南京理工大学
硕士学位论文
不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
姓名：滕承瑜
申请学位级别：硕士
专业：金融学
指导教师：赵培标
20090501
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
摘要
在现代企业中，当决策者同时面对多个投资的项目时，必须考虑到有限的资金和
资源限制，还要考虑到信息获得的不确定性，或是决策者主观偏好等因素。如何对这
些投资组合项目进行选择以获得最大利润，是决策者所需面对的重要问题之一。由于
信息不完全，细微差别的信息数值可能导致完全不同的方案组合解集合。因而，如何
在信息不完全的情况下，取得稳定的解集，成为决策者们所关心的问题。
RPM(Robust Portfolio Modeling)理论是一个用于分析多准则投资组合规划问题的
决策支持理论。Juuso Liesi6a等人(2007)对RPM模型进行了进一步扩展，考虑了附
加信息对非劣解集的影响，但是并没有对非劣解集中各方案进一步比较，因而未能给
决策者提供一个准确的决策方案。本文拟就此问题进行研究，并给出了肯定的回答。
首先，在RPM模型关于非劣解集研究的基础上，考虑不完全信息时投资者的偏
好构造序关系，求得稳定最优解，并就区间先验分布已知的情况作了讨论。
其次，对该问题进行了拓展，考虑了包含规模可变的投资组合项目的情况，同样
在信息不完全时，基于投资者的偏好，求得了该扩展模型的稳定最优解。本文的结果
可视作Juuso Liesi6a等人结论的一个很好的拓展。
关键字：序关系偏好规划，不完全信息，区间数，稳定解，组合投资项目选择
Abstract
In most of modem enterprises，selecting the“best’’project portfolio out of a given set
of investment proposals is an importance issue for
decision．makers．They must consider the
incomplete information ofthe projects and conformto the preference under limited resource
and funds．As a result of incomplete information，a small disturbance of the object number
may lead to all entirely different collection solutions portfolio．Thus，how to get the robust
portfolio based on incomplete information is an important problem to the decision．maker．
Robust Portfolio Modeling(RPM)is a decision support methodology for analyzing
multiple criteria project portfolio problems．In 2007，considering the affect by appendix
information，Juuso Liesi6a extended the Robust Portfolio Model．As the extended modd
didn’t compare the each portfolio，the method didn’t offer a precise decision．This paper
wants to Study谢th this problem，and give apositive answer．
First，based on the non-dominated portfolios set in RPM，we compare each portfolio
and make the order under the preference of the decision．maker,SO that one Can get the best
optimal solution，and do the same thing when apriori probability on the interval is available．
Second，we extend this problem，and consider the project with size．changeable．and
also get tlle best optimal solution under the preference of the decision．maker．The resuIt in
this paper can be regarded as a good generalization of the work of Juuso Liesi6a．
Key word：Preference programming on order,Incomplete information，Interval nu】mber，
Optimal solution，Portfolio problem for Project Selection
Il
尸声明
本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在
本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发
表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学
历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均
已在论文中作了明确的说明。
研究生签名：燃2中占月抽
学位论文使用授权声明
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或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送
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于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。
研究生签名：
硕士论文不完伞信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
1绪论
1．1研究背景
金融决策的主要问题是在限制条件下对资源进行合理分配和利用。为达到这一目
的，投资者往往采用组合投资方式，把一笔资金投资于若干种不同的证券或其他风险
资产中。1952年，Harry MarkowitzIll提出投资组合选择理论，将数理工具引入金融问
题研究；1981年E Warren McFarlan[21首次将现代投资组合理论运用到项目的选择和管
理中，通过项目组合的运作方式实现了风险一定情况下的收益最大化。
项目组合管理作为项目管理领域未来的发展趋势之一，其重要性日益显现出来。
2002年6月美国项目管理协会(PMI)在华盛顿州的西雅图会议上就项目管理发展方
向进行了热烈讨论，并就最热门的6个问题向全世界寻求研究建议，其中项目组合管
理(Project portfolio Management)就是其中的重要问题之一【3】。2003年美国项目管理协
会(PMI)资助的4个研究课题中，位居首位的研究课题就是项目组合管理与计划管
理(Project Portfolio Management and Program Management)141。
在项目组合管理项目中，组合优化和组合决策起着至关重要的作用。其主要问题
体现在以下几个方面：1．缺乏统一的科学量化的项目选择评价标准；2．以分散的项目为
基础进行单一的项目管理，忽视了企业是一个系统的战略规划整体：3．因为信息不完
全和受风险、个人偏好等因素影响，对收益无法做出精确评估，从而影响投资决策的
准确程度。针对这些问题，越来越多的项目组合投资的研究在进行着，从基于财务数
据的模型到评分模型，行为方法等。但是将其作为一个系统，用数量化方法对组合方
案进行分析决策的却不多见。
对组合方案进行分析决策主要应用多属性决策。多属性决策主要由两部分组成：(1)
获取决策信息。决策信息主要包括属性权重和属性值；(2)通过一定的方式对决策信息
进行集结并对方案进行排序和择优。20世纪70年代和80年代初，关于多属性决策问
题的研究已经有了一些成熟的方法，但是这方法还不能完全解决人们在实际生活中遇
到的多属性决策问题。在实际决策问题中，决策信息的原始数据并不是一个确切的数，
而是以区间数或模糊数的形式表示。对于这类不确定多属性决策问题，原有的方法并
不能解决问题，而这类问题的研究也越来越受到人们的重视，并且有着重要的理论意
义和实际背景。
在项目组合管理项目中，要考虑到获得的信息不完全，即对项目评价的信息不是
一个准确值。在这样的情况下如何对项目的优劣进行比较，并形成最终的组合投资方
案，就是本文要考虑的问题。
l绪论硕士论文
1．2国内外研究现状
1．2．1组合投资理论和项目管理的发展和研究现状
组合投资理论的核心思想是关于风险和收益的衡量，要求投资者在高风险．高收益
和低风险．低收益间做出权衡。纵观组合投资理论，自上世纪50年代以来，主要有以
下资产组合选择模型。
(一)以Markowitz组合投资模型为代表的收益．风险(Return．Risk)型模型
这类模型包括：1952年MarkowitzIll提出的均值。方差模型，该模型假定证券收益
是随机变量，利用证券收益的方差度量投资风险；1963年由Sharpe[5J提出的单指数模
型，他认为任何股票的收益率都可以由单一的指数决定，简化了均值．方差模型；
Markowitzt6】和Maol71(1970)基于投资者更关心低于目标收益率的概率的心理建立的均
值．下半方差组合投资模型；由Konno和Suzuki／s]给出了均值．方差．偏度模型。
以上几种模型的区别仅在于风险的度量方法。在此基础上，国内许多学者进行了
进一步研究。马永开，唐小我191研究了不允许卖空时组合投资的模型；李仲飞和汪寿
阳和邓小铁【1川研究了带交易费用的组合投资问题；周东生【ll】基于投资者资金限制和证
券最小交易单位研究了组合投资问题。
(二)以VaR为代表的损失概率控制模型
Roy[12】(1952)提出了安全第一(Safety First)模型，该模型的的决策规则是极小
化投资组合收益小于给定的“灾险水平"的概率；VaR(Value at Risk)提出于上个世纪
九十年代(Philippe[13】)，定义为给定概率置信水平内最坏情况下的损失；Rockafenar
和Uryasev[14】(2000)在VaR的基础上提出了CVaR(也叫“尾部VaR")的概念，定义
为损失超过VaR部分的条件期望。
这方面，罗洪浪等【15】研究了在允许卖空且存在无风险资产借贷的情况下，基于VaR
约束的投资组合有效前沿的结构特征；沈沛龙等116]研究了允许卖空情况下基于VaR约
束的均值．方差最优投资组合。
(三)动态投资组合选择模型
Mossinll7l最早用动态规划的方法将Markowitz的单阶段模型推广到多阶段的情
况，Zhou，Litl81研究了连续时间均值一方差投资组合理论，并导出了相应的有效投资组
合和有效边界；Yin&Zhoull91提出了离散时间均值．方差投资组合选择模型，并指出该
模型可用来求解对应的连续时间均值．方差模型的数值解。
在国内，王秀国和邱菀华【20】(2005>讨论了下方风险控制下的动态投资组合决策
模型；许云辉、李仲飞【2l】(2008)用动态均值．方差模型研究基于收益序列相关的投资
组合选择，并得到解析解。
在偏好和不确定方面，王秀国和邱菀华【20】在目标函数中考虑了投资组合的最坏结
2
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
果，并给出了最优投资策略的解析式；秦学志和吴冲锋【22】在投资者风险偏好具有随机
性和模糊性且效用函数具有线性可加性的假设条件下，建立了相应的证券投资组合选
择方法。
再来看看项目管理的发展和研究现状。最开始的项目管理源于二战时期，是作为
战争计划管理的工具。1965年以欧洲为主体的国际项目管理协会(IPMA)和1969年
美国项目管理学会(PMI)的创建标志着，项目管理被作为-l'-J科学开展系统的理论
研究。从那以后直至现在，项目管理被广泛运用于各行各业，尤其是近年来在新兴产
业中得到了迅速发展。
经过多年发展，在组合管理方面出现许多方法，这些方法包括：
(一)财务模型——传统的的净现值法(NPV)，内部报酬率法(IRR)，财务比率
的方法等123J；
(二)随机财务模型——蒙特卡罗方法、决策树法，期权定价理论【2叼；
(三)评分模型——按照量化的问题来进行评分与分级【251；
(四)层次分析法——最常用的多目标决策办法，通常基于项目进行比较，例如
评分法125J；
(五)行为方法一一让决策者更多的参与到决策模型之中，例如德尔菲法和
Q．sort[261。
在数量化建模方面，Beaujon等人【28】(1964)提出一种混合整数规划模型来解决
项目投资组合问题，获得了最优解，并且研究了项目评估价值对组合投资选择的敏感
性。Dickinson(2001)129]等人提出了信赖矩阵的概念，描述项目间的关系，并在此基
础上给出一种多阶段的项目最优组合投资模型。Golabi etal．130】(1981)在太阳能工程
的组合投资选择中考虑了偏好问题，Kleinmuntz and Kleinmuntzl3lJ(1999)在卫生保健
的资金估值中采用了战略逼近估值，Stummer and Heidenbergert321(2003)考虑了多属
性参数工程项目的交互性，。G Iyengar,D Goldfarbl331(2003)关于不确定信息的情况
下建立了稳健组合投资模型。
我国项目管理研究起步较晚。汪涛(2000)f34】将字典序法应用于有资源约束的研
发项目的选择决策中，并提出了求解满足资源约束的最优方案子集的约简式算法；张
炯，叶元煦，张沈生等(2003)135】设计了以创新项目的技术经济效益为总体目标的指
标体系来保证创新项目的评价结果。
1．2．2多准则决策理论的发展和研究现状
多准则决策源于1986年Pareto提出的帕累托最优概念，真正将多准则决策看做
是一种规范的决策方法是在20世纪六十年代，以Chames和Cooper[361在目标规划上
的研究和Royl37】提出的Electre方法为代表。1981年，Hwang和Yoon[381将多准则决策
1绪论硕十论文
问题划分为多属性决策和多目标决策，进行分别讨论。
1968年，Mac Crimmon[391总结了多属性决策的方法和应用，提出许多潜在的概念
方法，并就方法的结构、偏好等进行了划分。
除多属性效用理论外，另一研究分支基于优先级别关系，源于ELECTRE方法。
之后Roy["oJ等人将这个方法进行了进一步拓展。同样建立于优先关系上的排序方法还
有POROMETEE，QUALIFLEX，REGIME，PACMAN等。
在经典多属性决策理论的基础上，不确定多属性决策理论也得到发展。Von
Neumann和Morgenstem(1944)14lJ提出期望效用的公理体系，证明了决策者最大化
效用的结论；Savage(1954)【42J对期望效用模型进行了拓展，加入了主观概率因素。
Zadeh【43J在1965年提出模糊集合的概念，在1978年将模糊和随机进行了区别，并应
用于决策领域。20世纪七十年代以来，Greco S，Matarazzo B，Slowinski R【44J等人对模
糊集进行了比较和排序方法的研究。描述性目标的典型代表是粗糙集和多元统计方法，
粗糙集从决策表中推出决策规则，基本类似于多元统计，Grec0144]等人在粗糙集方面
进行了研究。
在随机多目标决策和模糊多目标决策方面，自1955年Danzi9145]指出随机规划的
重要性之后，随机单目标线性规划模型被广泛研究。而随机多目标决策的研究成果却
并不多，因为随机变量的出现确实使得问题的难度增加很多。自L．A．Zadeh[4611965
年提出模糊集理论后，1970年，Bellman[47J教授与Zaden教授在多目标决策的基础上，
合作提出了模糊决策的基本模型。模糊集理论已经渗透到决策科学的各个领域。
在国内，张兴芳和张兴伟【48】在1999年定义了可信度的概念，并基于该概念给出
了一种方案的排序方法。2001年，张兴芳和管恩瑞【49J引入了一种反映决策者心态的指
标，并给出了一种基于该指标下的多属性决策方法。达庆利和徐泽水pw在2002年对
于决策矩阵元素均为区间数的不确定性多属性决策问题，提出了一种单目标最优化模
型，并给出了一种基于可能度的决策方案排序方法。徐泽水【5lJ在2001年对于这类问
题提出了一种基于区间相离度和可能度的偏差最大化决策方案排序法。张吉军和熊饪
【52】于2001年给出了最小隶属度偏差方法来解决这类不确定问题。
1．3本文的主要工作
1．3．1本文的思路结构
第一章介绍了项目组合选择问题研究的背景，叙述了组合投资理论和项目管理、
多准则决策理论的发展和研究现状。
第二章先给出了关于体现稳定性的几个决策准则。接着介绍了不完全信息下，不
考虑决策者偏好下的方案组合选择模型，在区间形式的不完全信息表述下，给出了序
4
硕士论文不完伞信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
关系下的非劣集合。
第三章在第二章组合投资的项目选择问题上，进一步考虑偏好。首先讨论了偏好
对非劣集的缩小作用，说明任何形式的偏好规划都不会在非劣集中引入新元素。之后
根据是否考虑决策者主观偏好，分别给出权值确定的方法。接下来从决策准则中的有
关稳定性几个法则入手，分别给出了在信息完全不确定情况下和具有先验概率的情况
下的序关系的构造，并基于序关系之上，给出了获得最优解的算法步骤。在章节末尾
举了不考虑决策者主观偏好，区间情况未知时的一个算例应用，予以说明。
第四章考虑了包含可变规模的项目的情况，经分析，将问题转化成全部项目都是
规模确定的情况和全部项目都是规模可变的情况。对全部是规模可变项目的情况，考
虑了决策者的风险偏好，给出了稳定最优解的解法。在此基础上，考虑包含规模可变
项目的组合投资问题，给出了在决策者风险偏好下求解稳定最优解的算法过程。
1．3．2文章解决的问题及创新点
(1)在求解过程中，利用序关系刻画决策者偏好，用于考虑解的稳定性因素，并取得良
好效果。而国内现有的这方面的决策研究都只是考虑如何算出最优解，没有考虑稳
定性。
(2)在权值向量W的模型计算中，用相对的参数值代替绝对的参数值，使得结果更加贴
近现实，对原有的方法进行了改进。
(3)考虑了包含规模可变项目的组合投资选择问题，并在考虑决策者风险偏好的情况
下，给出了求解稳定最优解的算法过程。
5
2准各知识硕：L论文
2准备知识
2．1不完全信息和稳健性
本文所描述的不完全信息，主要指模糊的不确定性。公司在对项目的各项属性指
标以及指标的权重进行考察的时候，由于认识能力的限制以及各方面因素制约，无法
确切知道数值大小。与随机性不同，事物的状态实际上是确定的，只不过由于认知的
难度，是我们无法确切知道他到底是在什么状态，类似于黑箱问题，状态已经确定了，
只是我们无法知道他的形态。在不确定的情况下，给出分布等信息比较难，尤其是没
有历史先验数据时，然而仅给出一个区间还是有相当可行性的。这里用区间表述信息
的不完全，而区间内信息仍然是未知的，即无法判断某个自然状态发生的概率高于或
低于另一个自然状态。
提到不确定，就自然产生稳健性的概念。若是状态全部确定，有确定解，自然不
需要关心这个问题。正是由于信息不确定，为避免信息的微小变动，导致解发生非常
大的变化，我们必须考虑解的稳健性。
关于稳健性的看法有很多种：通常对稳定性的看法是——解依赖于参数的变动是
否连续，而不是发生突变，若不发生突变，则为稳定解。
然而很多时候由于模型本身的原因，解是否连续依赖于参数变动并不是我们所能
决定的，那么在处理这些问题是如何体现稳健性呢?首先根据决策者偏好架构和风险
态度，我们做出不同的决策标准。
1． 悲观原则【53】(max-min准则)
其基本思路是假设各行动方案总是出现最坏的可能结果值，这些最坏的可能结果
值，这些最坏结果中的最好者所对应的行动方案为最满意方案。决策的具体步骤是：
1)根据决策矩阵选出每个方案的最小条件结果值；
2)再从这些最小值中挑一个最大者，所对应的方案就是最满意方案。
悲观准则的数学描述是，设方案的最小收益值为
g(q)=m!nq。∥=l，2，⋯，聊)
-)J：V‘
则悲观准则的最满意方案应满足
一，●． 一。， g【口)2maxq(ai)2燃勰qu
持悲观准则的决策者往往态度谨慎保守，充分考虑最坏的可能性，采取坏中取好
的策略，以避免冒较大的风险。
2． 折中准则【53j
6
硕士论文不完伞信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
折中准则既非完全乐观，也非完全悲观，其基本思路是假设各行动方案既不会出
现最好的条件结果值，也不会出现最坏的条件结果值，而是出现最好结果值与最坏结
果值之间的某个折中值，再从各方案的折中值中选出一个最大者，对应的方案即为最
满意方案。决策的具体步骤是：
1)取定乐观系数口(O≤口≤1)，计算各方案的折中值，方案ai的折中值记为办(q)，
即
矗(q)=am嘲a朝xqr，+(1一口)罂受劬(，=1，2，⋯，聊)
2)从各方案的折中值中选出最大者，其对应的方案是最满意方案，即折中准则最
满意方案满足
Jll(口’)-m肼a。xh(af)=m—a。x[amlsJa绷xq,，．+(1一口)熙gJ
乐观系数口由决策者主观估计而确定。特别地，当口=l时，就是乐观准则；当口=0
时，就是悲观准则。折中准则中的口一般假定为0<口<1。
3． 遗憾准则‘53】(min—max准则)
遗憾准则指人们在选择方案的过程中，如果舍优取劣，就会感到遗憾。所谓遗憾
值，就是在一定的自然状态下没有取到最好的方案而带来的机会损失。设在状态pi下
选择了方案嘭，这时得到条件收益值％，则方案q在状态口，下的遗憾值％(或称收益
值g；，的遗憾值)为
％2燃g{，一q,j(江1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，甩)
遗憾准则的基本思路是，假设各方案总是出现遗憾值最大的情况，从中选择遗憾
值最小的方案作为最满意的方案。具体决策步骤是：
1)计算各方案在每种状态下的遗憾值匕(即机会损失值)；
2)找出各方案的最大遗憾值，即
，(q)2懋，；『(f-1，2，⋯，坍)
3)在各方案的最大遗憾值中取最小值，对应的方案为最满意方案，即最满意方案
a’满足
，．(口‘)2嬲，．(q)=幽m㈦a功x lzF．1≤a<m lsJS刖lS，S撑’
上述3种决策准则都或多或少表现了稳健性的性质。考虑情况差时不会取得太差。
事实上，考虑稳健性的方法通常都或多或少带有一些悲观的想法，就是说是对取
最值的某种限制。而对不完全信息下项目的选择，实际上就是在方案目标函数效用最
大与解的稳健性之间做一个权衡。
7
2准备知识硕士论文
2．2不完全信息下的稳健组合投资模型
稳健组合投资模型，即RPM(Robust Portfolio Modeling)理论是一个用于分析多
准则投资组合规划问题的决策支持理论。Juuso Liesi6a等人【54】(2007)在文中对其进
行了叙述，下面对这个模型进行具体的介绍。
2．2．1企业项目投资组合方案的选择模型
企业项目组合方案选择模型有2个目标：1)收益最大化；2)投资额度最小
用决策思想表述如下：
Max∥=Σ‘咩
t=l
Min B=ΣtZ
J=l
薯∈【0，1]nN
其中
形： 投资组合方案的收益总额；
五： 备选项目库中的第j个项目，只能取O或1；
M： 备选项目库中的第f个项目的综合收益；
谚： 备选项目库中的第f个项目需要的新增投资金额；
曰： 企业的投资能力。
这是一个多目标的O．1规划问题。而现实中，企业在进行投资方案优选时，一般是
有一定的前提条件或追求目标的，如企业本年度的投资能力、人员安置数量和要实现
的投资效益等。因而可以将多目标的0．1规划问题转化为单目标的0．1规划问题。接
下来，考虑面对不同的前提条件或追求目标时不同的表达形式。
1．在企业投资能力一定的前提条件下，以投资效益最大化为目标的优选方法。
面对备选项目库中多个可供选择的备选项目，在企业投资能力一定的前提下，使
企业获得最大的投资效益。根据投资方案的目标和约束条件，建立以下决策模型：
目标函数：
约束条件：
Max形=Σ薯q
I=l
f n
lΣ薯4≤B
【薯“0,1]nN
式中各个参数的意义同前文所述。
2．在企业投资效益目标一定的条件下，以投资需求最小为目标时的优选方法
8
硕士论文不完伞信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
此种条件下的投资方案优选，就是为了使企业以最少的资金投入，来实现既定的
经济效益目标。我们同样可以采用0-1整数规划法来进行组合投资方案的模型建设。
根据投资方案的目标和约束条件，建立优选模型如下：
目标函数： Min 8=Σ‘Z
1=1
约束条件：
式中各个参数的意义同前文所述。
2．2．2多指标评估
方便叙述，符号定义如下：
X=缸1，．．．，X”)： 依赖于n个参数指标的m个备选项目的向量表示；
一： 备选项目一在第i项指标下的收益得分，满足∥∈【o，1】；
1，7=【1，i，，⋯，《】： 用向量表示第j项备选项目的收益得分；
v=【v1，⋯，,gm】： 备选项目的收益得分矩阵，v∈R7”，疋=【o，oo)；
M ： 用于衡量第i个评定参数的相对重要性；
w=(嵋，⋯，％)r： 权重的向量表示，满足w∈或={w∈R”1w≥o，ΣⅥ=1)；
v(p，W,V) ： 组合投资P的综合收益；
81
P∈X ： 可行项目的一个子集，表示一个可行的组合投资；
P=2x ： 所有可能的投资组合的集合，是一个幂集合；
在多指标评估之下，第j项资产的综合收益实际上就是v：；，值的加权平均，表示为：
V(x／)=Σ嵋∥
i=l
而对于任意的组合投资P，相对应的收益值的大小就是组合投资所包含的项目的
收益得分的值的加权之和。
做映射：V：P×￡×R7”，
则组合投资P的收益为：
V(p，毗v)=ΣV(x’)=ΣΣwf谚(2．2．1)
xJep —Ep，=l
整理式(2．2．1)得：
V(p，W，1，)=ΣwΣ∥ (2．2．2)
9
旷
M
>一
q
吃
q
F
。D商耻玎
2准备知识硕士论文
其中Σv：；，是组合投资P在第f项指标下的收益得分。
2．2．3资源限制约束条件
所有备选的组合投资的数量是lPI_2”。通常情况下，只有这些组合投资中的一部
分可以满足资金和各种资源的限制。
方便叙述，符号定义如下：
《： 备选项目X’消费第k种资源的数量，《≥0；
C(x。)=【彳，⋯，《r： 备选项目x’所消耗资源的向量表示；
最： 表示第k种资源类型的限制值(后=l，⋯，q)；
B=隅，⋯，或r ： 资源限制的向量表示，B∈群；
昂： 满足约束条件的组合投资的集合，昂={P∈P l C(p)≤B)；
对于任意的组合投资P的消耗是其所包括的所有项目的消耗的和，表示为：
C(p)=ΣC(x’) (2．2．3)
且C(o)：石。一6，
那么满足约束条件的组合投资的集合就表示为
耳={P∈PIC(p)≤B) (2．2．4)
如果关于权重和收益得分的信息是完全的，那么最优的组合投资满足——约束条
件下使(2．2．1)式的值最大化，这个最优组合投资可以通过解以下线性规划问题(ILP)
而得到。
m，。a。，x，Z，。卢Z，：。w,v／=：毛m，．一a，x。。{z，；。z，xΣIEp M‘’∥IΣ3=1 z，c(x7)≤2≯，zJ∈{o，1))
当且仅当x。∈P zj=l。
2．2．4不完全信息
在RPM方法中，不完全信息主要通过包含于全信息集的集合表示。由于信息不
是一个确定的值，因此，基于不完全信息集合，最终无法得到单独一个确定的最优解，
而是一定数量的组合投资，来对决策者进行建议。
方便叙述，符号定义如下：
--Mj： 一的上界；
1，；： ’，?的下界；
&： 关于属性指标的不完全信息的权重的集合，瓯∈s．o；
S，： 可行值的集合；
其中，备选项目x7在第i项指标下的收益得分∥的上下界分别为V；和10满足
彰≤Ⅳ≤v0 J=1，⋯，m，f--1，⋯，刀，因而，不完全信息在方案属性指标方面，可以表
10
硕上论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
示为一个包含∥的区间【旦?，v力。
权重集&被假设成为被决策者偏好限制的由线性不等式所表示出的一个凸集合。
而对于其中的两种极端情况，Sw=戳是包含最大范围的权重集合，可以取得任何权重，
从偏好角度讲，也就是不包含任何的决策者偏好信息；相反，so中的某个点则是包含
最多的信息，权重被完全的确定下来。
那么可行值的集合鼠就可以表示为母={v∈哗”I∥∈嘭，-；／31。
对于一个给定的组合投资P，伴随备选项目属性指标下的收益得分和指标权重的
不同选择，组合投资的综合收益值也会有不同，与收益得分一相类似，也可以将其表
示为一个区间。显然y(p，w，'，)∈[m⋯in，V(p，叻，m。。akxV(p，叻】，w∈瓯，V∈鼠其中y(p，彬砂
前文已定义，是指组合投资P的综合收益。
做映射y，兰：尸×母j皿表示如下：
V(p，w)=ΣΣ心刁(2．2．5)
匕(p，叻=ΣΣw彰(2．2．6)
x’Ep I=i
分别表示组合投资P综合收益值的上下界。对于给定的权值向量W，伴随1，在S，上
取值的变动，组合投资P的综合收益值随之在区间【匕(p，w)，V(p，w)】上变动。
为方便表示信息集合，定义关于可行权值和可行参数值的复合集合，表示为&和
鼠的笛卡尔积形式S暑&×母。此时，s(w，v)∈S等价于WE瓯，v∈鼠。这样的一个关
于权重和参数值的集合S作为一个完整的信息集。
参见式子(2．2．2)和式子(2．2．4)，那么不完全信息的组合投资的项目选择问题的
模型可以表述如下：
目标函数：Max
约束条件：
其中，
V(p，彬力=ΣMΣ∥
lC(p)≤B
【薯∈【o，llnN
= D 嵋。ΣⅢ 嵋>一q
一，-t缈∈ R
= 0
W 匀S
一∥
嘭& c一
∈
一w ∈
2准备知识硕士论文
2．3组合模型下的序关系以及非劣集合
在上一节中我们提到，最终无法得到单独一个确定的最优解，而是一定数量的组
合投资。很自然的，我们对于任意的两个投资组合P和P’之间的大小关系会感兴趣。
这两个组合投资之间可能会有相同的备选项目，和通常情况下的偏序的定义相一致，
我们定义基于信息集S下，两个投资组合P和P’之间的序关系。
定义2．3．1154J 在集合尸上定义关系>-如下，
若一lV髋p，，≥1，W)>冀V仞’党，比嚣D，哥粼w，¨D∈S P，，’∈P“P帅叫。
⋯1 ‘
对于两个组合投资P，P’∈P，P>_P’表示组合投资P关于信息集S优于P’。
通俗来讲就是，对于两个组合投资的大小比较，若认为其中一个优于另一个，则
说明其各项属性都不低于另一个，并至少有一项严格大于。
在不完全信息时，组合投资的综合收益值通过式(2．2．5)和式(2．2．6)的上下界
进行比较。如果某个项目同时存在于两个组合投资中，则无需比较；若不相同，则需
要保证全部区间的取值情况都满足定义2．3．1。
下面的定理给出了两个资产组合的比较方法。
定理2．3．1154I
Imin[E(p＼pt，w)-V(p'＼p．w、1≥0",,at-",r a-I．,i---．，
肛∥营{；【-(p＼p．肿mⅥw)】>o'电∥卯，其帕哉憾
矿，V己由式(2．2．5)和式(2．2．6)定义。
根据2．2．4节，权重集瓯被假设成为被决策者偏好限制的由线性不等式所表示出
的一个凸集合，定理2．3．1因而在&中的min和max值可以转化为线性规划问题，这
个线性规划问题的解会在鼠，的极值点取到。
仔细思考上面的内容可以看出，在不完全信息下，定义了偏序关系后，由于两个
组合投资的区间有可能出现重合，无法满足，导致可能没有唯一解，而是存在一个解
集合。对于这个解集里所有元素，找不到任何的元素比该元素更优，将这个集合定义
为非劣势集。
定义2．3．21删关于信息集S的非劣势组合投资集，记为PN(S)，定义为
足(s)={P∈B IpJ，P’，坳’∈昂)
当对于S的信息没有异议时，我们标记晶兰民(S)。
引入非劣势集合的意义非常明显。决策者是理性的，在寻找全局最大值时，是不
会选择一个劣势集合的，所有劣势的组合投资会被舍弃。相反，如果组合投资P是非
劣势的，任何其他的满足约束条件的组合投资P’在整个信息集上都不可能获得高于这
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
个集合的值。
因为偏序关系的不对称性、非反射性以及传递性，晶是非空的，除非可行集斥为
空。并且，对于每个劣势的组合投资P’∈品＼晶，至少存在一个组合投资P∈足是优
于P’的(P卜P‘)。因此所有非劣势集合的计算成为解决不完全信息下的组合投资问
题中一个重要步骤——这个步骤将完全剔除不满足序关系的组合投资。
2．4非劣势集合的计算
从多目标决策的文献看来，非劣集的获得主要通过以下步骤：
(1) 列举所有可能的组合投资；
(2) 排除不符合约束条件的组合投资，以获得可行集合乓；
(3) 通过可行集合昂中的两两比较获得非劣势集合R。
由于关于m种备选项目的组合投资的数量是I P I-2”，时间复杂度为2‘。当备选
项目数量增加时，若采用穷举法，工作量将变得无法估计。举例来说，如果进行一个
关于20个方案的组合投资的列举需要花费1秒钟，那么进行一个关于40个方案的组
合投资的列举则需要花费lx220秒(约为12天)的时剐551。因此，一个有效率的算法
显得十分的重要。
如果属性评价分数是信息完全即是完全确定的，那么非劣势集合的计算可以通过
多目标多属性渐缩算法获得(见Ehrgott和Gandibleuxt5612000)，而到目前为止，对于解
决不完全信息下的多目标的渐缩算法并没有被解决。
Juuso Liesi6a等【54】提出一个动态规划算法来计算非劣的组合投资集合。在这个算
法中，备选项目将会一个接着一个的被处理，因此，在算法进行到第k轮时(七≤研)，
被带入算法计算的备选项目属于集合{X1，．．．，∥)，并且，只有当这些项目满足约束条件
的组合才会被储存下来，并进一步带入到下一轮的算法中。
下面给出整个算法的构成过程。
为方便叙述，我们不妨定义两个组合投资的集合：
当七=1，⋯，历时，
牟={p∈名l P∈{x1，⋯，x‘))，
磷={P∈露Ijp’∈罐，J，P’卜P，C(p3≤c(p))。
露是考虑k个备选方案的非劣集，下面的引理将说明：目可以通过辅助集磷一
次次的循环得以构造成，也就是局部的非劣集包含在全局的非劣集之中。
弓I理2．4．1154l 若2≤七≤，力，那么
(i)P∈麟≥P＼{∥)∈礤。1
(ii)P∈露＼黠j动’∈露，盯P’>-P，C(p9≤C(p)，
(iii)p∈R≥P∈聆
2准备知识硕士论文
引理中三点分别说明了以下问题：
(i) 说明磷可以由露一逐步构造出，避免直接遍历可行集斥中的所有组合投
资；
(ii) 给出被踢出非劣集的组合投资P的满足条件
(iii) 第三条说明所有的非劣势集合可以由集合臂得到。
产生非劣集的算法表述如下：
算法2．4．11541：
Stepl 碟卜{{夕)，∥))
Step2 For k=-2，⋯，m
a)≯：：，+--{p∈B I x。∈p，(p＼{x‘))∈呓一1)
b)露卜妇∈箴I而’∈磷～，“p’>-p，C(p3<-C(p)}U{p砖一I而∈芦：：r，
sJ P’>IP，C(p3≤C(p))
Step3 R卜仞∈臂lP’卢p跏’∈臂}
算法意义叙述如下：
Stepl集合碟是只包含{a)，{x1}这两个组合投资的集合，由之前的假设可知，他
们满足{o>≠C(x1)≤B，{a)夫{x1)。既然{o)，{一)不可比，且不是同一集合，他们构
成的集合群是一个非劣集。
Step2之所以可以通过循环a)，b)步骤构造非劣集，得益于引理2．4-1，表述为：
如果从露中的组合去除{矿}，剩下的项目构成的组合投资必然包含于磷～。步骤a)，
在集合露-1的每个投资组合中加入X‘：步骤b)，去除无法达到资源约束和构成劣势集
的组合投资，为达到这个目的，需要将≯≈和磷-1所有的组合投资进行两两比较。
Step3将非劣集从彤移至昂。
算法2．4．1每一轮循环都剔除了数值不符合的组合投资，避免随后的比较，减少了
运算时间。
14
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
在上一章，已经给出了不完全信息下组合投资项目选择问题的模型。并且基于序
关系比较的基础上，已经剔除了劣势解，得到了非劣势集R(S)。
对于我们所得到的非劣集合只，(S)，其中包含的组合投资的数量可能仍然十分巨
大。很自然的，我们会问，对于非劣势集里面的解元素我们应该如何比较，如何在那
么多的非劣解中找出最优解，并且不破坏模型的稳定性。
对于解的稳定性，本文是这样认为的：对于持悲观态度的人，应采用悲观原则
(max—min准则)，使得最糟糕情况下，取得最好的选择，此时选得的方案记为以⋯。
接下来考虑适当乐观，考虑其他方案和方案几。。相比，会比A方案取值好的可能性大
小，设定一个可以接受的可能性值只。。，将可能性大于该可能值的方案纳入备选集中。
接下来考虑遗憾准则(rain—max准则)，考虑最大可能损失，设定决策者可接受的最大
可能损失为乙删，若备选集中存在与方案k脚相比最大可能损失小于L删这样的元
素，取满足条件元素中期望值较大的一个，这样就给出了最优解∥。。
最优解4‘是稳定的。满足：即使可能取到了比方案k。下界差的情况，这样的可
能性大小低于只删，而其收益值与方案4删最好情况比，损失也不超过三一。
为了求得最优解彳‘，我们所需要进行的工作有：
1． 说明偏好信息对上文的工作是可传承的(即偏好不会对已求出的非劣集
R(S)增加新元素，只会在原有的基础上对非劣集R岱)进行缩小)。
2． 需要确定权重向量W。由第2．2．4节知，权重集&被假设成为被决策者偏好
限制的一个凸集合。就是说权重信息是可以根据需要进行选择的，只需满足
WE爱={we掣lⅥ≥o，>：w=1}即可。
3． 定义最大可能损失，芳案间比较大小可能性等概念，用于具体构造最优解
∥。并给出最优解彳’的构造流程。
3．1偏好信息对非劣集的缩小作用
这里的偏好是广义上的偏好，并不特指决策者的主观偏好。由公司策略或是实际
情况导致的对信息集的限制也认为是偏好的一种。
偏好体现形式有两种：
(1) 对于信息集S的进一步约束
(2) 对于序关系>I的进一步加强
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕：￡论文
3．1．1信息集S的形式的偏好
因为是全集之上添加的，显然“偏好信息会使得信息集S的范围变小"是一个符
合一般人思维的假设，考虑偏好后的信息集不妨记为§。
根据第二章的内容，S至&×&，信息集包含无权重信息Sw和属性指标信息母。
偏好具体是通过权重W和指标收益评定分值’，体现的。
引理3．1．1若S，c瓯，S，∈鼠，则scS。
证明：。．’S。c&
．’．3x∈&＼Sw
记Swl={X l x∈&＼Sw)，—S=&I×S，
则S=S＼S
·．’&l≠f2j
．·．S=S＼S≠彩． 得证。
引理3．1．2若S。s瓯，S，c&，Ns c S。
证明过程和引理3．1．1类似，不做赘述。
引理3．1．1和引理3．1．2说明，不论是权重W或者指标收益评定分值v的信息形式
的约束，都最终会导致信息集S的缩小。
考察偏好信息对非劣集的影响，我们假设icS，准确的信息被包含于i中，因
而也就被包含于S的内部。
信息集S被认为是稳定的，也就是说认为准确数值不会出现在S的边缘点，否则
一个轻微扰动会导致准确值的缺失。
根据上面所叙述的，我们猜想偏好信息的添加可以从原来的非劣集中再剔除一些
组合投资，但是不会引入任何新的组合投资。这样，关于s的劣势集也～定是i的劣
势集。
定理3．1．1假设信息集§。和意，满足至少有一个真包含于s，§兰碧。×季，，并且
int(S)c、S≠a，那么R(S)∈R(S)
证明：·．·信息集i。和§，满足至少有一个真包含于S，由引理3．1．1和引理3．1．2
得§c S。
接着用反证法。
假设结论不成立，即劲’∈最(蓉)，P’盛乓(蓉)。则，动∈最(s)，P’诺R(§)使得
P^P’，也就是
v(p，w．功≥v(p’，W，v)V(w，V)∈S^ (3．1．1)
j(w．，v+)∈S使得v(p，w．，1，‘)>v(p‘，w‘，1，’) (3．1．2)
因为S c S，所以
v(p，嵋∞≥v(p’，W，v)V(w，v)∈S (3．1．3)
16
硕上论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
由int(S)广、S≠a，以及(3．1．1)式和(3．1．2)式可知
g(p，W’，1，I)>V(p’，W’，'，t) (3．1．4)
由不等式(3．1．3)，(3．1．4)知P h P’，因此P’盛R(i)，矛盾!定理得证。
由定理3．1．1可知考虑关于权重W和属性评价值v的附加偏好信息没有在非劣解集
中增加新元素，因而，基于偏好对非劣解集给出最优解或是将非劣解集缩小的工作可
以在前文的基础继续进行。
3．1．2序关系>-形式的偏好
观察定义2．3．1和定理2．3．1，P—P’满足的条件是
I Vp，W，1，)≥Vp’，W，V)，V(嵋y)∈S
【V◇，W，V)>Vp’，嵋1，)，j(嵋’，)∈S
fmin[V_．(p＼p’，们一V(p．＼p，w)】≥o， 印，P’∈P，其中S=S,xS,
铮{～⋯一
lm警【y(p＼p’，川一匕(p．＼P，叻】>0，
从中可以看出，序关系>-是一个相当宽松的偏序关系。仅当V(p＼p’，们和
矿(p-＼p，川上下界所确定的区间完全没有重合点时，P，P’才满足偏序关系。序关系>-完
全考虑信息集S中的全部信息。
基于缩小非劣集日(S)的目的，我们必须定义更为严格的偏序关系，使得比较更
为明朗化。下面给出序关系间偏序结构的定义。
定姐化称尸上定义的偏序^强于^，若譬嚣’美：三=名荔。
定义3．1．2表述的是若>、下满足偏序关系，则在^下也一定满足偏序关系，反之
不然。有可能^下无法比较的元素，在^下可比。特别的，若尸中所有元素都可以比
较出大小，此时的偏序关系就成为了全序关系。
通过序关系的定义，看出，偏好在序关系上的体现就是序关系的加强，使得某些
原来不可比的元素可以比较，实际上起到了减少了非劣集中的元素的作用，但却并没
有增加非劣集中的任何元素。下面定理说明了这一点。
定理3．1．2假设序关系^和^，满足^强于>1，那么昂(^)c R(>1)。
证明：反证法。
若不满足昂(^)￡昂(>1)，则至少存在一个Po∈晶(^)，但是‰仨昂(>1)
则Po∈斥＼昂(>1)
由非劣集定义，Vp’∈0＼昂(^)，萑J'P0^P’，
印∈昂(>1)，Po∈名＼昂(^)劫^风(3．1．5)
又‘．‘^强于^
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
．’． 印∈R(>1)，‰∈昂＼昂(^)劫^‰ (3．1．6)
式(3．1．5)和式(3．1．6)是矛盾的，
．·．日(^)量目(>1) 得证。
综合定理3．1．1和定理3．1．2，我们可以得出以下结论。
结论3．1．1不论是权重w形式还是评价值∥形式的偏好信息，或是以偏好形式严
格信息集，都可以从原来的非劣解集当中再剔除一些组合投资，但是不会引入任何新
的组合投资。这说明，考虑偏好的过程与之前的非劣集的形成过程是可衔接的，非劣
解集的缩小工作可以基于前文的基础继续进行。
最后说明一下，序关系的加强和信息集的进一步约束实际上起到了同样的效果，
同样减少了非劣集R(S)所包含元素的数量。某个角度讲，二者是等价的。只是从实
际操作看，信息集的偏好信息是间接起作用的；而序关系的定义更容易体现某些特殊
性质，直接给出了元素间比较优劣的直接操作方法。
3．2偏好信息中权值的确定
由上一章2．2．4小节可知，权重集&被假设成为被决策者偏好限制的一个凸集合。
就是说权重信息是可以根据需要进行选择的，只需满足w∈《={w∈彤1 w,≥0，Σw--1}
即可。下面分别就基于客观权值的确定以及考虑决策者主观偏好的情况分别予以讨论。
3．2．1客观权值W的确定
客观权值不以决策者主观思想为转移，他是通过以下途径确定的。为了满足判别
程度最高、信息被最充分利用等决策中的有利条件，要求合适的权值，这样的权值就
是所要求出的客观权值。
由于Ⅳ∈【彰，-’，，j】，为方便叙述与处理，引入区间数的概念。
定义3．2．11571 定义区间数二为二=【堡，二】={口I垡≤口≤二，堡，石∈尺)。
特别的，当a=a时，口退化为一个实数。
区间数三的中心和宽度分别是聊(乜)=去【垒+-】，似口)=去[二一剑。
二Z
定义3．2．2i58l 令。∈{4"，B9Z，÷)是实数空间上的二元运算，如果a和b是两个闭区
间，那么
aob={Xoy：x∈a，Y∈6)
定义了所有闭区间集合上的一个二元运算。在运算除法时，总假设b不能等于0。
也就是
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硕上论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
口+6=【旦+查，口+b】
口-b=L_a-b，口一绷
七二=后c旦，三，={：：象：耋：后k<>。0
为反映区间数之间相互区别的容易程度，给出区间数P(磊≥5)的可能度一个近似
估计。定义3．23定义Pr。6(二≥占)=蔓竺二兰垒专差冬乏轰告i铲=t—i端为
区间数P(占≥5)的可能度一个近似估计。
可以看出PrD6(二≥5)+PrD6(5≥三)=1，满足一般的可能性性质。
接下来开始求属性的权重。
假设满足单位化约束Σ以=1条件的属性权重为w=(wl，w2，⋯％)。
1=1
由第二章可知，决策矩阵为
；：一一，≯】-
讲评⋯叩
E吒⋯哆
E K2⋯嵋
对1，进行规范化处理，得到规范化矩阵R=(，：’)。。
规范化公式为：
一，，，
，～
r』=——2—一(3．2．1)
。
m，a⋯xie{l，2⋯。一}}∥’
由区间数运算法则可知，∥为区间数，记作‘’=【∥，∥】。
由第二章知，综合收益为
V(p，W，D=ΣwΣ1J：；，
i=1 z／ep
最优解的产生需要对方案的综合收益值进行比较，若方案在属性下的差异越小，
说明该属性对资产组合排序起到的作用越小；反之，若该属性下方案之间差异较大，
则说明该组合对资产组合排序起到的作用越大。从比较的角度看，使得方案比较越容
易的属性应该赋予较大权重。
19
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
徐泽水认为区间数二和占的相离度d(三，5)=归一圳=F一云|+隆一旦f反应方案比较的
容易程度【5¨。本文提出了不同的意见。相离度是一个绝对数量，而两个区间的易比较
程度应该由他们之间比较大小的可能度来反映才更为确切，应该是一个相对数的概念。
图表3．2．1 a，h，c的易比较程度
如图表3．1所示：根据相离度计算，很明显可以得到d(三，占)>d(孑，5)，但是显然区
间数苫>占，而区间数云与占的关系却还不很明确。但是用定义3．2．3却很容易体现出这
一点。
当可能度值为0．5时，实际上就是两个区间重合。因而，本章以区间数之间大小
的概率(属于区间【O，l】)与概率值0．5之间的偏离关系反应属性对区间排序所起到的
作用。由于区间之间的大小比较可能度伴随着两个区间的相对位置的不同有所区别，
为计算方便起见，利用定义3．2．3所定义的区间可能度的近似值Prob作为衡量属性对
区间排序所起到作用的标准。
那么，对于属性甜，，用av,j(w)表示方案薯与所有其他方案比较的大小可能度与
0．5的偏差的总和。
咪叻=砉1}％券掣一o．5l I=I L口一堡J十LD一旦J I
用AV
总和。
△巧c忉=喜△％c们=兰I=l窆k=l P鼍措一。．5l I=l l ～“一丝，_r～L，一!∥ I
根据上述分析，加权向量的选择应使得所有属性下所有方案与其他方案比较的大
小可能度与O．5的偏差的总和最大。
为此，构造目标函数为：
于是求解权重向量等价于求解下面的优化问题：
腑Σ一。Σ硝。Σ黼
以= △ 巧，I、
。Σ一
m默△H时=
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
一州=薯剁訾鬻一o．5卜，=l』=l々=1 I L“一垡，十L口一旦J l
对其作拉格朗日函数：
wj>_o,j=1⋯玎，Σ嵋=1
j=l
三(w，f)=ΣΣΣ
对拉格朗日函数求偏导，并令其等于0，可得：
求得最优解：
一o．5i w,1fc言蚰，
考=喜喜I案措一o．5h—o． 跏f智台I(口一旦)+(6一缈⋯l。’1’一
券=薯蚰=。
矽=
n H 厶y厶y ma丝，垒)一型n(口，6)0．5
l=l k=l (a-a)+(6一垒)
芝隆塞l鼍竺笺三差案劢o．s1]2
为与第二章假设中的归一化条件相符合，对∥进行归一化处理。
归一化条件是：E：毒生
Σ嵋
／=l
得
一2
n 押yy Ina坠，缈一型口，6)9．5
J，一J，一口l k=l (口一旦)+(6-b)
rt7 刀月厶y厶y厶y 111a坠，垒)一些(口，们0．5
(a-垡)+(6一缈j=l t=l^=l
即为所需确定的客观权值。
3．2．2决策者对项目存在主观偏好时权值W的确定
为反映区间数相接近的程度，给出了重合度的定义。
(3．2．2)
21
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
定义3．2．4设区间数二=【垡，云】，占：陵，石】。称口(二，占)一max，(a,b、)-ra，。in(。a、,b)为IR"Ih--J
I口一口l+ID—D)
数口和b的重合程度。
考虑决策者对项目存在主观偏好的情况。通常情况下，决策者对于项目的互补判
断矩阵是难于给出的，给出也不一定能满足一致性原则，因而本文认为决策者对于备
选项目的偏好以区间数向量形式给出。
假设对备选项目∥的归一化之后的偏好为虿=【19|，母]∈[o，1】。利用式(3．2．1)对决
策矩阵；进行规范化处理，得到规范化矩阵页=(≯)。。。。ji中的元素孑可以看作决策
的在某一属性下的客观偏好值。客观偏好和主观偏好通常并不可能完全相等，其间存
在一定的差距。为使决策具有合理性，W的选取应使客观偏好和主观偏好之间的总的
相对偏差取得最小值。
不同于徐泽水【50】所选择的偏离度的概念，本章以定义3．2．4所给出的重合度的概
念反应偏好之间的相对偏差，这时一个相对数值，对两个区间数的接近程度衡量的更
加准确。
假设满足单位化约束Σ以=1的属性权重为w=(Ⅵ，w2，⋯％)。
J=l
根据定义3．2。4定义的两个区间的重合度口(二，5)，对相对偏差进行衡量。目标函数为：max唧c叻=喜善口c孑，虿，，_=喜善竺篆芝鬻。一
于是转化为下面的优化问题： 一喇=喜善新弧=；|；喜苇措。一
豇％≥o，／=1⋯拧，Σ叼=1
对这个模型做拉格朗日函数上cw，f，=喜喜竺等丢箩圭措‘一+三fc喜J嘭一·， I=I，=I l，：。一￡。l+I漫一幌l 二=l
对拉格朗日函数求偏导，并令其等于0，可得：
硕十论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
求得最优解
旦一：=x，7旦—,m——a—'x兰(r／早,．_=一-,—9,)-—一m——i—n(r—／一—,,—9,)一+fW+，[～=．U．
a屹智(‘。一r／)+(只一只)
7。
丝：争w：一1：0
8≤葛J
矽=
÷竺!兰：塑二型竺堕：呈!
智(，：7-r7)+(母一号)
为与第二章假设中的归一化条件相符合，对∥进行归一化处理。
归一化条件是：嵋：毒生
Σ矿
j=l
得
÷型丝：墅二型兰：：塑
。智(，：7一r／)+(母一号) 驴雾一(3．2．3)
即为所需确定的客观权值。
本节给出了客观条件下权值向量的具体解，以及在考虑决策者主观偏好时，属性
权值的解的形式。权值确定后，基于固定的权值条件，最优解可以通过序关系的定义
逐步构造出来。
3．3最优解的构造过程及算法描述
这一小节就区间内信息完全未知的情况和区间先验概率已知的情况分别进行了最
优解构造过程，正如本章开头所提到的，最优解彳’满足：即使可能取到了比悲观方案
以删下界差的情况，这样的可能性大小低于乞删，而其收益值与方案4删最好情况
比，损失也不超过L⋯。这样的解∥是稳定的。
在区间内信息完全未知的情况和区间先验概率已知的情况下，我们都是先定义了
基于不同比较标准的序关系，接着在基于这些序关系的基础上，现基于悲观法则给出
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕士论文
初始解，接着就决策者风险偏好做适当放松，做出最优解。定义序关系后，稳定解的
具体构造过程用算法予以描述。
3．3．1区间内信息完全未知时稳定解的构造过程
信息完全不确定是指，区间上下界已知，但是由于认知限制不知道数值具体会在
哪一点上。这种灰度的性质在结果出来前表现为随机性，可以认为真实值是相应区间
上服从均匀分布的随机变量。
为便于比较，引入区间数的概念。
定义3．3．1当二和5同时为区间数或者有一个为区间数时，设三=【旦，-】，5=陵，功，
则称
p(a≥6)=
1， 二≥一b
要．丝+尘旦≤垒≤一b<一a(3．3．1)
Z口一a 口一口
；a-：b+：b-：a．竺二鱼+!．皇二旦．：b-：a口≤6≤石≤石
b-一b b-一b口-一a
2
a-一a b-一b
一一
为二≥5的可能度，并且记二，舌的次序关系为二≥p 5。
对于区间数为三≥5的可能度的计算如下图分为三种情况：
b a
b一舌堡二
一
图表3．3．1 a和b无重复，a>b
6
＼
图表3．3．2 b包含于a内
圭后二] ≥
b一堕b— a
图表3．3．3 a。b重叠一部分
从图中可以看出，对于三和占不重叠部分，二≥5的可能性是1；在二和占的重叠部
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
分，三≥b。的可能性是o．5。对图示区域分块进行讨论。
因而二2b’的可能度为
1， 云≥石
!．丝+一a-b 口≤6≤石≤一a
2口一口口一口
一一
*a-b+一b-a．呈二鱼+一1．一b-a．一b-a 6≤口≤石≤云
b—b b一6口一口2口一日b一6
一一
基于遗憾准则(min—max准则)的考虑，定义误判最大损失的概念。
定义3．3．2假设正确的组合投资的顺序为P优于p’，定义误判投资组合P，P’的最
大损失值为v(p，w，v)-V(p’，嵋V)，记为‘、p．。
1．考虑基于中值比较大小的序关系的定义
定义3．3．3在集合尸上定义关系>1如下：
若麟m(Vp(p黑菖m州(V(p鬟W裂’3V(w黧¨S，则p叫。一I ，嵋’，))> ’，，1，))， ，1，)∈
。。“
夕^P’的具体表达形式可以根据定义3．2．1以及2．3节组合投资相关表达式具体获
得，计算如下：
P^P’
口。《。fm(V仞，Ⅵv))≥m(V(p’，嵋1，))， V(嵋V)∈S
【m(V(p，w，v)pm(V(p’，嵋’，))， j(w，'，)∈S
§寺(y(p，叻+匕(p，们)>去(矿(p’，叻+匕(pt，们)，V似力ES
§昙(Σ窆怫≯+Σ童wo)>丢(Σ窆Mv-jj+Σ窆Ⅵz)，v(w，v)∈S (3．3．2)
2．基于悲观原则比较大小的序关系的构造
定义3．3．4在集合P上构造关系h如下：
若匕(p，w)>匕(p’，们，j(嵋v)∈S P，P’∈P，则P^P’。
P^P’的具体表达形式可以根据定义3．2．1以及2．3节组合投资综合相关表达式具
体获得，表述如下：
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕士论文
P^P’
营匕(p，w)>匕(p’，叻， ∽’l，)∈S P，P’∈P
§ΣΣw咖ΣZwg p，P’∈尸(3．3．3)
IJEJ口t=l xJep’t=i
3．基于误判概率比较大小的序关系的构造
我们考虑决策者对错误判断投资大小关系接受程度，作为决策规则的参数。因为
a一>b。的可能度为烈三≥占)，那么错误判断投资大小关系的概率就是1一p(h≥占)。
假设决策者所能接受的最高误判概率为p触∈【0，0．5】(决策者是理性的，不可能
接受误判几率大于一半的情况)。定义序关系>-。。
定义3．3．5在集合尸上定义关系>．，如下，对于给定的p触，p触e[o，0．5】：
若V(p，W,r)≥。Vp．’毗’，)， V(w，'，)∈S P，P’∈P，概率P≥17触则P■P’。
p^P’的具体表达形式可以根据定义3．3．1以及2．3节组合投资相关表达式具体
获得，计算如下：
P、P’
营Vp，W，1，)≥p Vp’，W,V)
{今P(V(p，w，’，)≥Vp’，w，’，))≥l—p触。!．警譬兰掣+警拿芝掣≥l—p触玖易w)≤驭p：叻≤％：w)≤弧们2 y(B叻一ⅡBw)H易w)一匕慨w) 叫一一⋯一。“。7 ⋯
一J驭Bw)一踟：w)．№：w)一m，川．塑叻一以p：w)
I以p：川一Ⅱp：川y(p：w)一m：w)V(p，叻一Ⅱ易w) +!．警譬兰掣．菩譬堑嬲≥1一p触m：叻≤匕慨w)≤雨：w)≤弧叻2坎p，w)一兰慨w)№：们一踟：w) 叫一⋯⋯’’ “。7 ⋯
，ΣΣn w-Ⅵi一ΣΣwZΣΣw刁-Zw,1vr
去．生孚——望鲁L+生导n——掣il一≥l—p触㈦≤踟．)≤弘．)≤砌
2ΣΣw爿一ΣΣwZΣΣwⅥ--]一ZZwg
。
Σ羔Mz一Σ窆wzΣΣn w_"／一EZ”wg
ΣΣn w-"．／一ZZ”wg
xjE∥I=l 一∈，i=l
l
▲——·
2
ΣΣwZ
xJE∥，=I
ΣΣw刁
一Ep，=I
ΣΣwZ
—EP忙l
ΣΣwZ
xJ6|口i=l
。Σ窆生Ⅵ等：爿—一—Σ窆生wz} (3．3．4) H 月、一⋯’，
ΣΣⅥ：影一ZZwg
x，EP，=I xJ印i=l
ΣΣ咩Z一ΣΣ心Z
ΣΣn wⅥ_／一Σ主Mz
IJi∥i=l IJ∈∥，=I
≥l一‰帅．)≤必≤№-)≤㈨
■仅描述了损失情况发生的可能性，并没有描述可能发生损失额度的大小，仍然
不够合理。进一步考虑误判损失值。接下来考虑在基于误判概率序关系～的基础上，
26
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
根琚遗憾准则考虑所能接党的最大的误判损失o
4．已有序关系上考虑最大误判损失比较大小的序关系的构造
假设决策者所能接受最大的误判损失为to，定义序关系如下。
定义3．3．6对于给定的序关系^和决策者所能接受最大的误判损失毛，在集合尸
上定义关系、J如下：
若忙美p,p'eP,帅Ⅵ’。
hJ在序关系、基础上考虑区间误判损失值的大小。说明在序关系h成立并且误
判损失值4,于to时才能判定序关系成立。
定义3．3．6的具体表达形式可以根据定义3．3．2以及2．3节组合投资相关表达式具
体获得。表述如下：
{￡兰p,p'eP
§{多三：：一匕。p，叻≤，。p,p'e P
营把Ⅵ：⋯。、．p，p” C≥≮一口．口’∈，
IV(p，川一匕(pt’们≤to⋯
fp h P’P,Pf∈尸
§1ΣΣn wv_。j一Σ窆w!?---／o
5．特别给出h为■的情况。
定义3．3．7给定决策者所能接受最大的误判损失，n，
(3．3．5)
集合P上定义关系^J如下：
爿≥舅≮Ⅷ’∽吐V(w,v)eS p,p'e P,贝JJp>-oj p'*
定义3．3．7的具体表达形式可以将式(3．3．4)和式(3．3．5)带入具体获得。不做赘
述。
下面评价各个序关系的特点。
黑箱问题下，未开箱前真实值的状态可看作是相应区间上服从均匀分布的随机变
量。
性质3．3．1序关系1反映了等可能性原则下，以方案期望的情况反应决策者预期
收益。认为期望收益较低的解较差，实际上是序关系～触在乃№=0．5时候的一个特
例。
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕士论文
性质3．3．2序关系^反映了等可能性原则下，以最坏情况反应决策者预期的偏
好。某个角度来说，这个序关系是稳定的，认为下界较高的方案相对其他方案是优势
的。
性质3．3．3序关系>-。反映了决策者所能接受的最高误判概率为PIalse时，两个组合
投资的大小关系，反映了对损失情况发生可能性的控制。认为只有区间数P比区间数
P’大的可能性大于1一p触时，两方案间才是大小可比较的。序关系>_。是对只依赖于
中值判定大小的序关系一个放松(容易证明，只依赖于中值判定大小的序关系是
p触=0．5时候的一个特例)。>．，认为只有满足误判概率小于p触的情况才是足够优势
到可以满足序关系的，因而p触可作为稳定解衡量的标准之一。
性质3．3．4序关系h，反映了序关系h基础上决策者所能接受的最高误判损失为
，0时，两个组合投资之间的大小关系，反映了在序关系h基础上对损失发生大小的控
制。序关系hJ是对序关系fo的一个放松(容易证明，序关系^是序关系h．，在毛=佃
时候的一个特例)。序关系h，认为，只有在满足序关系h，并且误判损失小于乇的情
况下，才可以满足序关系的，因而可以作为稳定解衡量的标准。
性质3．3．5序关系>-，，，反映了决策者所能接受的最高误判概率为p触，所能接受
的最高误判损失为厶时，两个组合投资之间的大小关系，反映了对损失情况发生的可
能性及损失发生大小的控制。第一个式子说明区间数P大于区间数P’的可能性大于
1一p触；第二个式子说明决策者所能接受误判损失的最大值是毛。序关系>_p，，认为，
只有在误判概率小于p触，并且误判损失小于乇的情况下，才可以满足序关系的，因
而>-。，可作为稳定解衡量的标准。
上面所定义的这些序关系可以根据实际情况进行结合，综合予以考虑，表示的是
考虑多个限制的序关系根据“且’’和“或"的关系，对原序关系严格或者放松。下面
基于已定义序关系的基础上给出构造稳定最优解A‘的过程。
记非劣集R元素个数为N，其所有元素可表示为{A，p：，⋯PN)，
给定决策者所能接受的最高误判概率p触=乞删(气埘≥O．5)，
给定决策者所能接受的最高误判损失乇=L删，
记Ⅳ(S)表示集合S中元素的数量。
算法3．3．1
Stepl a)A’卜Pl，T=1
b)for i=2，⋯，N
if只^A’，A’卜只，T=，
c)记，4删=Pr 4删=V(Pr)， 4删=V(Pr)
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
Step2 for i=l，⋯，N
if只～，，A‘，R(S)卜B，
Step3 if R(S)≠g，记其中元素为{见’，P2‘，⋯PⅣ’)A’6--鼽’
for i-l，⋯，N噼(S))
if只’>1彳‘，A’卜只’
算法意义叙述如下：
Stepl 先任取非劣集合中组合方案作为最优解彳’，然后根据序关系^比较彳’与
集合中的其他元素，最终选出悲观原则下的最优解Pr，记为4删。r用于标记悲观原
则下的最优解未知，以便记录悲观原则下的最优解及其收益的上下界。此时解满足最
差情况下，收益不会小于匕(4删)=匕(肼)。
Step2 以悲观原则下的最优解为比较基准，根据序关系‘，，将将误判概率小于
p触=己硎，并且误判损失小于，o=L删的解保留在备选解集内。此时解集内的元素
满足：以不小于l一乞删的概率获得的收益大于悲观原则下的最优解4硎的收益，即
使在较少概率气脚取得的收益少于4删，其收益与4硎收益相比，他们的差不会大
于三一，并且最差情况下的收益不会低于匕(4删)一L删。
Step3在备选集昂(S)中选择均值最高的元素作为最优解，若日(S)中没有元
素，则将4硎作为最优解。
最优解彳+是满足以下条件：
1)以不小于1一己删的概率获得的收益大于悲观原则下的最优解4删的收益，
2)即使在以较少的概率乞删取得的收益少于如删时，其收益与以删收益相比，
他们的差不大于L删，并且最差情况下收益不会低于矿(4删)一L删
的非劣解集中的元素中，收益期望最高的方案。
其具体特性是，平均收益为m(V(A+))，最低收益不低于y(4删)一L删。
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕十论文
事实上，经由step2后，备选集中的元素与悲观原则下的最优解4删的相互关系
只可能如图3．5所示
匝三三主工] ≥
4鲥．
图表3．3．4备选集元素区间与PT区间的相对位置关系
A’下界低于下界，满足stepl；上界高于A删上界，且只’上界与4删上界距离
大于仍’下界与A删下界距离，满足step2。
下面的给定理说明两个区间数，区间之间位置满足包含关系时，a。≥5的可能度与
二≥朋(6)的可能度是相等的。聊(6)是占的中心，如定义3．2．1所述。
定理3．3．1若区间数二=【堡，二】， 占=lb，-6]满足旦≤垒≤一b<一a， 则
p(二≥占)=p(二≥聊(6))。
证明：如图3．3．5所示，由定义3．3．1知
撕瘌：三一-b-b+型a-b：—l(-b-b__)—+(a-b)一-12-否_12二=b型型(3．3．5) 一一一一a--a2a a a a a a a a
一
醐锄㈣)：一a-m(b)：型型(由批-2．1咖(3．3．6)
a一一a a一垒
综式(3．3．5)和式(3．3．6)可知p(二≥5)=p(二≥朋(6))。得证。
图表3．3．5 a>b的概率与a>m(b)概率的关系研究
进一步，我们可以得出
最优解么’是满足以下条件的的非劣解集中的元素中，收益期望最高的方案。
1) 以不小于1一只。聊的概率获得比悲观法则下最优解以删的期望收益
圭(矿(厶聊)+匕(4删))高的收益，
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
2) 即使以较少概率￡删取得的收益少于屯脚时，其收益与凡删收益相比，他
们的差不会大于乙删，并且最差情况下收益不会低于矿(4删)一L删
结论3．3．1最优解彳是保证以不小于1一己硎的概率获得收益
与(矿(4删)+匕(以删))，最低收益不低于矿(4删)一k删条件的最优解。其期望收益为
m(V(A’))。
只删，三。删的值根据决策者的风险接受程度变化，特别是只删=0，
L删=[匕(4删)，矿(4删)】时，最优解为悲观法则下的最优解4俐。
至此，最优解彳’被构造出来。
3．3．2已知区间信息先验概率时稳定解的构造
由于先验概率已知，定义序关系的准则变为：区间期望(依赖于先验概率)，误判
损失期望，误判损失可能(依赖于先验概率)，误判损失最大值等。
首先计算依赖于先验概率的误判损失概率。
假设【堡，-】区间上的概率密度为左(x)，【垒，否】区问上的概率密度为石(工)若二和占不
重合，其大,Jql容易比较，概率值为1。现在讨论二和占重合的情况，如下图：
＼—一、．／
一等分
图表3．3．6先验概率下a，b重合情况
假定二和占的重叠部分为[￡，．】，将[￡，苫]分成n等分。当11足够大的时候，若三和占
的真值都落在同一区间内，则认为二和占的真值相等。那么，区间数占小于二的概率
P(b一<三)，就可以表示为
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
P(b。<二)=肛(x)出
+去石眇c-刀c)(筋1 1×左(￡+等)+1{五(￡+等)) (3．3．7)
+⋯+吉五(；)(三×去×fS)+l一言(正(￡+c-刀c)+⋯+正(；)))
当n足够大时，式(3．3．7)可以化简为
砸面=陋出一yZ．1．(A(￡+竿))骞似掣)(3．3．8)
特别地，如果当n趋于oo时式(3．3．8)的极限存在，那么
P(5<面=弘(x)出一赠碧专喜(磊Q+堑≯))骞左＆+丛等鸟(313．9)
因此定义有了二≥占的可能度。
定义3．3．8对区间数二=【堡，-21，占=陵，_】，二和占的重叠部分为【￡，刁，则称
尸(占<面=肛c(x№一罂‘彗了1善n(五(￡+丝≯))喜￡(￡+丛宁)
为三≥5的可能度，并且记二，占的次序关系为二≥p占。
定义3．3．9假设区间数三上的密度分布乞(x)，密度函数为左(x)，
定义区间数二的期望为E(二)=r班o)ax。
当随机变量p V(p，嵋'，)区间上移动时，计算每点的损失值，之后积分，以获得
结果，由于积分可换序，得到误判损失期望为E(V(p，W，呦-E(V(p’，w，功)。
定义3．3．10假设正确的组合投资的顺序为P优于P’，定义误判投资组合P，P’的误
判损失期望为E(V(p，嵋呦一三(y(p：职功)，记为互印＼pI)。
具体表示为：
E(V(p，w，v))一E(矿(p，，嵋力)
=E(ΣwΣⅣ)一E(ΣⅥΣⅣ) (3．3．10)
=E(芝彬互《玛(x)∞一E(Σnt=l i=1 M互ep．《玛(x)∞ JJe口^ J’ 一
定义3．3．11定义误判投资组合P，P’的VaR为发生总概率小于口的误判损失的最
大值，表示为
Prob{V(p，w，1，)一Vp：嵋’l，)>砌欠}=12' (3．3．5)
32
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
通常，给定置信水平口∈(0，1)，及决策变量x，称
儿(z)=min{y∈R：甲(x，Y)≥口)
是在置信水平口下关于决策X的一个口-VaR损失值。
引入以下函数
丸(x)=(1一口)一1 j-厂(x，z)p(z)az
f(x。z)乏儿(j)
给定置信水平口∈(0，1)，及决策变量x，称丸(x)是在置信水平口下关于决策x的
一个口一CVaR损失值。
1．基于收益期望比较大小的序关系的构造
定义3．3．12在集合P上定义关系^如下：
若E(V(p，彬v))>E(V(p’，w，y))， 3(w，’，)∈S，则p^P’。
P^P’的具体表达形式可以根据定义3．3．9以及2．3节组合投资综合收益上界的表
达式具体获得，计算如下：
P^P’
§E(V(p，嵋V))>EⅣp’，w’V))， 3(w，．I，)∈S
营E(ΣwIΣⅣ)>E(ΣwΣ∥)
i=l j。EJp i=l JJep‘
营E(喜wxΣJ。p f--巩(x)出)>E(喜w互．《巩(x)出)(3．3．1 1)
2．基于悲观原则比较大小的序关系的构造
由于不完全信息仍然是由区间表达的，所以下界定义与之前完全一致，不需重新
定义。
3．基于误判概率比较大小的序关系的构造
由于不完全信息仍然是由区间表达的，所以误判概率定义与之前完全一致，不需
重新定义。只是具体表达依赖于新的比较可能度的定义，依赖于具体分布，与之前不
同。
P■P。的具体表达形式可以根据定义3．3．8以及2．3节组合投资相关表达式具体
获得，计算如下：
假设V舻，W，v)与Vp’，毗v)的重合部分为[￡，c】
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
p≮P’
营v(p，嵋1，)≥p Vp’，w，V)
c今p(v(p，W，V)≥Vp’，w，V))≥1一‰
11 №：叻≤№w)
§1土易㈨一哑砉；}％Q+竿”参Q+掣脚一脑如叻≤配：助
1 №：叻≤豳∽川
Σ曼彰乏枷蛐一渤巍泓+挈))菇啡+掣，
≥1一‰ (3．3．12)
>-。仅描述了损失情况发生的可能性，并没有描述可能发生损失额度的大小，仍然
不够合理。进一步考虑误判损失值。接下来考虑在基于误判概率序关系>-。的基础上，
根据遗憾准则考虑所能接受的最大的误判损失。
考虑置信条件下，超过VaR时损失的条件期望。
4．已有序关系上考虑口-CVaR比较大小的序关系的构造
假设在置信水平口下决策者所能接受的误判投资组合P，P’的最大CVaR值是
CVa&。
定义3．3．13对于给定的序关系h和在置信水平口下决策者所能接受最大CVaR值
cva&，在集合尸上定义关系h．。w如下：
若忙慕c‰p∥哦帅k小
口-CvaR体现了在置信水平为口的情况下，损失额超过口一VaR的部分的期望值。体
现了决策者对比较糟糕情况下损失值的接受程度。
h．。憎的具体表达形式可以根据定义3．3．11以及2．3节组合投资相关表达式具体获得，
计算如下：
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
fp凑P’P,P’∈尸
1C瞅≤or嘁
P>'o P’
．
曹1(1一∥ f f(x,z)p(z)dz ph∥
【触兢∞
p冷∥
§{(1一∥ f f(x,z)p(z)dz p>'o p’
【，(舻净m面D玉峨k，o嘲
pb∥
§{(1一∥ f 矾(触ph p’
【m声)a血('五矗啪。—)嘲
5．特别给出h为九的情况。
定义3．3．14给定在置信水平口下决策者所能接受最大CVaR值cry&，集合P上
定义关系■，。。如下：
若V(p,w,v)≥p
Vp’，w，’，)， V(嵋1，)∈s
p，p’∈尸，则p。，c憎p’。
定义3．3．14的具体表达形式可以将式(3．3．4)和式(3．3．4)带入具体获得。不做赘
述。
下面评价各个序关系的特点。
黑箱问题下，未开箱前真实值的状态可看作是相应区间上服从均匀分布的随机变
量。
性质3．3．6序关系^反映了分布先验概率已知时，以方案收益的期望的情况反应
决策者的预期收益的想法。与之前^相比较，^依赖于先验概率分布。特别，当分布
成对称形时，排序结果与^一致。
性质3．3．7序关系->-o．。w反映了序关系h基础上，在置信水平口下，决策者所能
接受的最大CVaR值为C砌心时，两个组合投资的大小关系，反映了序关系h基础上，
置信水平口下，损失发生的期望大小的控制。
性质3．3．8序关系一，。憎反映了决策者所能接受的最高误判概率为p触，在置信
水平口下决策者所能接受最大CVaR值为C玩R时，两个组合投资的大小关系。第一
个式子说明区间数P大于区间数P’的概率大于1一p触：第二个式子说明决策者所接
受置信水平为口的情况下，损失额超过口一VaR的部分的期望值最大是cry&。■。。。认
为只有误判概率小于p触，超过口一VaR部分的损失期望值最大是c愀。时，序关系
才会满足，可作为稳定解衡量的标准。
上面所定义的这些序关系可以根据实际情况进行结合，综合予以考虑，表示的是
35
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
考虑多个限制的序关系根据“且”和“或”的关系，对原序关系严格或者放松。下面
基于己定义序关系的基础上给出构造稳定最优解彳’的过程。
与算法3．1．1相似，只是中值判断改为期望，对于最大误判损失的判定改用CVaR
了。
记非劣集B元素个数为N，其所有元素可表示为{A，仍，⋯PⅣ}，
给定决策者所能接受的最高误判概率p触=只。，(己硎≥0．5)，
给定在置信水平口下决策者所能接受最大CVaR值CVaRo，
记Ⅳ(S)表示集合S中元素的数量。
算法3．3．2
Stcpl a)A’卜Pl，T=1
b)for i=2，⋯，N
if只^彳‘，彳’卜B，T=i
c)记A删=K(Pr)，4删=V(pr)
Step2 for i=l，⋯，N
if A～，。惯A’，昂(S)卜见，
Step3 if B(S)≠g，记其中元素为{A’，P2’，⋯PⅣ’)A’卜A’
for i=1，⋯，N限(S))
if见’^彳‘，彳+卜只’
算法意义叙述如下：
Stepl 先任取非劣集合中组合作为最优解A‘，然后根据序关系^比较A‘与集合
中其他元素，最终选出悲观原则下的最优解所，记为4删。r用于标记悲观原则下的
最优解未知，以便记录悲观原则下的最优解及其收益的上下界。之后满足最差情况下，
收益不会小于匕(A删)=匕(所)。
Step2 以悲观原则下的最优解为比较基准，根据序关系‘，。。将将误判概率小于
％。=只删，并且超过口一VaR部分的损失期望值小于C玩R的解保留在备选解集内。
此时解集内的元素满足：以不小于1一己删的概率获得的收益大于悲观原则下的最优解
16
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
4删的收益，即使在较少概率乞删取得的收益少于4删，其收益与厶啊收益相比，
超过口一VaR部分的损失期望值小于C砌R，并且以概率口最差情况下期望收益不会低
于V(40rD--CVa&。
Step3在备选集日(S。)中选择均值最高的元素作为最优解，若目(S)中没有元
素，则将4删作为最优解。
最优解A’是满足以下条件的非劣解集中的元素中，收益期望最高的方案。
1) 以不小于l一只硎的概率获得大于悲观原则下的最优解4删的收益，
2) 即使在较少概率乞删时，取得的收益少于以删，其收益与4恻收益相比，
超过口一VaR部分的损失的期望值小于C砌风，并且以概率口最差情况下期
望收益不会低于y(如冈)-CVa&。
其具体特性是，平均收益m(V(A‘))，以概率口最差情况下期望收益不会低于
y(凡删)一CWno。
在已知先验概率时，误判损失期望相比，CvaR更加准确的反映了决策者对损失
的承受能力，尤其是厚尾情况(尾部损失值较大的情况)。虽然稳定程度不如之前(没
有计算损失下界，只是给出了以概率口最差情况下损失期望)，但是基于分布已知，数
据更加准确，可以提高解的收益期望水平。
结论3．3．2
最优解A‘是保证获得收益E(y(‰脚))的概率不小于1一乞删；以概率口获得最差
情况时，期望收益不会低于y(4删)-CWR叼条件的最优解。其期望收益为E(V(A’))。
乞删，口，CWno的值根据决策者的风险接受程度变化，特别是只删=0，口=0
时，最优解为悲观法则下的最优解4删。
至此，最优解A‘被构造出来。
37
3不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题硕上论文
3．4应用分析
以没有决策者主观偏好，区间内信息完全未知情况给一个算例。
项目考察的指标本别是：带来的现金收益甜。，带来新客户数U：，获得免税优惠额
蚝，长远发展甜。，企业形象吩，员工的良好反应蚝。经过非劣解集的计算之后，乘rJ-F
5个组合。各项上的综合评分如表：
表格3．4．1综合评分表
ul(万) u2(人) u3(万) u4 u5 u6
xl [8．5，9．0】【90，92】【0．91，0．94】【0．92，0．95】【O．89，0．91】【0．92，0．97】
x2 [9．1，9．4】[8 1，96】[0．83，0．99】[0．87，0．96】[O．86，0．98】【0．86，0．97】
x3 [8．8，9．1】【82，85】【0．90，0．93】【0．90，0．93】【0．85，0．89】【0．90，0．92】
x4 [9．2，9．6】【91，94】【O．85，0．88】【0．85，0．89】【O．84，0．90] 【0．91，0．94】
x5 18．6，8．9】【89，92】【O．9 1，0．95】[O．92，0．93】[0．9 1，0．93】[0．85，0．88】
利用3．2．1节的方法计算其w值。具体步骤如下：
步骤l：先用公式(3．2．1)对其归一化得
表格3．4．2归一化的决策矩阵
ul u2 u3 u4 u5 u6
xl ：0．377，0。401】【0．344，0．41 1】【O．387，0．423】[0．402，0。422】[O。384，0．410】【0．415，0。427】
x2 ：0．379，0．416】【0．381，0．423】【0．385，0．425】【0．391，0．429】[0．416，0．438】[0．384，0．439】
x3 ：0．384，0．408】【0．367，0．376】【0．401，0．433】[0．397，0．434】[0．386，0．410】【0．398，0．434】
x4 ：0．381，0．401】【0．412，0．429】【0．377，0．433】【0．407，0．424】【0．395，0．425【0．407，0．427】
x5 ：0．382，0．413】【0．412，0．413】【0．397，0．414】【0．401，0．413】【0．412，0．414】[0．380，0．397】
步骤2：利用公式3．2．2，计算权重为：
w=(o．1662，0．1691，0．1554，0．1582，0．1936，0．1579)。
步骤3：利用算法3．1．1求解。
Stepl利用公式(2．2．2)计算x1至x5的下界，经比较发现x5下界最高，为
堑=O．393，令4删=x5，计算x5=O．409。
Step2]玟P = ，并且误判损失小于= ，利用式(3．3．4)式(3．3．5)计．false 0．4 ／o 0．03
算，利用定义3．3．7定义的序关系与4删比较，发现x4进入备选集。
Step3因为备选集中只有一个元素，他的期望一定高于4删，所以最终的最优解
是x4。
最优解A’=x4，满足：是保证以不小于0．4的概率获得收益0．399，最低收益不低于
0．379条件的最优解。其期望收益为0．406。
分析：若不考虑稳定性问题，只是从大小关系的可能度来看，得到的排序关系是：
3R
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
矗卜五>_甄>-五>I五
‘0．5150’0．6072。0．5098。06120’
最优解就是x2，此时虽然取得的综合收益率均值较高，但是稳定性不如x4，所以
不予选取。
39
4包含规模可变项目的组合投资在风险偏好下的稳定解硕．}论文
4包含规模可变项目的组合投资在风险偏好下的稳定解
现实当中企业的项目投资不仅仅局限在具体项目上，也包含金融资产的投资，而
金融资产的规模是不固定的，这样原先的模型就不满足了，必须进行进一步扩展。查
找文献发现，到El前为止，还没有做过这方面的研究。
4．1模型建立与分析转化
不妨假设第l至，个备选项目是非固定规模的，符号定义如下：
X=∥，．．．，，} ： 依赖于11个参数指标的m个备选项目的向量表示；
％=∥，．．．，x”，) ： 依赖于n个参数指标的规模固定的m一，个备选项目；
％=∥，．．．，X7} ： 规模可变的Jr个备选项目，其大小表示规模；
一： 备选项目x’在第i项指标下的收益得分，满足1j：；，∈【o，1】；
M ： 用于衡量第i个评定参数的相对重要性；
w=(w1，⋯，％)7’ ： 权重的向量表示，满足w∈so"={w∈R”1 w≥o，Σwj=1)；
v(p，W，1，) ： 组合投资P的综合收益；
51
0 ： 各选项目一消费第k种资源的数量，《≥0；
C(x’)=【0，⋯，之r： 各选项目X7所消耗资源的向量表示；
最： 表示第k种资源类型的限制值(后=l，⋯，g)；
B=【最，⋯，吃r ： 资源限制的向量表示，丑∈霹；
环： 全部固定规模项目资源使用量的向量表示；
环： 全部可变规模项目资源使用量的向量表示；
斥： 满足约束条件的组合投资的集合，斥={P∈P C(p)≤B)；
v； ： ∥的上界；
1，? ： ∥的下界；
& ： 关于属性指标的不完全信息的权重的集合，&∈畿；
S， ： 可行值的集合；
与日常规律相符合，假设收益与项目规模成正比，那么第_，项可控规模的项目的
收益是：
V(x’)=x’ΣⅥ’，；，=Σx7w,v／ (4．1．1)
第，项规模固定的项目的收益皂：
5‘
v(p，MD=Σ嵋Σ∥
j≈l
jf．tep
那么包含可控规模的组合投资的综合收益就是：
40
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
V(p，W，V)=ΣV(x。)=Σ(ΣⅥ∥+x。Σw∥)
xlep J，EJ口t---I iffil
因而，资源约束下包含规模可变项目的组合投资模型就可以表述为：
目标函数：Max v(p，If,V)----ΣV(x’)=Σ(Σw一+x’E wv／) (4．1．2)
xJep JJep t=l i=l
约束条件：
其中，∥∈【0，≯】
w∈&∈≈={w∈R”1 wj≥o，Σwj=1)
t=l
为方便处理，可记为：
目标函数：Max V(p，W,V)----ΣV(x’)=ΣV(x7)+ΣxJV(x’) (4．1．4)
xJep 0E矾xD x3EpnxB
约束条件：
观察目标函数，他由两部分组成，一部分是区间参数形式的0．1规划问题；一部
分是区间形式参数的线性规划问题。两部分由式(4．1．5)的资源约束条件所联系。
对于0．1规划问题最通常做法是穷举法。第三章已经解决了在给出决策者风险偏
好条件时，区间形式评价指标的这类问题的最优解的获得方式。那么，我们不妨假定
确定规模的项目选择已做出，来看这时区间形式参数的线性规划问题是否可以得到解
决。
如果解决了，将问题的解带回，和原先用于确定线性方程的项目一起作为备选集
中的元素。
显然，这样的一个解以{X1,x2，⋯，XI,x“1，⋯，X朋I X‘∈{0，1)，i=，+l，⋯m)这样的形式
出现，于是这所有的解成为幂集合21圳中的元素，然后要在这些元素中找出最大值。
下面依次解决问题：
1． 假设下来，用于解决线性规划部分的规模确定的项目组合，他们的范围是
否可以进一步缩小。
2． 假定某一固定资产项目的组合后，区间下线性规划的最优解如何求出。
3． 求出规模可变部分解，回后整个求解最优解的过程。
4l
@ 3
一
m，
¨
¨
L
L
=
=
8¨ Ⅳ
Z
卜pVI，：、U
@∈．人l 0
C
誓‘
@ 5
m
∥L 0
II
=
8
f．J
+朋％n pⅣ
岛‘■托∈人|-力p∞
4包含规模叮变项目的组合投资在风险偏好下的稳定解硕上论文
4．2固定规模部分初选集的确定
由于资源由规模可变和规模固定两部分组成，多余的资源可以用来增加可变部分
的投入，因此原先第二章所求出的非劣解集不再具有优势性，需要重新在整个信息集
中选定初选集。
考虑收益对成本的比例，定义本利率。
ΣM'I：；， 定义4．2．1称旦_为项目X’在资源ci下的本利率。
定⋯义4．．2．22 Xt"<c xJ'若若—学丁I=，lV沌q∈∈，C“，，慧～XⅦ一X一黩”一盘一』X；、∥ ‘∈ 一={r1．．．．．”1，
从定义可以看出，若X‘_<。一，则同样的资源消耗x’一定能带来更多的收益，最
后的最优解组合中一定不包含x‘。
所以初选项目集丘={‘I_如，VXj∈％；薯∈％)，
建立在初选项目集鼍上的满足约束条件的初选集记为尼(S)。
4．3资源约束下，区间形式收益的无风险资产组合问题的稳定解
假定固定组合投资PD。，则目标函数变为：
Max V(p，W,V)----ΣV(x7)+ΣxJV(x’)
xJePDo xJepRXs
只需让后一项最大即可。
对于约束条件，转化为如下形式：
岛(p)≤B矗7D(p)
问题转化为：
目标函数： Max v(p，W，1，)=Σ一V(x’)
约束条1：牛： ∥a一)-％。)
【X7≥0 J=l，⋯z
(4．2．1)
(4．2．2)
V(xj)实际上是一个区间数，实际上这就是一个区间数线性规划问题的求解，并
且希望得到稳定解。
从稳定性考虑，决策者会有自己的风险偏好，而风险偏好实际上就可以看成是一
42
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
种条件约束，只是不同于资源约束属于强约束。
仿照3．3节构造算法的思路。先求基于悲观原则下的最优解x，删，再在解～删下
考虑其他解下综合收益值V(x)的误判概率小于p触。=只删，并且误判损失小于
lo=k硎，将这样的解保留在备选解集内。
1． 基于悲观原则下的最优解
先考虑决策者考虑最差情况下结果不要太差，那明显是悲观原则(max-min准则)，
而上述关于区间数的线性规划问题就转化为：
目标函数： Max V(x，1，)--Ex’匕(工’) (4．2．1)
约束条件： 压E xJC@勺蛐啾‰) (4．2．2)
l五≥0 i=1，⋯，
用普通的线性规划单纯形法即可求解。
不妨设解为h删=
Xwl
h2
●
：
xⅥI
，h删对应的综合收益记为y(‰删)。
2． 考虑误判概率限制
下面先说明在区间完全包含情况下，信息未知时，三≥5的可能度的值就等于5中
心肌(6)，在区间二上的相对位置。
定理4．2．1若区间数磊=【堡，-】， 5=隆，石】满足垡≤垒≤一b<一a， 则
p(二≥舌)：p(二≥聊(呦：—a-m—(b)。
口一堡
证明：如图4．3．1所示，
而瘌：蔓型：弛
口一旦a一旦
43
4包含规模可变项目的组合投资在风险偏好下的稳定解硕士论文
占
I I ＼
4．3．1定理4．2．1的图
考虑相对‰洲综合收益值y(x)的误判概率小于马№=己删，得：
妻打(∽一秒1‰) 1———————了———一
ZXJF(x7)一Σx’匕(xJ)
作为规划问题的约束条件。
经整理得：
喜x’-(x／)一j1 y(h删)
圭x，矿(xp圭x，匕o，)
≥1一气脚
≥1一只删
营Σ一．(x。)一去y(x一)≥(1一乞删)(ΣxJF(xj)+窆xJV_(xJ)) 1=1 厶i=1 ，=l
营只例ΣxJF(xj)一(1一只删)Σx7匕(x’)≥去矿(h。脚)
izi I=1 厶
§Σ(‰·_(x纠·x，一Σ((1一E删)·匕(一))·x’≥寺矿(‰)
§Σ(‰·_(x，)一(1一己删)．匕(x州·x。>_1V(xw删) (4．2．3)
3． 考虑误判损失
考虑误判损失小于乇=L删，添加约束条件：
F(x。删)一Σx。Ⅱ一)≤L。埘
f=l
整理得：
F(x，删)一Σx’匕(一)≤k删
1=I
§Σ匕o’)x’≥矿(h。脚)～L删(4．2．4)
i=1
满足以上条件的解才满足稳定性，现在求其中期望最大的，由于区间信息未知时，
期望就是区间数的中值。因而目标函数就是：
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
抛m∽=三喜(阶卅耐))x7 (4．2．5)
再加上以上两个约束条件，求得的实际是满足误判概率和误判损失的期望的最大
值。线性规划转化为：
目标函数：胍m，v)=三喜(m协％纠一
约束条件：
Σx’c(一)=曰惕(％。)
∥EP
t≥0 i=1，⋯，
喜(己删础)-(1一‰心(刊∥≥j1 y(‰)
Σ匕(一)x7>--V(xwo聊)一L删
(4．2．6)
这是一个普通形式的线性规划问题，可以求解。下一节给出整个问题的解决步骤。⋯
4．4包含规模可变项目的组合投资的决策过程
既然0．1区间参数规划和区间参数线性规划的问题都得以解决，将两个过程加以
整合，以算法形式给出具体的决策过程。
算法4．4．1：
Stepl根据定义4．2．1求本利率。根据定义4．2．2剔除劣势备选项目，剔除后剩下
项目组成的集合记为五，t上满足资源约束的集合记作足(S)
Step2利用公式3．2．2，计算权重。
Step3循环。while弓(S)≠a
a)取p∈尼(S)，对线性规划问题(4．2．6)求解，记解为Xp。
b)将x。加入空集昂(S)
c)足(S)=足(S)＼P
step4利用算法3．3．1，对R(S)求稳定最优解。
算法意义描述：
Stepl根据定义4．2．1和定义4．2．2剔除劣势备选项目，之后考虑资源约束，获得
初选集犀(S)。
Step2利用公式3．2．2，计算权重。
Step3一个一个取定初选集尼(S)中的组合方案P，对于相应元素，应用4．3节
45
4包含规模可变项目的组合投资在风险偏好下的稳定解硕士论文
所述方法求解。(解是满足以不小于1一乞。聊的概率获得收益
三(_(h删)+匕(‰删))，最低收益不低于-(矗删)一L。例条件的最优解。)求
解后，将所求解连同之前选定的组合方案，一并构成备选解集eo(s)中的
一个组合方案。如此，形成备选解集eo(S)。
Step4利用算法3．3．1，对昂(S)求稳定最优解。根据算法3．3．1，解满足稳定性。
结论4．4．1：利用算法4．4．1可求出包含规模可变项目组合投资的稳定最优解，最
优解满足是保证以不小于l一己硎的概率获得收益三(矿(～删)+匕(h删))，最低收益不
低于y(4删)一L删条件的最优解。其期望收益为m(V(A’))。
硕士论文不完全信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
结论
本文在RFM模型的基础上进一步研究。解决了不完全信息下稳健组合投资模型
项目选择问题。
1．规模固定的不完全信息组合投资选择问题
(1) 区间信息未知时
找出的最优解A‘满足：是保证以不小于1一己。脚的概率获得收益
' ． 一
去(y(‰删)+丛x。删))，最低收益不低于矿(4删)一L删条件的最优解。其期望收益为
二’ ’
m(V(A’))。只删，L删的值可以根据决策者的风险接受程度进行变动，特别是
己删=O，L删=【矿(h删)，匕(‰哪)】时，最优解为悲观法则下的最优解4。埘。
(2) 区间信息以先验概率形式获得：
最优解彳’是保证以不小于1一只删的概率获得收益E(y(4删))，损失大于口一VaR
的时，获得收益的期望不会低于y(A删)一Cy战条件的最优解。其期望收益为
E(V(A+))。只删，口，CVa&的值根据决策者的风险接受程度变化，特别是乞删=O，
口=0时，最优解为悲观法则下的最优解4删。
2．包含规模可变项目的不完全信息组合投资选择问题
将问题成功转化为完全固定规模清形和完全可变规模情形，对完全可变规模情形
给出了风险偏好约束下的稳定最优解。
本文还有以下不足：
(1) 包含规模可变项目的问题的求解，在数据比较糟的情况下，算法的时间复
杂度是2‘，不利于进行大型数据求解。
(2) 文中的不确定性都是指由于信息不完全造成的，由于能力有限，没能考虑
风险情况，可以在此基础上考虑风险资产的加入。
47
致谢硕上论文
致谢
值此论文完成之际，首先感谢我的导师赵培标教授在我硕士研究生学习期间给予
的精心培养和耐心指导。导师工作上严谨、务实，学术上孜孜不倦，生活中平易近人，
使我受益匪浅。特别是，从作者论文的选题，查阅资料到最后的定稿，导师都给予了
精心的指导和不厌其烦的修改。在此，谨向我尊敬的导师致以诚挚的谢意。
我还要感谢我的父母对我的培育和教诲，我能取得今天的成绩，与他们的无微不
至的关怀和支持是分不开的。他们教我做人真诚，勤奋刻苦。对他们的教诲，我永生
难忘。
最后，还要感谢我的同学施德才、陈金慧、朱盼盼、曹玲玲、吴歆，感谢他们对
我的关心和支持!
硕上论文不完伞信息下稳健组合投资模型的项目选择问题
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