)
口0．248(0．110)
仃。O．393(0．011)
仃， 0．453(O．017)
p 0．872(O．005)
允0．275(0．177)
点o．033(o．001)
己O．017(O．001)
卣o．008(o．000)
六o．005(o．001)
益竺：竺塑竺：!堕
最大似然函数值5138
上表中，便利收益的调整速度k也是比较高的，达到了1．43，表明便利收益的
均值回转明显，同时便利收益与现货价格的相关系数也比较高，’达到了0．87，这
表明便利收益与现货价格的相关程度比较高，且为正相关，这一实证结果与商品
期货的期限结构理论是一致的。
蜒l
1·500
萋11．000
踩10．500
圻
ⅫⅢ=：10．000
锹
二铂9．500
4<
一
9．000
∽ 口
o o
o C
o 3
o 一
∞ ∞ o ④ 卜
o o o o o
C o C o C
o o j o 3 ’ o h o h
观察LI期
—— 期货对价
——估计的现货对价
估汁的便利收益
图3．3双因素模型估计的状态变量与铜期货价格(2003．12．2007．8)
25
我同商^^j{H货价格期限结构的实证研究：以铜为例
上图表示：一月期铜期货，根据2003年12月23 R到2007年8月19日铜期
货190个周数据样本，用Kalm狮滤波方法估计的现货价格和便利收益的对数价格
(图中便利收益的对数价格是在估计的对数价格的基础上加了9．5，这只是为了比较
的方便)与期货价格的对数价格，从图可以看出现货价格和便利收益是高度相关的
(相关系数为O．872)。
用MPE2专善(p(疗，D一，(行，D)，和RMsE=
计算的预测误差为：
表3．5双因素模型预测误差
(3．41)
从上表看出：随着到期期限的延长，模型估计的平均误差的绝对值逐渐减小，
平均误差几乎为零，同时，用双因素模型估计的均方绝对误差也非常小，为O．0106
远小于单因素模型估计的均方绝对误差O．0521，从而可以得出结论：双因素模型的
估计效果明显比单因素模型的估计效果好。
3．5．3三因素模型实证检验结果
本文中的无风险利率采用中国人民银行2003年到2007年三个月期金融机
构存款利率，并且设利率的调整系数萨o．2，无限到期收益率R@)=朋‘一鲁(见
Vasicek．Model)。(3．42)
硕}：学何论文
表3．6三因素模型实证检验结果：铜(对数价格)
观察期2003．12．22．2007．8．19
合约品种
样本数量
七
“
口
吼
吒
A
兄
缶
色
磊
六
磊
最大似然函数值
吧
a
岛
岛
R(∞)
Fl、F3、F5、F7、F9
190
1．172(O．027)
O．315(O．125)
O．257(O．093)
O．389(O．07)
O．373(0．014)
0．875(O．007)
O．375(0．126)
0．048(O．001)
O．011(0．002)
O．008(0．002)
O．006(O．000)
O．003(o．001)
5213
O．0079
O．2
—0．0045
O．0317
O．07
上表中，便利收益的调整速度k也是比较高的，达到了1．112，表明便利收益的
均值回转也明显，另一力面，现货价格与便利收益的相关系数为O．875，表明两者
高度正相关，而其他的两个相关系数接近于零，表明利率与其他的两个状态变量
几乎不相关，同时，比较双因素模型与三因素模型的实证结果，可以看出估计的
两个模型的参数基本相近。
用MPE-专喜(p(刀，D—F(疗，r))，和RMsE-√专善(p(刀，乃一，(以，丁))2(3．43)
计算的预测误差为：
我国商品期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
表3．7三因素模型预测误差
从上表看出：随着到期期限的延长，模型估计的平均误差的绝对值逐渐减小，
平均误差几乎为零，而且模型估计的均方绝对误差也非常小，仅为O．0103，比单因
素模型和双因素模型的均方绝对误差都小，从而可以得出结论：三因素模型的估
计效果与双因素模型的估计效果差别不大。
本章小结
本章是本文的实证部分，也是核心部分。本章首先介绍三个期限结构模型的
实证模型，并且分别把它们用量测方程和状态方程表示，接着，本文运用Kalm锄滤
波估计参数和状态变量的方法，选取2003年12月22日到2007年8月19日上海
期货交易所合约铜的190个周数据样本，对我国铜期货市场的期限结构进行了实
证研究。结果表明：单因素模型估计的预测误差比较大，估计出的效果并不好，
而双因素模型和三因素模型估计的误差比较小且相差不大，用双因素模型和三因
素模型估计的效果明显比单因素模型好。
28
硕十学位论文
第4章我国商品期货价格期限结构实证结果分析
6订面一章，本文用二个期限结构模型对我国的铜期货期限结构进行了实证检
验，本章从前面的实证结果出发，从商品期货期限结构，样本外误差仃i计和波动
率期限结构三个方面来比较分析各个因素模型的相对性能并选择出适合我国铜期
货市场的期限结构模型。
4．1商品期货价格的期限结构比较分析
10．070
10．060
10．050
10．040
10．030
lO．020
10．010
10．000
9．990
9．980
缫鬻琴爹； ．．j—乏嚣糕委瑟鬻鬻羹鍪主一}二兰蚤蓁囊量格笺霾錾薹滋囊篡j}-盏孝l蓬溪霪缀黼——翟銎翌墨墨穑
鬓缫鬓鬟鸶澎蓐鬻纂鬻鬻鬓黎篱鬻麓黼}——黑宝薹墨詈
菱豢褰≤ i荸囊囊瀚=因素模型
霪蠢囊鬟i巍§j ：：÷霪篆囊瑟溺⋯“9‘一
戮缓霪鋈鬻黪灞壤攀翳溺鬻燃
图4．1模型估计出的期限结构与市场期限结构对比图
一月三月五月七月九月
日期：2006年10月20日
图4．2模型估计出的期限结构与市场期限结构对比图
29
我困商tulj{『J货价格j{『J限结构的实证研究：以铜为例
图(4)和图(5)表示在2003年12月26同和2006年10月20日由三个因
素模型估计出的期限结构与市场期限结构对比图，之所以选择这两个交易日作为
考察对象，是因为在2003年12月26闩市场表现为期货升水，而在2006年10月
20同市场表现为现货升水，由图可以看出，由单因素模型估计出的期货期限结构
与实际观察到的期限结构相差较大，特别是对于到期期限较短的期货品种这种差
别更明显；而双因素模型和三因素模型估计出的期货期限结构与实际观察到的期
限结构极为相似，虽然对于期限较短的期货品种两者估计的误差还很明显，但期
限越长，这种误差就越小。随着期限的延长，单因素模型估计的期限结构曲线与
实际观察的期限结构曲线逐渐接近。
4．2期限结构模型样本外预测误差比较分析
4．2．1横截面比较分析
选取两组期货品种Fl、F3、F5、F7、F9和F2、F4、F6、F8、FlO，前面一组
是本文前面研究中已经使用过的，后一组是还没有被选取的。用
2003．12．22．2007．8．19观察到的前面一组期货合约的190个周样本数据估计出的样
本参数来计算同样观察期后面一组期货合约的预测误差，估计结果如下：
表4．1三个因素模型横截面预测误差比较(2003．12．22．2007．8．19)
硕十学位论文
从上表可以看出，单因素模型估计的效果明显不如其他两个模型估计的效果，
用单因素模型估计的均方绝对误差为O．0540，而用双因素模型和三因素模型估计的
均方绝对误差仅为O．0109和O．0096，所以，双因素模型和三因素模型估计的效果
差不多，但三因素模型估计的效果略好于双因素模型。
4．2．2时间序列比较分析
只考虑一组期货品种Fl、F3、F5、F7、F9将2003．12．22．2007．8．19周观察数
据中的190个样本数据分为两个部分，前140个样本数据为第一部分，后50个样
本数据为第二部分，设计的方法是先用总共的190个样本数据估计的样本参数来
计算后面50个样本数据的预测误差；然后用前140个样本数据估计的样本参数来
计算后面50个样本数据的预测误差。估计结果如下：
表4．2三个因素模型时间序列预测误差比较
I蝴SE(对数价格)
御E(对数价格)
模型l 2 3 l 2 3
用总共的190个样本数据的参数估计
一月期Fl ’O．0397 0．003l 0．0028 0．0987 0．017l O．0169
三月期F3 O．0343 O．0025 一O．0024 0．088l 0．0157 0．0155
五月期F5 O．0312 0．0017 O．0018 O．0623 0．0118 O．Oll4
七月期F7 0．0161 ．0．OOl5 O．0013 0．0346 0．008l 0．0063
九月期F9 O。0052 O．00lO 0．0009 0．0129 0．0052 0．0048
平均O．0253 O．0015 0．0014 0．0594 0．0116 O．0110
用前140个样本数据的参数估计
一月期Fl O．0402 O．0035 ’O．0033 O．1013 0．0183 0．0179
三月期F3 O．035l O．0028 0．0026 O．0922 O．0168 0．0157
五月期F5 0．0318 O．002l 0．0019 0．06“ O．0122 O．0116
七月期F7 0．0167 0．0016 ．0．0013 O．0362 0．0087 O．0079
九月期F9 0．0054 0．0013 O．0011 O．0135 0．0054 0．0052
平均0．0257 0．0018 0．0017 O．0612 0．0123 O．Oll6
从上表可以看出：一、用140个个样本数据估计的样本参数估计的预测误差
略大于用总共的190个样本数据估计的样本参数估计的预测误差，这是因为大样
本所反映的信息比小样本反映的信息要多，当然计算出的预测误差要小。二、单
3l
我国商rul期货价格；{}J限宝占构的实ij卜研究：以铜为例
因素模型估计误差远大于其他两个模型的估计误差，所以模型估计的效果明显不
如其他两个模型，而双因素模型和三因素模型估计的效果差不多，但三因素模型
估计的效果略好于双因素模型。
4．3期货价格波动率期限结构比较分析
对方都刀：郴∽一pPh州·矿∥+丢c-百2灯，卜用伊藤引理
可以得到单因素模型的期货价格波动率的期限结构：
砟(D=仃2，圩(4．1)
当到期时间T寸∞时，露(D=o (4．2)
从方程c2m，：Fcs，万，T产s exp[一万上等二+彳c。]，可以得到双因素模型的期货价
格波动率的期限结构：《("=砰+暖堡{≥一2腭％尘{兰(4．3)
当到期时间T专oo时，砟(D=露(D=砰+吾一丝} (4．4)
最后三因素模型的期货价格波动率的期限结构可以由方程f2．29、：
耶以调却[ 华坝丁)] 口I
得到椰)=砰+霹竽+《学一2鹏吒竿
+ 2岛q吒旦塑一2岛吒q旦!12呈二芝1 口口庀
(4．5)
当到期时间T专∞时，砟(D=砰+吾+孚一丝譬旦+丝学生一丝篆粤(4．6)
32
O．39
O．38
O．37
O．36
O．35
0．34
0．33
0．32
O．31
O．3
一月三月五月七月九月
——实际波动率
一单冈素模型
双冈素模型三冈素世
图4．3期限结构模型与实际期货价格波动率期限结构对比图
从上图可以看出：短期期货价格的波动率较大，而且期货价格的波动率随到
期的延长而下降，这在实证上证明了萨谬尔森效应的存在，同时，由上面的推导
式，当到期为零时，j个因素模型的波动率分别为仃，q和q，当到期无限延长
时，单因素模型估计的期货价格的波动率为零，而双因素模型和三因素模型估汁
的期货价格的波动率收敛于一个常数，这能解释在一卜图中，单因素模型估计的期
货价格期限结构曲线呈急剧下降，而双因素模型和i凶素模型估计的期货价格的
期限结构曲线平缓下降的原因；另一方面，当利率的波动率为零时，双因素模型
和三因素模型估计的期货价格的波动率相等，这又能解释双冈素模型和三因素模
型估计的期货价格的波动率期限结构曲线吻合的原因。总之，双因素模型和三因
素模型估计的期货价格的波动率与实际观察到的期货价格的波动率差别不大，它
们的期限结构曲线与实际的期货价格的波动率期限结构曲线吻合得较好，而单因
素模型估计的期货价格的波动率一直低于其他两个因素模型估计的期货价格的波
动率。
本章小结
诗，J‘而‘章运用三个期限结构模型对我幽铜商。⋯fjj货的期限结构进行了实证检
验并且得出了一些实证结论。但是各个期限结构模型估计的效果到底如何，是不
是适用于我国的商品期货市场的期限结构，这就足本章所要解决的|、uJ题。
我国商rul期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
本章首先用期限结构模型估计的期限结构与不同观察期市场观察到的期限结
构进行比较，结果显示：双因素模型和三因素模型估计的期限结构曲线与实际观
察到的期限结构曲线吻合得较好，而单因素模型估计的期限结构曲线与实际观察
到的期限结构曲线相差很大。
为了进一步分析比较各个因素模型估计的性能，本章采用样本外预测误差比
较分析，从横截面比较和时间序列比较的结果来看，双因素模型和三因素模型估
计的预测误差较小，而且估计出的误差较稳定，但单因素模型估计的预测误差仍
然较大，估计效果仍然差。
本章采用的第三个模型间的相对性能比较的方法是用模型估计的期货价格的
波动率与实际观察到的期货价格的波动率进行比较的，比较分析的结果表明：双
因素模型和三因素模型估计出的期货价格的波动率实际观察到的期货价格的波动
率非常相近，而单因素模型估计的期货价格的波动率一直低于其他两个因素模型
估计的期货价格的波动率。
由上面的比较分析可以得出结论：双因素和三因素期限结构模型适合于我国
的铜期货市场。
硕十学位论文
第5章结论及意义
本文是从商品期货的定价问题入手，分析和比较了传统的商品期货的定价理
论和商品期货的期限结构理论，指出了商品期货的期限结构理论是一种比传统的
商品期货的定价理论更好的定价方法。到目前为止，比较成熟的商品期货的期限
结构理论是由美国经济学家schwartZ提出的三个期限结构因素模型，每一个因素
模型都有相应的解释变量且都遵循一定的随机过程，通过数学运算求解出各个因
素模型的随机微分方程的闭式解，从而得到了商品期货的价格。
在实证方面，本文采用目前国外学者通常采用的卡尔曼滤波估计参数和状态
变量的方法，对我国铜期货的期限结构进行了实证研究，得到的结论如下：
第一、用样本内参数估计的结果估计的预测误差，单因素模型的预测误差较
大，均方绝对误差为O．0521，而双因素模型和三因素模型的预测误差较小，均方绝
对误差仅为0．O106和O．0103，且两者相差不大，得出的结论是：单因素模型估计的
效果明显不如其他两个模型估计的效果，双因素模型和三因素模型估计的效果差
不多，但三因素模型估计的效果略好于双因素模型。
第二、在样本外预测误差估计中，通过横截面比较分析可以发现：用单因素
模型估计的二月期、四月期、六月期和八月期的均方绝对误差为O．0540，而用双因
素模型和三因素模型估计的均方绝对误差仅为0．0109和O．0096，所以，仍然得出上
述的结论；通过时间序列比较分析可以发现：用不同的样本数据估计的误差前后
相差不大，但就单个模型来讲，单因素模型估计的均方绝对误差较大，前后分别
为O．0594和0．0612，而双因素模型和三因素模型估计的均方绝对误差为O．0116、
O．0123和O．0116、O．0110，所以上述结论仍然成立。
第三、在商品期货的期限结构比较分析中，双因素模型和三因素模型估计的
期限结构曲线与实际观察到的期限结构曲线吻合得较好，而单因素模型估计的期
限结构曲线与实际观察到的期限结构曲线相差很大。
第四在期货价格的波动率的期限结构分析中，双因素模型和三因素模型估计出的
期货价格的波动率实际观察到的期货价格的波动率非常相近，而单因素模型估计
的期货价格的波动一直低于其他两个因素模型估计的期货价格的波动率，且相差
我国商^^期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
较大。
总之，本文基于规范分析和经验分析，以合约铜为样本，运用三个期限结构
因素模型对我国商品期货市场的期限结构进行了实证检验。不管是在样本内还是
在样本外的模型预测误差的比较分析中，单因素模型估计的效果都不如其他两个
因素模型，同时在期货价格期限结构和波动率期限结构分析中，双因素模型和三
因素模型都表现了良好的与实际相符的性能。实证结果表明：在我国，双因素模型
和三因素模型都适用于我国的铜期货期限结构，尤其以三因素模型更为精确，该
实证结果与国外学者研究的实证结果完全相符。
本文的意义在于：据此研究结果，市场操作者可以根据模型估计出的期限结
构与市场期限结构进行对比，从而预测出期货市场价格的走势，依此来指导对不
同的期货品种进行套期保值和投资决策。在期货交易的当天，市场会产生出当天
期货价格的期限结构，操作者可据此绘出相应的期限结构曲线，同样，在期货交
易的当天，操作者可以根据市场信息估计出状态变量(现货价格和便利收益)的
值，从而获得期货的估计价格，进而也可以绘出相应的估计的期限结构曲线。然
后，把两条期限结构曲线进行对照，若在某一交易品种上，市场发出的期货价格
高于模型倍计的期货价格，说明该合约品种在交易当天被高估，操作者可以在下
一个交易日，对该合约进行卖空操作；若市场发出的期货价格低于模型估计的期
货价格，说明该合约品种在交易当天被低估，操作者可以在下一个交易日，对该
合约进行买多操作。下面分别介绍商品期货价格期限结构模型理论在套期保值、
投机、套利交易中的应用。
商品期货价格期限结构模型理论在套期保值中的应用。交易者可以将期货交
易和现货交易结合起来，当模型预测的某一期货合约品种的价格将会上涨时，套
期保值者可进行买入套期保值(10ng hedge)，即先在期货市场上买入与其将在现货
市场上买入的现货商品数量相等且交割日期相同或相近的铜期货合约，也就是说
事先在期货市场上买空，持有多头头寸，然后，当该交易者在现货市场上买入现
货商品的同时或前后，在期货市场上对冲，卖出原先买进的该商品的期货合约，
进而为其在现货市场上买进铜商品的交易进行保值。反之，当模型预测的某一期
货合约品种的价格将会下跌时，套期保值者可以进行卖出套期保值(short hedge)，
硕卜学位论文
操作方向与前面相反。
商品期货价格期限结构模型理论在投机操作中的应用．。当模型预测的某～期
货合约品种的价格将会上涨时，投机者可以进行买空投机(10ng speculation)，即先
买进铜期货合约，然后等待时机卖出对冲获利。当确认市场处于牛市中，预计期货
价格会有进一步上涨时，可以采取买空投机。反之，当模型预测的某一期货合约
品种的价格将会下跌时， 投机者可以进行卖空投机(short Speculation)，当确认市
场处于熊市中，预计期货价格会有进一步下跌时，可以采取卖空投机。
商品期货价格期限结构模型理论在套利交易(spreads仃ade)中的应用。如前所
述，根据商品期货的期限结构模型可以预测多个期货品种的价格走势，交易者可
以据此信息，同时持有铜商品不同交割月份、不同交易所的铜商品期货组合交易
头寸，通过不同头寸之间的相对价差变动来获取利润。一方面，交易者可以在铜
期货市场上进行跨期套利(硫erdelive巧spreads)，即买进某一交割月份铜期货合约
的同时，卖出另一交割月份的铜期货。根据交易者在市场中建立的交易部位的不
同，交易者在进行跨期套利时，可以进行牛市套利、熊市套利、蝶式套利等等。
另一方面，交易者可以在铜期货市场上进行跨市场套利(intennarket spreads)，交易
者可以在上海期货交易所买入(或卖出)某一交割月份的铜商品期货合约的同时，在
深圳期货交易所卖出(或买进)同一交割月份的铜期货，然后寻机分别在两个交易所
对冲合约，从中获利。
当然，在实际操作中，期货交易还受到其他诸多因素的影响，如季节性因素、
政治因素等，所以模型所提供的信息也仅仅只能是为期货交易作为参考而已。
最后，可以这样说，研究商品期货的期限结构，不仅可以解决商品期货的定
价问题，而且能够为套期保值和投资决策提供有价值的参考信息，在理论和实践
上都具有重要的意义。
37
我国商品期货价格期限结构的实i止研究：以铜为例
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40
硕十学位论文
致谢
硕士研究生三年短暂而宝贵的学习时光转眼就要过去，心中充满无限的感激。
感谢生活给我这样一个学习知识和感悟人生的机会，感谢各位老师对我的培养和
教育，感谢我的同学和朋友与我共渡美好的时光。
在论文完成之际，首先要忠心感谢我的导师戴晓风教授。从论文的选题、构
思到修改成文都汇聚了戴老师大量的时间和精力，戴老师在百忙之中抽空审阅论
文并提出修改意见，她深厚的理论素养，严谨的治学态度，平和淡泊、乐观豁达
的学者风范使我受益匪浅，她也是我今后一生尊敬和学习的榜样。
感谢培养和教导我的杨胜刚院长、姚小义教授、祝炳奎书记、张强教授、彭
建刚教授、曾令华教授、晏艳阳教授、贺学会教授、曹晓东副教授和刘轶副教授
等老师，感谢他们的辛勤培养，正是他们渊博的学识和严谨的治学态度让我每次
遇到困难时总能坚持不懈、醍醐灌顶、豁然开朗。感谢邓丽华、谭慧、潘新玲、
罗俊杰等老师，是他们的辛勤的劳动和悉心的照顾，让我的研究生生活得以顺利
地完成。
感谢同门韦宁、研究生同学颜高明、彭亮，感谢你们在论文上给予我的指点
与帮助。
最后，我要特别感谢我的家人和亲友。他们在生活和学习上给了我无尽的关
爱和理解，使我能够全身心地投入到学习中去并最终顺利地完成了学业。
在以后的工作和学习中，我将用百倍的努力和更大的进步来回报所有给予我
帮助的老师、同学和朋友，回报社会，谢谢你们1
4l
我国商，uI期货价格期限结构的实证研究：以铜为例
附录A攻读学位期间所发表的学术论文目录
【l】戴晓凤、曹建军．我国商品期货期限结构理论与实证的回顾金融经济2007
(10)
42
硕{：学位论文
附录B Eviews5．O软件中，Klaman滤波中的状态命令
单因素模型：
@sin西e ln仁“1)+c(2)木sVl+eXp【Var=c(3)】
@state sVl=：c(4)+“5)幸sVl(一1)+exp【Var=“6)】
双因素模型：
@sin舀e ln仁“1)+svl+c(2)幸sV2+exp[Var=c(3)】
@state sVl：c(4)+c(5)搴sVl(·l汁eXp【V暂=“6)】
@state sv2=c(4卜c(5)奉sV2(一1)+eXp[VaFc(6)】
三因素模型：
@siI谬e ln仁“1)+sVl+“2)幸sV2+exp【VaF“3)】
@state sVl=q4)+c(5)幸sVl(一l卜eXp[Var：c(6)】
@state Sv2=c(4卜c(5)·sV2(一1)+eXp【VaF“6)】
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