武汉大学
硕士学位论文
分形市场理论与中国证券市场实证分析
姓名：韩海波
申请学位级别：硕士
专业：金融学
指导教师：韩国文
20030501
中文摘要
有效市场假说是理性预期学派的代表性学说之一，自提出以后，很快便
成为数量化资本市场理论的基石，并在此基础上发展出许多模型来描述市场
行为和测度市场风险。虽然人们发现它对市场实际行为的描述有偏差，但通
常的做法是回避和忽略。随着混沌现象逐步被认识和研究，特别是对金融市
场混沌特性的发现，使人们对有效市场假说的正确性提出了越来越多的质
疑。同时开始应用非线性理论去解释、分析资本市场行为，取得了一定成果。
由于其很好的反映了金融市场的各种现象，因此逐渐被人们所重视。其中较
具代表性的就是分形市场理论。分形市场理论认为资本市场的价格时间序列
表现出一种分形特性，因此应该用分形理论去研究。对国外资本市场的实证
研究充分证明了分形市场理论的优越性与可信性。我国一直以有效市场假说
为基础进行资本市场的实证研究，虽然近年来一些学者应用分形市场理论进
行了一些尝试性的探索，但由于技术上和理论上的不足，并未对我国证券市
场做出整体和详细的分形结构描述。本文针对这些不足，在简要分析了传统
有效市场理论缺陷的基础上，介绍了分形市场理论及其分析方法。并采用完
整的上证与深证日收盘数据作为分析基础，利用典型分形市场分析方法，对
我国证券市场进行了完整的分形结构描述，特别是计算了沪、深两市的非周
期循环的长度，它可以为政策的制定和投资的决策提供一定的参考。同时本
文也从分形市场的角度同美国证券市场进行比较，锝出与以往较为不同的结
论。主要结论是：1)沪深两市表现出显著的分形特征；2)沪市与深市在分
形结构上有明显差别，深市的噪声干扰要比沪市小一点，其趋势性更强；3)
沪市表现出一个较为明显的非周期循环，其长度为300天；深市非周期循环
并不明显，有一些不显著的循环分别对应于180天、300天和680天：4)
美国股票市场沪市相比，噪声干扰更小一些，体现出较强的趋势性；而与深
市相比，这一特征并不显著；5)美国股票市场平均循环周期比我国股市要
长很多，体现出其政策等宏观因素的稳定性；6)维护市场稳定的正确方法，
一是不断开辟新的市场，尽量扩大交易品种的种类，使众多投资者的注意力
和投资选择适当分散化，二是采取鼓励交易的政策，给人们更多的机会去参
与更广泛、更自由的市场，通过建立完善的社会保障制度和金融机构来更有
效地控制风险。最后，本文介绍了分形理论在金融模型中的应用。
[关键词]有效市场：分形理论；证券市场；实证分析
Abstract
Efficient market hypothesis(EMH)is one representative theory of rational
expectations theory．It became a foundation of quantitative capital market theory
quickly since it was brought forward．Although there were some problems in
describing capital market by it，people usually ignored them．With chaos being
realized and understood．especially witll chaos characteristic of financial market
being found，people put more suspicious eye on EMH．At the same time，people
began to explain and analyze behaviors of capital market using nonlinear theory,
and obtained some outcomes．Because it can describe various phenomena of
capital market well，it received recognition．Fractal market theory is one
representative theory of nonlinear theory．Fractal market theory regards price
series of capital market as a fractal time series，SO it should be studied by fractal
theory．TIlis theory was proved authentic through studying foreign capital
markets．People usually study capital market based orl EMH in china．Although
some researchers attempt to study Chinese capital market by using fractai market
theory,because of lacking accurate datum，they didn’t represent the fractal
structure of OUr capital market completely．Aiming at these disfigurements，this
paper analyzes limitation of EMH briefly and represents fractal market theory
and its analysis methods．At same time，this paper tests Chinese capital market
completely using integrated general index of Shanghai and Shenzhen security
markets and typical method of fractal market theory．Especially it calculates
length ofacyclic cycle ofthe market．This paper Call help government policy and
private investment decision—making mlat’S more it compares difference of
capital markets between China and America from the pohat of view of fractal
market，and give out a different conclusion．The maln conclusions are：1)there is
a distinct fractal structure in Shanghai and Shenzhen stock markets；2)the fractal
structure is different between in Shanghai and Shenzhen stock markets．There is
a lower noise and a stronger trend in Shenzhen stock market than Shanghai stock
market；3)a acyclic cycle of 300·days was found in Shanghai stock market，but
not in Shenzhen stock market；4)the noise of stock market in America iS lower
than in China；5)the acyclic cycle of stock market in America is longer than in
China；6)investors and investment markets diversification iS the method of
keeping stock market stable．At last this paper will represent applying of fractal
market theory in widely．used financial models．
Key Words：efficient market；fractal theory；securities market；
empirical analysis
引言
市场有效性假说是理性预期学派理论的一个重要组成部分，它是数量化
资本市场理论的基石，正是EMH的出现，随机微积分在资本市场研究中才
得到广泛应用，资本市场的精确度量才成为可能，现代经典资本市场理论都
是在此假说基础上发展起来的。EMH的思想起源于路易·巴舍利耶(Louis
Bachelier)1900年的一篇文章。他把分析赌博的方法用于股票、债券、期货
的研究，他提出价格行为的随机游走过程是布朗运动，后来由奥斯本
(Osborne)在1964年的一篇有关布朗运动的论文中将其形式化。最后，由
法马(Fama)将已有的理论和观测形式化成有效市场假说(EMH)，它宣称
市场是“公平博弈”，从而使得利用现有信息获取超额收益的行为成为不可
能。由于这一假说以西方经济学的均衡理论为依托，因此很快得到学术界的
认可，并成为资本市场研究的主流方法。同时很多以CAPM模型为代表的
描述、解释市场和测度金融市场风险的数理金融模型也都是以EMH为理论
基础，被广泛应用。
然而，以曼德勃罗(Mandelborot)为代表的众多学者对传统的金融、
计量理论提出了质疑。曼德勃罗(1964)提出资本市场的收益率并不服从正
态分布，其分布具有典型的尖峰、厚尾特征，实际上服从一族稳定帕累托
(Stable Parelo)分布，这种分布的特点是倾向于有趋势和循环，同时也有
突变和不连续，而且可以按偏度调整，非常象实际观察到的股票收益率的频
数分布。在这类分布中，方差是无定义或无限的，在一定条件下，它对应于
分数布朗运动，其特点是自相似(self-similar)、长期相关性(10ng-run
dependence)和统计自相关性。由于这个原因，传统的资本市场方法显然不
能准确地反映市场行为。这样就需要构造一个全新的理论和方法去重新解
释、分析资本市场市场。
1987年10月的“黑色星期一”以后，许多西方经济学家开始用一门新
学科——混沌学来研究世界性的股市暴跌现象，其基本的理论来源就是非线
性动力学。有的经济学家预言，30年代的大萧条摧垮了古典经济学，为凯
恩斯革命扫清了道路：而80年代的“黑色星期一”则动摇了新古典主义经
济学的基础，很可能为一次新的非线性经济学革命拉开序幕。他们认为经济
学的基本问题是非线性的，因此对资本市场非线性机制的研究，对社会科学
不仅具有象征性意义，更将实实在在地推进社会科学的“科学化”、“技术化”、
“综合化”。目前，较为成熟的混沌现象的研究方法就是分形理论，该理论
已经被广泛应用在自然科学中，取得了显著成效。近年来，这一方法在社会
科学特别是经济学中也崭露头角，表现出强大的生命力。
我国学术界一直以EMH为基础，进行证券市场的实证研究。对我国证
券市场的有效性检验中，新加坡学者俞乔(1994)利用序列相关检验、游程检
验和非参量检验证明我国证券市场处于非有效状态，我国学者宋颂兴
(1995)、沈艺峰(1996)、陈小悦(1997)、吴世依(1997)、杨朝军(1998)、张兆
1司(1999)、胡畏(1999)利用不同的方法证明我国证券市场处于弱式有效状态，
但尚未达到半强式有效市场。这些检验均源自EMH的理论。由于EMH的
可靠性越来越受到质疑，在分形市场理论提出以后，一些研究人员开始利用
分形市场理论对我国证券市场进行一些尝试性的研究工作。叶中行、曹奕剑
f2001)矛U用分时数据计算了沪市个股(5只)的Hurst指数；林勇(2001)、杨
一文、刘贵忠(2002)等利用周数据计算了上证和深证的Hurst指数：孙博文、
张本祥(2001)计算了上证指数的盒维数(Box Dimension)。这些研究都是尝
试性的探索，由于数据的不足或者理论基础的不足，都未对我国证券市场的
分形结构做出整体详细的描述，特别是没有计算出分形市场中的重要指标一
一非周期循环的长度。这里需要说明的是，张兵、徐炜(2002)虽然计算了我
国股市的分形特征，但其数据的处理方法是很值得商榷的，这会影响其计算
结果的可靠性，在第三章中将会有详细说明。本文针对这些不足，采用完整
的上证与深证日收盘数据作为分析基础，利用典型分形市场分析方法，对我
国证券市场进行了整体分形结构的描述，特别是计算了沪、深两市的非周期
循环的长度，它可以为政策的制定和投资的决策提供一定的参考。同时本文
也从分形市场的角度同美国证券市场进行比较，得出与以往较为不同的结
论。对于沪市这个非周期循环的长度为10个月，这比美国证券市场长度为
2
48个月的非周期循环显然少很多，这集中体现出这两个市场中投资主体的
投资目的有显著性差异，同时也反映出宏观政策对股市的影响。同时也发现
深市发展到今天并没有一个典型的非周期循环，因此沪深两市在这方面呈现
出一定的非协同性。这些结论将会有助于我们发现问题、找出差距，为建立
一个健康发展的证券市场提供一定的参考依据。
第一章有效市场假说
一、有效市场假说的产生和主要内容
1、EMIl的产生和发展
早期对金融市场价格行为的经验研究表明，价格行为可以描述成一种随
机游走过程。只要价格变动是随机的并且服从独立分布，就可以说它遵循随
机游走规律(Random Walk)。最早发现这一规律的是英国统计学家肯德尔
张endal])，他在1953年对股市价格的研究中发现股市价格没有任何模式可
寻，而是随机的波动，即遵循随机行走规律。肯德尔的发现使当时的许多经
济学家感到困惑，因为这一发现似乎暗示着股票市场是由一种反复无常的市
场心理所驱使，没有任何逻辑和理性。然而随着进一步的研究，经济学家们
很快产生了新的观点，最后认为：随机价格波动反映的正是一个功能良好、
有效率的市场，这样的市场是理想的竞争市场的结果，是理性的，而不是非
理性的。这就暗示在一个有效的资本市场中，其价格的变动应是随机和独立
的。这也就是EMH最初的思想来源。
EMH的确立以美国学者法马(Fama)在1970年发表的“有效资本市场：
对理论和实证工作的评价”一文为标志。在这篇文章中法马提出了得到普遍
接受的有效市场的定义，即有效市场是指这样一个市场：投资者利用可获得
的信息力图获得更高的报酬，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确
的，证券价格能完全反映全部信息，市场竞争使证券价格从一个均衡水平过
渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的，今天的价
格变动与昨天的价格变动无关，或称随机的。因此EMH又被称为随机游走
理论。
2、EMFI主要内容
从EMH发展的过程来看，它主要对投资的主体与价格行为做出了以下
的假定：
(1)理性投资者。投资者追求均值一方差有效性，方差是有限的，能
有效度量投资风险。
(2)价格反映了所有公开信息，价格的变化相互独立，对未来价格变
4
化是不可预测的。
(3)价格收益率遵循随机游动，概率分布近似于正态或对数正态。
根据以上内容，EMH可以分为三种形式。最早提出这三种形式是美国
学者哈里·罗伯茨(Harry Roberts)，他在1967年5月芝加哥大学的证券价格
讨论会上首次将EMH分为弱型有效假设、半强式有效假设和强式有效假设。
在此基础上，法马等人对其进行了完善。目前被广泛使用检验的EMH三种
形式是由法马在1970年提出的，其内容是：在弱型有效假设的市场里，价
格只包括以往价格的信息；在半强式有效假设的市场里，价格包括以往价格
信息和其他共享的信息：在强式有效假设的市场里，价格包括了市场子集独
享的信息以及所有可共享的信息。具体表现为：
(1)弱式有效是指信息集包括了过去的全部信息(历史信息)。也就是
说在弱式有效市场中，过去的信息(价格和交易信息的)完全包含于当前的
价格之中。当前的价格完全反映了过去信息，是对过去信息的最佳反映，价
格的任何变动都是对新的信息的反应，不是对过去已有信息的反应，因为过
去信息包含的内容已完全反映在当前的价格之中。因此，掌握了过去的信息
(过去的价格和交易量信息)并不能预测未来的价格变动。
(2)半强式有效是指当前的证券价格不仅反映了历史价格包含的所有
信息，而且反映了所有有关证券的能公开获得的信息。历史价格信息和能获
得的公开信息就是半强式有效市场的信息集。在这里，公开信息包括公司的
财务报告、公司公告、有关公司红利政策的信息和经济形式等。在半强式有
效市场中，信息对证券价格的影响是即刻完成的。对普通股票来说，与收益
和红利有关的信息迅速地完全反映在证券价格上。因此，如果市场是半强式
有效的，那么人们根据可公开获得的信息作出的分析不会帮助投资者获得超
额利润。
(3)强式有效是有效市场假说的一种极端情况。在强式有效的市场中，
投资者能得到的信息均反映在证券价格上。在这里，所有信息包括历史价格
信息、所有能公开获得的信息和内幕信息，这三者的总和组成了强式有效市
场的信息集。在强式有效市场中，任何信息，包括私人或内幕信息，都无助
于投资者获得超额利润。
二、市场有效性的检验
1、市场有效性的检验途径
由于市场有效性假设本身并没有可供检验的内容，其经济上的意义就是
没有人能在市场上持续地赚取超额利润，因此经济学家们选择了两种检验途
径。第一条途径是找出什么是均衡条件下的证券价格，然后再去检验现实中
证券价格波动是否遵循均衡所决定的轨迹，如有偏离，这种偏离是否大到能
使人赚取超额利润。沿着这条途径所进行的检验，主要集中在对半强式和强
式有效假设上，其中较有影响的工作有：在半强式有效假设上，鲍尔和布朗
(Ball&Brow)在1968年分析检验了股票市场吸收公布的年收益信息的能力，
法玛、费雪(Fisher)詹森(Jensen)和罗尔于1969年研究了市场对公司公布的股
票分静J(stock split)，及与之有关的红利政策变化等信息的反应速度。斯科尔
斯(Scholes)、克劳斯(Kraus)和斯托尔(Stoil)1972年研究了二手交易(大宗证
券交易)对证券价格的影响。帕蒂特(Petti0在1972年检验了红利政策对股
市的影响，福斯特(Foster)在1973年发现了股市对于每股期望收入的反应等；
在强式有效假设上，弗兰得(Friend)、布朗、赫尔曼(Herman)和维克斯(Vickers、
于1962年研究了共同基金的业绩。随后，夏普(1966)、詹森(1968)、福斯
(Firth)(1978)和弗兰得、布鲁姆(Blume)与克罗克特(Crokea)(1970)相继对基金
作出相关研究，结果都支持了有效市场假说。但是，尼德霍夫(Niederhoffer)
和奥斯本(1966)、贾菲(Jaffe)(1974)、班斯(Banz)(1981)进行的研究却证明有
效市场并不总是成立的。
第二条途径是从统计学上找出所谓“价格已反映了所有可以得到的信
息”的含义，这样得出的往往是随机模型。沿着这条途径所进行的检验，主
要集中在对弱式有效假设上，其中最有影响的就是法马的随机游走模型及亚
历山大(Alexander)的过滤检验。
2、证券市场有效性检验的基本方法
目前在对证券市场的有效性检验中，由于价格数据较易得到，而且价格
数据具有一定的客观性．因此常用以上提到的第二种途径——即统计途径来
对市场的有效性进行判断和检验。其方法和步骤为：
(1)随机游走模型
①建立模型
首先假设股票价格过程遵循几何布朗运动(Geometric Brownian
Motion)，将其离散化即为是我们经常提到的随机游走模型。
随机游走是刻画股票价格行为最为常用的模型之一。最简单的随机游走
模型为：
异=只一l+Ct (1)
其中，s，廿J(0，a￡)，更为一般的形式是在模型中加入漂移项¨：
只=，嵋一】+s， (2)
为了克服模型不能保证价格为非负的要求。通常是对价格的对数使用随机游
走模型：
ha(P)，=∥+ln(只一1)+％ (3)
或
E=只一1e”+“。(4)
其中6t-N(0，1)
②模型检验
判断市场是否弱式有效必须对价格的变动序列只做下列检验：
(i)、正态性检验
根据大量模拟计算，在常用的正态性检验方法中，偏度一峰度检验法较
为有效。当随机变量E服从正态分布时，其三阶中心矩(偏度)
坞姐【错】3-。㈤
四阶中心矩(峰度) ”E镨】4-s ㈤
设TI，172，⋯，r。是来自总体l的样本，V3的矩估计为：
咖[磊1 n(‘州]／【去喜(‘叼2l (7)
7
v4的矩估计为：
i一=唼喜c。一力4，，e窆i=1 cl (8)
；，，也称为样本偏度和样本峰度。
若总体I为正态分布的随机变量，则当n很大时，也，v4分别服从渐近正
态分布
Ⅳ～【。，而6(1n卅-2)"]
和
Ⅳ～[3一而6，石2+4nlm(n-+2)j(肼n-3)3)]
(9)
(10)
对收益率样本ri做假设检验，Ho：总体‘为正态分布。若Ho成立，则
和
均渐进服从N(0，1)。
此外，Jarque-Bera统计量
／60—2)
V@+O(n+3)
』24n(n一2)0—3)
、『(聍+1)2(胛+3)(M+5)
(12)
船=in【v3+孚】(13)
在Ho假设下，渐进服从Z2(2)分布。
(ii)、收益率序列检验另外一个重要方面是收益率序列的独立性，即
盯(‘，0)=0，Vi≠J
设ri为股票的收益率样本，做假设检验Ho：￡。=(1一∥)为白噪声过程，即
H0：E(E，)=0，Var(E。)=盯2，Cov(e，，E，一女)≠0，对V女≠0。
Box—Pierce指出，若Ho成立，则统计量
BP=Q’(七)=rΣ12 (14)
渐进服从z 2(k)分布，之后Ljung．Box提出修正统计量
即=9‘(≈)=T(T+2)Σ丢(15)
，。】』一l
渐进服从z2(七)分布。
(iii)、高阶自相关检验
一般采用Brock等提出的非参数BDS检验。设有时间序YlJ{rtl，定义为：
c以耻丽高萎“R，，月，) (16)
郴似垮协茹嗲褊l坚， ⋯，
其中，向量R，={Rt，轧l，⋯．Rt+s．1}；TN=T-N+l；N是移动窗宽；T
是样本容量。若H0：{R)至少为二阶独立成立，则有：
BDS=嘿U，丁)=4-Y[CN(1，r)一c1(，，r)“]／crq，丁)～N(0，I) (18)
(iii)、若放松正态假设则必须做单位根(unit root)检验：通常根检验
使用DF检验。
首先构造数据生成过程模型：
只=pP,一】+q (19)
而数据估计模型为
只=口+p只-1+s，(20)
其中{‘}为IID，且E(s，)=O，D(E，)=O-2<00
进行假设检验，Ho：P=0，a=l
构造统计量F f=学(21)
其中T为样本量，五2、孟2分别表示有限制的和无限制的残差平方和。
r
豆2=Σ(只一PoP。)2 (22)
t-I
r
孟2 Z(p，-cr-p。P『_】)2 (23)
t-1
在原假设下，F的极限存在，但不服从标准的F分布，必须使用Dickey
&Fuller给出的分布表，在一定的显著性水平Or-下，如果F值小于这一显著
性水平下的临界值，则接受假设Ho，表明{P：)服从随机游走过程。
基于以上检验，我们可以判断收益率是否服从正态分布，也就是说市场
是否达到了弱式有效。
(2)亚历山大(Alexander)过滤检验
过滤检验由Alexander(1964)首创。做法是，当股价从上次下降的低点上
涨超过X％后买进，当股价从上次上升的高点下跌超过X％后卖出，循环往
复，直至检验终结。一般来说，指数长期都呈现上升趋势，买入股票后长期
持有，称为买入并持有策略(Buy and hold Strategy)，通常获得的报酬率为正
值。运用过滤检验目的是测定是否可能获得超过买入并持有策略的报酬率。
如果前者大于后者，表明股价变动可能有规律；反之，股价变动没有规律。
如果股价变动没有规律，则股票市场呈现弱式有效。
三、市场有效性的实证研究结果
大量的国外研究者对发达股票市场，特别是美国市场做出了各种检验，
普遍认为认为美国的股票市场已经达到了弱式有效，也就是说其对数收益符
合随机游走模型。
我国的研究人员也对中国的股票市场做出了大量的有效性检验。但结果
不尽相同。如：俞乔对1994年以前的上证指数和深证综合指数应用误差项
序列相关检验、游程检验、非参量性检验等进行实证研究，表明沪、深两市
还不具备弱有效性。吴世侬、宋颂兴等，张亦春等从不同的角度对中国证券
市场的有效性进行了研究，结果既有支持中国证券市场弱式有效的，也有否
定弱式有效的。特别是陈立新(2003)对我国证券市场进行了半强式有效的检
验。他采用累计超常收益分析法，选取30家在上交所上市的公司作为样本，
计算年盈亏信息公布日及前后各20天盈利组和亏损组股票的平均日超常收
益率和累计市场日超常收益率，检验结果表明现阶段我国股票市场不具有半
强式有效性。
这里我们暂且不讨论这些结果的可靠性，这些研究毕竟客观上为我们提
供了中国股票市场的基本统计状况，而这一结果是不带有价值判断的。其一
般结论为：
l、非正态性。正态性检验结果表明，沪、深两市上市公司股票几乎以
98％的概率不服从正态分布，从偏度和峰度值来看，分布里尖峰厚尾形态；
2、收益率序列具有很高的序列相关性；
3、随机行走收益率序列不能作为一个恰当的模型描述市场行为。
4、上证综指和深证成指序列变化行为服从单位根过程。
5、上证综指收益一阶不相关，深证成指收益在一定程度上一阶不相关，
但异方差情况下上证综指和深证成指收益均一阶相关。
6、我国股市收益二阶相关，即具有异方差性。
四、EMIt与资本市场理论的发展
1、CAPM模型的产生
马克维茨(Markowitz)(1952)发展了现代资产组合理论。他以可能收益
率的方差度量资产的风险，理由是方差会度量可能的收益率围绕平均收益率
的离散程度。标准差度量收益率偏离均值的概率。实际收益率偏离平均收益
率的概率越大，表明其离散程度越高，那么标准差就越高，而股票的风险就
越大。方差的使用要求收益率是正态分布的。这样，在给定风险水平上，投
资者会要求得到期望收益率最高的资产组合，同时还假定投资者是风险厌恶
的。很明显，这里用到了EMIl中对收益正态分布假定和理性投资者的假定。
2、CAPM模型的结论
以这些假定为基础，CAPM模型就投资者的行为得出了一系列结论。
(1)对于所有投资者，最优资产组合都是全市场组合和无风险资产的
组合；
(2)投资者可以通过增加无风险资产以减少资产组合的标准差：
(3)投资者将选择“资本市场线”(CML)上的资产组合，而非其他
组合；
(4)投资者将不会为承担非市场风险而得到补偿。
由此可以看出，CAPM首先对于风险度量的标准差有严重的依赖性，这
就暗含着需要有效市场和正态分布或对数正态分布的收益率，因为方差被假
定是有限的。
3、CAPM模型的扩展
随着CAPM模型的建立和不断应用，随后发展起来的各种定价模型也
都很自然地以这些基础作为假设前提。套利定价模型(APT)主张价格变化来
自各个因素的没有预期到的变化，它要求资本资产的收益率与生成该收益率
的各个要素之间是一种线性关系，同时实践中应用APT时，也使用了有限
方差假设。Black。Scholes期权定价模型的基础为期权标的资产价格变化必须
满足马尔可夫过程，即价格收益率相互独立。由此可以看出EMH的广泛应
用。
4、资本市场的理论基础
综上所述，基于EMH假说下的资本市场理论是以以下三个关键概念为
基础的：
(1)理性投资者。投资者追求均值／方差最大化。投资者用生成期望收
益率的概率加权方法来估计潜在的收益率。风险是用收益率的标准差来衡量
的。投资者需要给定风险水平上期望收益率最高的资产：
(2)有效市场。价格反映了所有公开信息。价格的变化各不相关，可
能有某种非常短期的相关性除外，而这是会迅速消散的。
(3)随机游走。由于以上两个因素，收益率遵循随机游走。因此，概
率分布近似于正态或对数正态。
这些基础表明，资本市场理论总是依赖于正态分布的收益率。然而非正
】2
态的收益率分布虽然被认为是可能的，但一直不被人们所重视和接受，虽然
EMH逐渐成为资本市场的经典理论基础，但随着金融市场不断的深化和日
趋复杂，这些被忽略的现象变的越来越显著，在市场分析中已经不能再被忽
略了。
五、EMII的缺陷与改进
1、假设的失败
细心的研究人员当然不会忽略这样一个明显的现象，即使被认为是已达
到弱式有效的美国证券市场，其收益率依然存在非正态的分布，即使把时间
段扩大到100年(1888-1991)以上，序列中的数据达到2万以上，在这样
的海量数据下依然不能渐进为正态分布。图1明显的反映了这一状况。研究
人员之所以忽略这一现象，一是普遍认为那些不符合正态分布的数据点，是
一些小概率事件，可以忽略不计；二是如果加入这些因素会使模型变得异常
复杂，失去传统模型的优美、简洁，更有甚者，这会动摇传统理论的基石一
—-EMH!
然而，随着资本市场不断的复杂化，金融创新不断的深化，这一问题变
得越来越突出，已经不能再被忽视了。
2、传统随机游走模型的改进
研究人员注意到了实质上，随机游走模型并不能很好的反映市场状况。
因此基于随机游走模型的检验也会出现问题。也就是说如果市场价格变化本
身不遵循正态分布，那么对其做正态性检验又有什么意义呢。但推翻EMH
在技术上无疑具有很大困难，因此随后出现了多种更为复杂的模型来对随机
游走模型的不足做出修正。下面这几种方法是经常在数理金融领域用来建模
的。这些模型都是为了与市场有更好的拟合性而建立的，主要是弥补市场观
测与正态分布不符的不足，但也均没有放弃有限方差的假设。
(1)自回归(AR)过程
与自噪声(随机游走)过程不同，自回归过程中，时间序列的当前值依
赖于过去时期的观察值。一般记作Ag(p)。在最简单的自回归过程中，序列
的当前值只依赖于前一期的观察值，称为一阶自回归过程，AR(1)，收益率
的AR(1)模型为：
rl；al‘一l+s， (24)
其中随机扰动项￡由白噪声过程产生。
P阶自回归过程：
‘=air,一l+a2r,一2++‘’+口口‘．D+‘ (25)
经验表明p2的自回归模型对资本市场的描述并不表现出强烈的优越性，反
而会导致模型的显著性不高。
(2)移动平均(MA)过程
在q阶移动平均过程中，收益率的观测值依赖于当前的随机扰动项以
及前q期的滞后随机扰动项，这一过程记为MA(q)。表示为：
‘=t+bjE,一】+62‘一2+···+屯‘一。(26)
其中，不同时期的随机扰动是由白噪声生成。移动平均过程反映的是均衡市
场能够接收的并使市场暂时失去均衡的冲击。由于移动平均过程只对序列前
期的数据具有有限的记忆力，因此只能提供未来有限期内的预测。
(3)混合自回归——移动(AJ孙执)平均过程
混合自回归——移动平均过程，是把具有P阶自回归和q阶移动平均的
过程结合起来。最简单的ARMA(1，1)可表示为：
‘=air,一1+乜s』-l+t(27)
混合自回归．移动平均模型经常被用来对金融资产的收益率进行建模。
(4)ARIMA模型
AR和ARMA模型可以合并为～个更为复杂、更为一般的模型，ARIMA
模型。ARIMA模型是专门用于不稳定的时间序列的。简单的讲，如果w。
是一个ARMA(p，q)过程，那么Ct被认为是(p，d，q)阶的整和自回归移动平均过
程，也就是ARIMA(p，d，q)过程。这里P是自回归项的个数，q是移动平均项
的个数。参数d是差分化运算的个数。
(5)自回归条件异方差(ARcH)模型
ARCH模型是Engle在1982年首先提出的，与传统时间序列和计量模
型假定方差不便不同，ARCH模型把条件方差看作是前期误差的函数，也就
是说条件方差是随时间变化的。方差用以下公式估计：
q=a。+aJ吐】+···+口，占三， 口。>o，a1，·-．，口，≥0(28)
ARCH(p)模型在实际应用中为得到较好的拟合效果常需要很大的P，这会引
起很多问题。为解决这一问题，Bollerslev在1986进行了研究，提出了一个
更一般化的模型。GARCH模型。
(6)广义ARCH(GARCH)模型
这一模型是在ARCH(p)模型中增加了q个自回归项，成为GARCH(p，q)
模型。它的条件方差具有如下的形式：
∥譬刃+口I《l+。·’+口P《，+届仃三l+’·‘+局仃二g ，1n、
细>0，∞，⋯，口。≥o；届，⋯，乜≥0
在此基础上，又进一步发展了方差无穷GARCH(Integrated ARCH)模
型、指数GARCH(Exponential GARCH)模型以及因子GARCH佰actor
GARCH)模型，不断对其市场的描述能力加以修正。
然而虽然这些随机模型似乎都抓住了市场的一些经验特征，但并不能使
我们完全满意。问题的实质是，每个模型都提出一个局部的市场性质。但这
些性质却只能与一部分的而不是全部的投资者相联系。问题并没有从根本上
得到解决。
3、对EMH理论的改进
近年来一些研究者尝试从问题的本质——^EMH假设入手进行研究，进
行了一些有益的探索，这些改进一般从分析方法和市场假设本身两方面入
手，其主要成果有：
(1)分析方法的改进t
①非线性市场理论
传统经济理论模型都是以线性模型为基础，对于经济现象出现的波动认
为来自于外随机性作用，故相应的数学模型常是线性方程加上随机项，关于
EMH的大多数实证研究也都是建立在线性模型基础上，但现实资本市场很
少会如此秩序井然，市场大多是以非线性方式对外界作用起反应的，在现实
经济系统中非线性关系是很普遍的，非线性关系使得因果关系失衡，一个微
小因素能导致用其幅度无法衡量的结果，市场价格对信息的反应过程及整个
经济的动态波动本质上都是非线性。传统的EMH检验方法诸如CJ统计量、
流检验(Run testing)等，已经不能对市场的真实状况做出反映，因此随着非
线性科学的进展，出现了诸如三阶矩、相关积分和相关维、非参数方法等非
线性检验方法。
②小波理论(wavelet theory)
谱分析是分析时间序列的一个重要工具，依赖于傅立叶变换，谱分析可
把一个时间序列信号分解成～个个正弦波序列，这些正弦波序列加在一起就
可以重现原来的信号，但谱分析要求系统有一个特征标度，即每一个更小的
增量按照固定的数缩放。小波理论是谱分析的一个推广，小波分析是当前数
学中一个迅速发展的新领域，它具有理论深刻和应用广泛的双重意义。与
Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换)相比，小波变换是一个时间和频
率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功
能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多
困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”。对于资本市场价格波动这
样一个具有混沌或分形特征的时间序列，由于无特征标度，谱分析无法对之
进行有效分析，而小波理论是谱分析的一个推广，它可以处理具有多重标度
的信号，因此可以用来分析分形和混沌时间序列。
(2)市场理论的改进
①协同市场假定
美国瓦加(vaga)在EMH基础上发展的协同市场假说(Coherent Market
Hypothesis，CMH)，在EMIl基础上加进了非线性因素。CMH是一个资本
市场的非线性统计模型，它认为资本市场出现的许多异象或非线性情况与
EMIl并不矛盾，实际上共存于现实资本市场中，只是复杂的资本市场非线
性系统不同时候因主导因素组合发生变化表现的不同状态，CMIl认为，市
场的概率分布主要取决于下面两种主导因素的不同组合：基本经济环境和市
场中存在的投资者情绪偏倚量或“集体思维”的水平。这两种主导因素组合
在时间上的变化，就引起了市场状态的变化，市场的概率密度函数的形状也
随之发生变化，瓦加认为市场随主导因素组合的变化可出现下列四种状态：
1)随机游动。当投资者之间相互完全独立行动，所有信息很快反映到当前
价格之中，市场就遵循随机游动，这即是EMH下的情形：2)过度市场。
随着投资者“集体思维”水平的提高，投资者情绪中的偏倚可以使得信息的
影响延展至一个很少的时间期间；3)混沌市场。投资者情绪对于集体思维
有很强的传导力，但基本状况是中性的或不确定的。集体情绪可能出现大的
摇摆：4)协同市场。强有力的正面(负面)基本状况与强烈的投资者情绪相
结合，就可能导致协同市场，这时趋势可能是强有力地正面(负面)的，而
风险很低(高)。
②自组织临界状态(self-organized criticality)理论
EMH强调均衡的概念，然而资本市场有时并非以均衡为稳定目标，近
年来发展起来的自组织临界状态可能是描述资本市场价格变化规律的一个
很好理论。自组织临界状态始于对沙堆的稳定性研究IBM托马斯·J·沃森研
究中,巴,(Thoma·J·Watson Research Center)的格伦·赫尔德(Glen Held)所做的
这样一个实验：用沙漏把一堆沙投到一个圆的平坦表面上，沙粒会逐渐堆积
成一个锥体，偶尔一个沙粒会引起一个小崩塌，随着沙堆越堆越高，崩塌越
来越大，锥面坡度也越来越高。直至某～点，沙堆会停止增长，沙子开始溢
出圆盘边缘，在加上去的沙子数量与跌落边缘沙子数量相等这一点，就称沙
堆达到了它的“临界状态”，从这点开始，崩塌大小会非常不同，从几粒沙
子到大滑坡。在沙堆上有许多不稳定的区域，其分布也经常发生变化，但临
界状态是很强健的，很少发生变动，但滑坡自身的统计特性在实质上也会保
持不变。对沙堆来说，其均衡状态应是均匀地铺开在平坦的表面上的时候，
这时为最稳定的形态，而并非处于临界状态的锥体，但自组织临界状态虽然
远离均衡状态，却把自己平衡在稳定性的边缘。资本市场许多特征与沙堆自
组织临界状态相似，价格经常并非在均衡状态附近波动，当价格达到某个极
高点时，如同沙堆崩塌大小变化范围很大一样，价格的波动也是非常不同的，
但波动的一些分形统计特性却很少会发生变化，因此，资本市场变动也可能
是经常处于自组织临界状态。
以上的理论探索，实际已经触及到了混沌理论，但其中的很多理论只是
试图找到EMIt与市场观测的结合点。那么就EMH假说本身的科学性却很
少论及。随着分形理论研究的不断进展，对资本市场的分形理论也有了长足
的发展。
第二章分形市场理论与分形(剐s)分析方法
一、分形市场理论的提出
由于EMH在假设上的缺陷，以及对市场描述的不足等原因。研究人员
从对经济学的基础假定——均衡入手，提出了新的描述市场特性的假说。
EdgarE‘Peters(1996)在《Chaos andOrderintheCapitalMarkets))一书中首
先将分形几何理论应用于资本市场，他令人信服地建立了标准普尔500家公
司股票的日、周、月、年之间的收益曲线的“自相似性”，并分析了EMH
的理论上和实践中的不足，在此基础上提出了分形市场假说。其主要假设和
内容是：
1、市场是无序与有序的有机结合
在经典经济学理论中，我们假定随机和有序是相互排斥的。噪声会干扰
一个有序系统，但秩序还是将起支配作用。如果电视机播送被随机噪声或“雪
花点”干扰，但图像仍旧可以辨认，噪声其实是独立于电视信号的。从这一
角度讲，市场研究的目的就是寻找市场的周期性秩序，并分离叠加在其上随
机噪声。如市场分析人员经常会经验性地认为200天的移动平均数会反映一
定的趋势，其背后实际上是假设移动平均数会平滑趋势上的噪声。分形理论
认为在现实中许多系统中，随机性和确定性是整合不可分的。在资本市场理
论中，很自然地会认为在供给和需求之间存在着一个自然平衡，除非一个外
生冲击扰动了供给或需求，而这将导致系统寻求一个新的均衡。分形理论认
为，局部的随机性与整体秩序相结合可以产生更强的适应性。分形理论认为
资本市场是一个复杂的、交互作用的、适应性的系统(从表象来看，市场总
能够从重创中自行恢复)。因而它是内生波动的，传统的均衡理论不能从本
质是解释资本市场行为，但分形理论却可以对其做出研究。
2、健康的市场是稳定性与流动性的有机结合
稳定的市场不同于EMIt假说中的“有效的市场”。稳定的市场是指市
场能够吸收突发事件的打击，市场交易不会被突发事件打断而终止，最终造
成市场的崩溃。市场的稳定性是靠交易的流动性来维持的。市场的流动性从
微观角度讲，就是指金融资产迅速变为现金而不受损失的能力；而从宏观角
度讲，就是指市场的参与者能够迅速进行大量金融交易，并且不会导致资金
资产价格发生显著波动这样～种市场运行态势。在稳定的市场中：1)投资
者所得到的价格是一个接近市场认为公平的价格；2)具有不同投资偏好的
投资者能够有效地彼此交易；3)当供给和需求变得不平衡时，不会产生恐
慌和混乱的局面。西方学者对金融市场流动性的定量研究一般是通过三方面
的数值来刻画：紧度(tightness)、深度(depth)、弹性(resiliency)(Kyle，1985)
市场的紧度表示交易价格与有效价格的偏离程度，只有当价格的偏离或买卖
价差为零时，市场才实现完全流动性。市场的深度，是由当前价格水平上的
交易量来刻画，它表示投资者对时常价格所做的反应，一个流动性强的市场
在某一价位上能够吸收足够大的交易量。市场的弹性，则考察了几个随机扩
散之后回到有效价格的速度，在高度流动性市场中，价格由于偶然事件而发
生的跳跃，会很快恢复到有效水平上来。紧度通常用价差(spread)来衡量，
深度一般用“换手率”来计算(前提是总体价格稳定)，而弹性一般着眼于
价格的稳定性。
在EMH中有效市场中的价格是一个公平价格，但分形市场假说认为，
在市场富有流动性时的，价格可以被认为接近“公平”。然而，市场却不总
是流动的。当缺少流动性时，在交易状态的投资者会急于接受其所能接受的
任何价格，而无论该价格是否公平。很显然，这更符合市场的实际观测。
3、资本市场中的信息反馈
EMH认为在一个有效资本市场中，价格可以即时地反映所有相关信息，
从而投资者不能通过对特有信息的掌握来获取利润。实际上这意味着，所有
的投资者都会对一个信息做出同样的反映，这是理性人假设所要求的。但分
形理论认为假如所有的信息对投资者都有同样的影响，就不会存在流动性
了。因为当投资者收到信息的时候，他们总是要做同样的交易，并想得到同
样的价格。然而事实是投资者却不是同质性的(Homogeneous)。信息对投资
者的重要性往往由投资者的投资水平或目的所决定。
4、资本市场中价格是长期相关的
EMF认为有效市场在确定价格时已经把所有的公开信息，包括基本状
况和历史价格，都已经计算在内了。因此，价格只有在收到新的信息时才变
动。因而市场价格对于过去的记忆是没有的，或只是有限的。也就是说如果
20年后，所有影响某种证券价格的要素和今天一样，那么其价格也会和今
天一样。两个时点之间发生的事件是互不相干的。然而分形理论认为这一假
设明显与观测不相符，市场中的价格变动显然是相关的，当然这种相关不是
指短期的相关性，而是指一种长期的相关，也就是说这一周的价格变化形态
会影响到所有未来一周的价格变化形态，同样，一月的价格变化形态会也影
响到所有未来一月的价格变化形态。短期相关来自于短期的投资者的预期，
而长期的相关显然来自长期投资者的预期。
5、收益正态分布和独立性的重新分析
分形市场假设认为，市场远离均衡和长期相关的特点，使得资本市场表
现出混沌，特别是分形的特性。这样，使用标准统计分析就会得出错误的结
果，特别是在使用随机游走模型时，这种错误会更加显著。因此就需要用分
形统计理论来研究和分析市场行为。新的方法必须包括分形和非线性动力学
这些显得更符合观测到的行为的性质，而且不能依赖独立性、正态性、或有
限方差的性质。此外，非线性范式必须容纳市场的“长期记忆”的概念，一
个事件可以在未来很长的时间内，理论上是无限长的时间中影响市场。
6、对理性人假设的否定
由于建立模型的需要，EMH假说的提出者简化了分析的假设前提，这
是西方经济理论的一贯做法。但分形市场假说认为，在现实市场中投资者往
往表现为下列情况：
(1)人们不一定在任何时候都回避风险。他们可能经常追求风险，特
别是当他们认为如果不赌博就必然受到损失的时候；
(2)人们在设定主观概率时并不是无偏的。他们容易过分相信自己掌
握的信息，不以此为基础做出决策。通常每个投资者都会认为自己拿到的是
最可靠的信息，因此自己的判断是最理性的，而实际情况是单个投资者往往
很难获得完整的信息：
(3)人们可能在接受到信息时并不对其做出反映。相反，如果它证实
了最近趋势中的一个变化，他们可能在接受到信息之后对其做出反应。这是
一种非线性的反应，而不是理性投资者概念的线性反应。也就是说人们在收
到信息后往往按以往的经验作出决策，而不是依据理性的分析，这就使得决
策带有了记忆性；
(4)没有证据支持人们作为总体比作为个人更理性的想法。而社会动
乱、追求时尚等现象恰恰证实了总体的非理性。股市中“顺势操作”这一至
理名言就是这个现象的最好反映。
然而资本市场理论的创造者十分清楚这些简化构架的影响，但他们认为
这并不影响或降低模型的有用性。因而，通过理性人的假设来构建有效市场
的标准显然是不恰当的，在分形市场假说中理性人的假说不是必须的，甚至
认为这是很难达到，从某个角度讲分形市场理论研究的重点就是被EMH忽
略的，但在市场中经常出现的非理性行为。从分形市场的角度看，EMH假
说中的有效市场仅仅是分形市场的一个特例。
二、分形市场假说(FMH)
分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资偏
好。分形市场假说的目的是给研究者一个符合实际观察到的投资者行为和市
场价格运动的模型。
1、分形市场的涵义
分形市场是指市场是内在波动的，不存在一个静态的均衡。同时市场向
投资者提供了一个稳定性和流动性环境。这里的稳定不是均衡，而是相对市
场的崩溃而言。不同于EMH，分形市场认为，信息依其投资者的投资偏好
而被评价。因为不同投资偏好的投资者对信息的评估是不同的。信息的传播
也是参差不齐的。价格不可能每一次都反映所有的相关信息，而只是反映对
投资偏好重要的信息。这样就会吸收强烈的市场波动，因而市场呈现出稳定
发展的态势。市场中的价格是维持市场的稳定性和流动性的结果，而不是
EMH认为的那种搏弈的结果。在分形市场中不存在理性人假设，投资者的
决策依赖于历史经验，这就使得价格具有长期的记忆性。只有市场面临极端
事件，使得众多投资者对信息的反馈相同，因而投资偏好趋同的时候，才会
使得这种稳定性丧失，这种稳定性的丧失不同于熊市，它是一种市场实质性
的下跌或井喷式的上扬。
2、分形市场假说的主要观点
Edgar E·Peters认为分形市场假说的观点应主要包括以下几个方面：
(1)具有不同投资偏好的众多投资者同时存在时，市场是稳定的。这
21
确保了对于交易者存在充分的流动性。也就是说大量不同偏好的市场主体是
市场稳定的保证，而不是收益正态分布的保证。
(2)信息的重要性对于短期和长期投资者是不同的，短期投资者对信
息的反应更多地反映在技术分析的水平上。
(3)假如一个事件发生，使得基本面信息发生实质性转变，长期投资
者可能停止交易，或者开始进行短期交易。当市场所有投资者偏好趋同时，
市场就开始变得不稳定。长期投资者不再对短期投资者提供流动性以稳定市
场。
(4)价格反映了短期技术分析和长期基础面评价的结合。这样一来，
短期价格变化似乎比长期价格更具易变性，或者更具一定程度的噪音。
如何认识、理解和分析一个分形市场，首先需要了解什么是分形。
三、分形(Fractal)简介
1、分形的概念
被认为是分形几何学之父的伯努瓦慢德勃罗(Benoit Mandelbrot)最早
对分形几何作出了深入研究，由于分形几何所描述的对象是非对称性和粗糙
性，而这正是自然界的本质，因此分形几何学得到了迅猛的发展。分形可以
很好地描述大多数自然形状和时间序列。这也是为什么用分形几何理论来描
述市场复杂行为的原因。
分形几何学看世界的视角与欧几里得几何学非常不同。欧几里得几何学
把自然简约到纯粹和对称的物体：点、一维的线、二维的平面和三维的体。
每一个体都是纯粹的、光滑的。然而在自然界，物体并不是纯粹的欧几里得
结构粗糙的变体，而在这种情况下分形几何却可以简单而完美的描述自然物
体。
分形指：
(1)满足下式条件
Dim(A)>dim(A) (30)
的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维
数)，dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
(2)部分与整体以某种形式相似的形状，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如
此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确
切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通
常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处
理。
(i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结
构。
(ii)分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的
点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
(iii)分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自
相似。
(iv)一般分形集的“分形维数”严格大于它相应的拓扑维数。
(v)在大多数的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换
的迭代产生。
2、分形的特点
(1)分形是自指(self-referential)或自相似(self-similar)的。
分形形状在空间方向显示自相似性。而分形时间序列在时间方面显示自
相似性。分形时间序列是一种随机分形，比起纯粹的数学分形来说，随机分
形与自然界物体有更多的共同之处。虽然资本市场所研究的是随机分形时间
序列，但分形形状有助于对分形时间序列的理解。
(2)分形的形状。
生成分形形状的方法很多。较简单的做法是规定一个生成法则，然后不
断的迭代起自身。图2示了一个简单的但极为典型的例子。图中从左到右的
一系列曲线呈现出转折点数目的不断增加，它们被称做科赫曲线(Koch
curve)。每条曲线都是紧接其下的曲线光滑之后的样子，同时也表现出比紧
靠其上的曲线更为复杂的形态。也就是说，这些曲线在不断增加细节的同时
又保持形态的相似性。这一性质就是我们上面提到的自相似性。从维数的角
度讲由于科赫曲线不是平直的因此它不是1维的，同时科赫曲线也不能将整
个平面填满，因而也不是2维的，实际上科赫曲线的维数是1．5。维数不是
整数也是分形的一个重要特征。
3、分形时间序列
考察股票价格的时间序列，它显示为一条参差不齐的线，如上所述，参
差不齐的线不是一维的。对于S&P500指数收益率曲线来说，其维数是1．24。
图3可以明显的看到S&P500指数收益率曲线的分形结构。然而科赫曲线与
S&P500指数收益率曲线却有明显的不同，科赫曲线的自相似结构更为对称
和直观。这样分形结构就被分为两类：类似科赫曲线的对称分形叫做确定分
形，因为其生成规则确定。而类似S&P500指数收益率曲线的分形叫做随机
分形。
确定分形不是自然界或资本市场的真正反映，虽然它们显示了分形的重
要性质，这是因为自然界和人类社会行为永远不可能是完全对称的。而随机
分形更能真实的反映自然界物体和资本市场行为。
海岸线是随机分形在自然界的典型事例。在空中俯瞰海岸线时，海岸线
象一条平滑的、无规则的曲线。高度越低，海岸线就越显得参差不平。股票
价格可以与海岸线类比。股票收益曲线在较大的时间段来看较为光滑，随着
时间段的不断缩小，其细节就越多。
我们已经介绍了分形维的基本概念，具有分形维的现象的显著特征之一
就是在一个分形时间序列中，相关性把各个点聚集在一起，从而保持其维数。
但在一个随机序列中就没有相关性把各个点聚集在一起。
前面已经分析了由于资本市场收益率不服从正态或对数正态分布，原因
在于人们在接受到信息后的反应时间不一致。这就使得收益率成为～个有偏
的随机游走过程(分形时间序列)。曼德勃罗把这一过程称作分形布朗运动。
在资本市场中称作分形时间序列。赫斯特(Hurst)在上世纪40年代全面研
究了这一过程。曼德勃罗在60年代和70年代再次做了全面研究。目前这一
理论在自然科学中应用极为广泛。本文也正是依据赫斯特的研究方法来对资
本市场进行研究的。
24
四、分形分析(rescaled range analysis，R／S)
1、R／S分析的产生和发展
标准统计分析假定系统基本是随机的，也就是说产生时间序列的过程有
较大的自由度，而且序列内部的关系是非常复杂的，对它们进行确定性的说
明是不可能的。只有概率论能帮助我们理解和利用这一过程。正如前面所介
绍的自然界和资本市场中充斥着大量的非线性随机和确定性系统。为了研究
这些系统，就需要一个非参数的统计方法，也就是不需要EMH假设条件的
统计方法。
在标准高斯统计中，要求被观测的对象一定是独立同分布(IDD)的，但
是在系统不是IDD，正如前面提到的证券收益率的变化，要用什么样的方法
去解决呢?1951年英国水文学家H·E-Hurst(1900-1978)发现了一个非常稳
健的无参数统计方法。这一方法最初是用来考察尼罗河的流量变化的。但
Hurst将他的研究扩大到许多自然系统，而且通过这个方法可以区分随机和
非随机系统、趋势的持续、循环的持续。这一方法叫做“重标极差法”(rescaled
range analysis)，或R／S分析。通过这一方法可以区分分形时间序列与随机
序列。
爱因斯坦于1908年发表了关于布朗运动的论文，使得布朗运动成为随
机游走的基本模型。爱因斯坦于发现，分子随机运动的半径可以用涵盖时间
的平方根来测度：
月=T。_5 (31)
R-分子随机运动的半径；T=时间
上式称作二分之～法则。在金融学中这一法则通常被用来对测量风险的
标准差进行的年度化，比如用月收益的标准差乘12的平方根就得到年收益
的标准差。Hurst就是从这一原则出发通过新的统计量来对序列的随机性进
行检验。
下面简要说明这～方法：
假设X----Xl，x2，⋯，xn为股票指数的每日变化，记做Xi，i=l，2，⋯n。
该时间序列的均值为xm，
覃=(■+。·‘+X。)／n(32)
标准差S。
铲、／坠翌(33)
_ n
重标极差方法需要对原序列进行标准化，
Zi=(z。一i)； r=1，⋯，n (34)
这样Z就具有零均值，Z=0，下面由Z产生一个累积时间序列Y：
K=(Zl—Z，)； r=2，⋯，n (35)
依据这个规则便可产生新的时间序列Y，由定义可知，序列的最后一个Y(Ynl
将一定为零。重标的极差Rn，是Yi的最大值减去最小值。
R=max(X，⋯，K)一min(Yl，⋯，ro) (36)
对于R。，下标n表明对于xl，x2，⋯，Xn是一个调整过的极差。因为z已
经被调整为零均值，Y的最大值总是大于或等于0，而最小值总是小于或等
于0。这样Rn将永远为非负。
运用重标极差Rn，可以将等式(31)一般化，因为等式(31)仅仅适用于
布朗运动，也就是随机过程。其形式如下：
(R／s)。=c·H“ (37)
n表示对应x=xl，X2，⋯，xn的R／S值；c=a常数
这里R／S(rescaled range)被称为重标极差。通常情况下，R／S随时间
区间的增大而变大，H通常称做赫斯特指数(HurstExponent)。由于对R／S进
行了标准化处理，重标极差允许研究者对各种现象和时间序列进行比较。这
是因为重标极差分析方法可以对没有特征规模变化的时间序列，也就是分形
时间序列进行描述和分析。
2、赫斯特指数(Hurst Exponent)的计算与涵义
(1)赫斯特指数的计算
赫斯特指数可以由绘制的Log(R／S)与Log(n)图形逼近，其近似值就是其
回归模型的斜率。
Log(R／s)。=Log(c)+H·Log(n)(38)
假如一个系统是独立分布的，那么H=0．5。Hurst对尼罗河的流量研究
表明，其H=0．91，也就是说重标极差以快于时间平方根的速度在增长，这
就意味着尼罗河的流量时间序列数据点的范围超过了一个随机过程可能覆
盖的范围。而要覆盖更多的范围，序列间各点必定是相互影响的。尽管短期
的自回归(Autoregressive，AR)会引起序列相关。但通过一阶和二阶自回归
模型【AR(1)，AR(2)】对数据进行处理并不能消除这种相关性。
(2)赫斯特指数的含义
时间序列的Hurst指数居于O．1之间。以O．5为间隔，时间序列在不同
的区间会表现不同的特性：
①H∈(O，O．5)：分形布朗运动。此时，时间序列的未来数据倾向于返
回历史点，因此其发散的比标准布朗运动慢。可以证明，该序列在理论上会
无数次的返回它的历史出发点。
②H=O．5：标准布朗运动。此时，序列为随机游走，表现马尔可夫链特
性。
③H∈(O．5，1)：长期和无周期的循环。此时，时间序列有混沌性，其
增量会表现出长期增长的特性。因此，一定范围的记录会持续相当长的时期，
从而形成一个个大的循环。但是这些循环没有固定的周期，难以依靠过去的
数据预测未来的变化。
④H=1：完全预测围。通常把这种过程称做均值回复过程。
(3)风险的重新定义
由于Hurst指数的定义，我们就必须重新定义传统意义上的风险的概念。
根据CAFM，相对于市场组合，高p值的股票比低p的股票风险大。因为13
值高的股票用标准差度量的易变性就高。而赫斯特指数口)度量的是时间序
列参差不齐的程度，H越低，系统中的噪声就越多，序列就越象随机过程。
对于H>0．5的序列，由于其是分形序列，标准统计就不能应用。实际是，高
H值意味着低风险，因为数据中的噪声比较少。但高H值序列突然变化的
风险会更高。
归纳起来，分形市场假说与有效市场假说可以用下面的表来说明：
分形市场理论与有效市场理论的比较
特征有效市场理论分形市场理论
市场特性线性孤立系统非线性、开放、耗散系统
均衡状态均衡允许非均衡
系统复杂性简单系统具有分形、混沌等特性的复杂系统
反馈机制无反馈正反馈
对信息的反应线性因果关系非线性因果关系
收益序列白噪声不相关分数噪声长记忆(对于初始值敏感)
价格序列布朗运动(H=0．5) 分数布朗运动(H∈【o．5，1))
可预测性不可预测提供了一个预测的新方法
波动有序性无序有序
有效市场是分形市场的一个特例
二者之间关系分形市场拓展了有效市场的含义
分形市场理论更广泛的、准确的刻画市场
来源：樊智，张世英，金融市场的效率与分形市场理论．《系统工程理论与实践》，2003 3
五、分形市场理论与行为金融理论的异同
在分形市场理论提出的以前，很多研究人员也对EMH的正确性提出了
质疑，较有代表性的就是行为金融理论，而且取得了较为注目的成果，同分
形市场理论不同，它从另一个角度对资本市场重新进行了研究。要比较两者
的异同，就需要首先对行为金融理论做简要了解。
行为金融理论也是首先针对EMH以及理性预期提出的，通过对市场的
实际观测，行为金融理论认为市场的实际状况是：1)投资者的行为是非理
性的；2)投资人的非理性行为并非随机发生；3)套利会受一些条件上的限
制，使其不能发挥预期的作用。
基于以上原因，行为金融理论的研究者提出了新的理论，较有代表性的
是Kahneman and Tverskey(KT)提出的期望理论与以后发展出的行为组合
理论(Behavioral Portfolio Theory，BPT)和行为资产定价模型圆ehavioral Asset
Pricing Model，BAPM)。
KT(1979)指出传统预期效用理论无法完全描述个人在不确定情况下
的决策行为。他们以大学教授和学生为基础进行问卷调查，发现大部分受访
者的回答显示许多偏好违反传统预期效用理论的现象，并据此提出一种新的
经济行为的模型，称为期望理论。实验发现的这些与传统预期效用理论不同
的现象，KT主要以三个效果来说明：1)确定效果(certainty effect)；2)反
射效果(reflection effect)；3)分离效果(isolation effect)。除了用问卷来说
明外，KT也提出理论模型说明个人的选择问题。他们利用两种函数来描述
个人的选择行为：一种是价值函数(value fimction)v(x)；另一种是决策权
数函数(decision weighting function)Ⅱ(p)。其中价值函数取代了传统的预
期效用理论中的效用函数，决策权数函数将预期效用函数的概率转换成决策
权数。除此以外，还有其他的研究者对以下的问题做出了研究：1)经验法
则偏误(heuristic．driver bias)、框架相依(framing dependence)、无效市场
(inefficiemmarkets)。期望理论是行为金融研究中的代表学说，利用期望理
论解释了不少金融市场中的异常现象。
一些行为金融理论研究者认为将行为金融理论与现代金融理论完全对
立起来并不恰当。在这方面，Statman和She丹in提出了BPT和BAPM模型。
BPT是在现代资产组合理论(M．APT)的基础上发展起来的。MAPT认为投资
者应该把注意力集中在整个组合，最优的组合配置处在均值方差有效前沿
上。BPT认为现实中的投资者无法作到这一点，他们实际构建的资产组合是
基于对不同资产的风险程度的认识以及投资目的所形成的一种金字塔式的
行为资产组合，位于金字塔各层的资产都与特定的目标和风险态度相联系，
而各层之间的相关性被忽略了。BAPM是对现代资本资产定价模型(CAPM)
的扩展。与CAPM不同，BAPM中的投资者被分为两类：信息交易者和噪
声交易者。信息交易者是严格按CAPM行事的理性交易者，不会出现系统
偏差；噪声交易者则不按CAPM行事，会犯各种认知偏差错误。两类交易
者互相影响共同决定资产价格。
行为金融理论沿袭西方经济学的传统分析方法，试图通过建立数学模型
来刻画投资者的心理行为，因此出现了一些描述投资者投资行为的模型，主
要有：
(1)BSV模型(Barberis，Shleffer，and Vishny，1998)。BSV模型认为，
人们进行投资决策时存在两种错误范式：其一是选择性偏差(representative
bias)，即投资者过分重视近期数据的变化模式，而对产生这些数据的总体特
征重视不够，这种偏差导致股价对收益变化的反映不足(under-reaction)。另
一种是保守性偏差(eonservation)，投资者不能及时根据变化了的情况修正自
己的预测模型，导致股价过度反应(over-reaction)。BSV模型是从这两种偏
差出发，解释投资者决策模型如何导致证券的市场价格变化偏离效率市场假
说的。
(2)DHS模型(Daniel，Hirsheifer and Subramanyam，1998)。该模型将
投资者分为有信息和无信息两类。无信息的投资者不存在判断偏差，有信息
的投资者存在着过度自信和有偏的自我归因(self-contribution)。过度自信导
致投资者夸大自己对股票价值判断的准确性：有偏的自我归因则使他们低估
关于股票价值的公开信号。随着公共信息最终战胜行为偏差，对个人信息的
过度反应和对公共信息的反应不足，就会导致股票回报的短期连续性和长期
反转。所以Fama(1998)认为DHS模型和BSV模型虽然建立在不同的行为前
提基础上，但二者的结论是相似的。
(3)HS模型(Hong and Stein，1999)，又称统一理论模型(tmified theory
model)。统一理论模型区别于BSV和DHS模型之处在于：它把研究重点放
在不同作用者的作用机制上，而不是作用者的认知偏差方面。该模型把作用
者分为“观察消息者”和“动量交易者”两类。观察消息者根据获得的关于未来
价值的信息进行预测，其局限是完全不依赖于当前或过去的价格；“动量交
易者”则完全依赖于过去的价格变化，其局限是他们的预测必须是过去价格
历史的简单函数，在上述假设下，该模型将反应不足和过度反应统一归结为
关于基本价值信息的逐渐扩散，而不包括其他的对投资者情感刺激和流动性
交易的需要。模型认为最初由于“观察消息者”对私人信息反应不足的倾向，
使得“动量交易者”力图通过套期策略来利用这一点，而这样做的结果恰好走
向了另一个极端——过度反应。
(4)羊群效应模型(herd behavioral model)。该模型认为投资者羊群行
为是符合最大效用准则的，是“群体压力”等情绪下贯彻的非理性行为，有
序列型和非序列型两种模型。序列型由Banerjee(1992)提出，在该模型中，
投资者通过典型的贝叶斯过程从市场噪声以及其它个体的决策中依次获取
决策信息，这类决策的最大特征是其决策的序列性。但是现实中要区分投资
者顺序是不现实的。因而这一假设在实际金融市场中缺乏支持。非序列型则
论证无论仿效倾向强或弱，都不会得到现代金融理论中关于股票的零点对
称、单一模态的厚尾特征。
由此我们可以看出，虽然分形市场理论与行为金融理论都是针对EMH
假设提出的，但其分析的途径是不同的。行为金融学从人的角度来解释市场
行为，充分考虑市场参与者的心理因素的作用，为人们理解金融市场提供了
一个新的视角。行为金融理论以，心理学对人类的研究成果为依据，以人们的
实际决策心理为出发点讨论投资者的投资决策对市场价格的影响。它注重投
资者决策心理的多样性，突破了现代金融理论只注重最优决策模型，简单地
认为理性投资决策模型就是决定证券市场价格变化的实际投资决策模型的
假设；而分形市场理论则是从自然科学中的混沌理论入手，认为市场是有序
与无序的结合，它更注重对市场复杂性的统计研究，同时力图找到一种自然
的无须任何假设的研究方法。行为金融理论与分形市场理论更为本质的区别
在于，行为金融理论并不排斥均衡市场的假设，而分形市场理论认为市场本
质上是非均衡、远离平衡的。这就决定了二者在研究的出发点上有着本质的
不同。
六、R／S分析实际操作
1、假定一个时间序列P，，长度(数据个数)为M，逐一计算序列的对
数比，这样就可以生成一个新的对数序列R，其长度为N=M-1，这样做的
目的是消除序列的短期自相关性，以满足R／S分析对观测对象独立的要求，
新的时间序列为：
p
置=上09(等)， f-1，2—3一，M一1 (39)
2、以长度为A均分这个序列为i3个相邻的子区间，这样A·n=N。任一
子区间表示为I。，a=l，2，3，⋯，rl。在I。中的元素表示为N皿，m)，k=l，
2，3，⋯，rl，m=l，2，3，⋯，A。Ia的均值为：
e。=j1智"N如
(4。)
ea=子区间I。中N，的均值。
3、每个子区间I。对于均值的累积截距(xka)时间序列定义为：
置，=Σ(M厂气)
4、极差定义为
R，。=max(X々月)一min(Xkp) 1≤k≤" (42)
5、子区间I。的标准差为：
SJ。= (43)
6、每一个局。均由对应的S。进行标准化。则R／S定义为：
(岫。；i1篙号-．iRzo (44)
玎：i 6，
7、不断增加A长度，并重复1——6步，直到n=fM-1)／2。以Log(n)为
解释变量，Log(R／S)为被解释变量，进行线性回归，Log(R／S)=Log(c)+
H·Log(n)+e。计算得到的方程中斜率就是赫斯特指数H的估计值。
七、R／S分析对循环的探测
通过观察我们通常认为价格的波动具有周期性的规律，但这并不是我们
一般所说的周期，周期是一个可以严格用正弦波来表达的概念，而价格的波
动表现出来的周期性波动并没有精确的周期长度，不同波的相位和振幅经常
发生偏移。在分形理论中，存在着非周期循环这个概念，这些循环有一个平
均持续周期，换言之，一个未来的循环是不确定的，但它大致位于平均的循
环周期附近。这正好符合我们对资本市场中价格变动的周期的观测。通过
R／$分析，我们就可以找到这个平均的循环长度。
在一个时问序列里，R／S分析不但能够发现待久性长期记忆还能估计周
期性或非周期性循环的长度。而且这一循环对于噪声是稳定的，这对于资本
市场时间序列是十分有效的。这里非周期循环是指这个循环没有绝对的频
率，但有一个平均的频率，在相空间中表现为一个有限集，混沌理论中称作
奇异吸引子，这也是分形的一个特征。以往在时间序列分析中，我们的焦点
一直放在规则、周期循环上。在傅立叶分析中，是假定形成时间序列不规则
形状的是许多正弦波的集合组成，它们各自有不同的频率和振幅。而谱分析
是试图用不明显的循环来分割时间序列，使其成为正弦波的集合。然而这些
方法均不能是分析结果较好的符合实际观测。而非周期循环却可以对资本市
场的循环做出解释。图4有助于我们理解非周期循环。该图像由下列方程组
得到：
毫=一佩】+o吖2
量2=一XIX3+腻1一x2(45)
屯=xIx2一bx3
其中o=10，b=8／3，r=28
这个图形中的所有像素由上述方程的解得到。所有的解均围绕两个点扰
动，但每个点的位置均不同。这就是非周期循环在相空间的表现。这两个点
就是著名的洛伦兹吸引子(LorenzAttractor)。
八、R／S分析方法对S&P500指数的实证研究结论
Peters通过研究发现，美国股票市场日收益H值为0．6，月收益H值为
O．78，表现出明显的分形结构。同时具有典型的非周期循环，长度为48个
月。图5反映了S&P500指数月收益的R／S分析图，图中可以看出Log(R／S)
线的斜率，也就是H--0．78，但在大约48个月处趋于H=0．5，表明其有一个
平均长度为48个月的非周期循环。
在这一章中我们分析了EMH的缺陷，并在此基础上介绍了分形及分形市
场假说的主要内容。分形市场假说与行为金融理论都是针对EMH的不足提出
的，但二者的侧重点是不同的，行为金融理论侧重与对投资主体心理的模型化
描述，使之与实际观测相符；而分形市场假说则侧重对资本市场的统计描述，
通过建立一种无参数的统计方法来研究市场的特性。最后这一章还介绍了分形
市场的研究方法R／S分析方法，下章将利用这一方法进行实证研究。
第三章我国证券市场分形(R／S)实证分析
一、数据来源
我们采用1990年12月19曰——2003年4月4日的上证日收盘指数(共
3013个数据点)，和1991年12月23日——2003年4月4日的深证日综合
指数(共2749个数据点)为分析对象。由于二者的数据量均超过了2000
这个经验值，因此样本数量是足够。
：、数据初步处理
根据R／S分析的要求对数据进行对数一阶差分(逐日对数收益)处理，
消除序列的短期记忆。计算公式为：
p X：=In(}) (46)
‘t-1
为了检验H的稳定性，同时对数据做5日、30日和90日的对数收益计
算。
三、正态性检验
对数据进行正态性检验以便对数据的统计特征有初步性了解。主要采用
峰度——偏度方法进行检验。
1、上证综合指数逐日对数收益分布
计算结果见表1和图6。
通过偏度——峰度的测算和分布图，可以明显的看出其非正态分布的状
况，特别是在远离6个标准差以外处还存在数据点，尖峰厚尾现象严重。
2、深证指数逐日对数收益分在
计算结果见表2和图7。
统计结果同样表现出非正态分布的特征，但其非正态性的程度要比上证
指数显著的小。
四、赫斯特指数(H)的计算
由于计算量较大，运用FoxPro编程计算(程序清单见附录2)。分别计
算逐日收益、5日收益和90曰收益的H值。计算时，比较了步长分别为1，
3，10及20的计算结果，发现并未有显著性差别，因此，为了节约计算时
间，统一采用步长为20的计算原则。
1、逐日收益分析
(1)、上证指数
计算结果见表3和图8。
(2)深证指数
计算结果见表4和图9。
2、5日收益分析
(1)上证指数
计算结果见表5和图10。
(2)深证指数
计算结果见表6和图11。
3、30日收益分析
(1)上证指数
计算结果见表7和图12。
(2)深证指数
计算结果见表8和图13。
4、计算结果的非参数显著性检验
为了验证计算所得H值的可靠性，我们打乱原时间序列的顺序，重新
计算H。而这时的H应显著值地接近0．5。通过计算检验，结果证明H值是
显著的。
五、R／S分析结论结论t
(1)通过对逐日、5日、30日收益的计算，我们得到上证H值分别为
H=0．54、H=0．61和H=0．74；深证H值分别为H=0．59、H=0．65和H=0．78。
计算结果均通过了假设检验，H值较为显著。
(2)不同水平下的H图具有相似的形态，证实H与时间长度无关。
l亍＼时闻逐日收益5日收益30日收益
l 上证指数0．54 O．61 0．74
l 深证指数0．59 O．65 0．78
(3)沪市与深市在分形结构上有明显差别。从H值上可以看出，深市
的H值在各个水平上均高于沪市，这在一定程度上说明深市的噪声干扰要
比沪市小一点，其趋势性更强。
(4)叶中行、曹奕剑1曾对上交所个股的分钟Hurst指数做出计算，结
果如下
股票代码600005 600086 600631 600832 600872
5分钟H 0．5584 0．6904 0．3452 0．4228 0．5291
与相对应的5日上证指数H=0．60相比较。有四只股票H小于O．60，一
只超过0．6。这进一步说明组合有助于降低风险。
在30日(5水)一平般上时的间分序形列维的为分1形．维26定。义孙为博2文一、H。张因本此祥我2们㈣可(B以ox计．算co上un证ti指ng数)
测量上证指数的分形维，其结果为1．27，结果极为相似。
六、v统计量的计算及非周期循环的判断
1、V统计量的计算
v统计量计算的主要目是找到非周期循环的长度。计算公式为：
r矿。．=—：——坚芦墼一(＼4叶7，)／
’4n
其中n为观测的天数。
分别计算沪市、深市逐日、5日的V统计量，检验周期的稳定性。计算
结果见图14、图15、图16、图17。
2、非周期循环的判断
，叶中行、曹奕剑，Hurst指数在股票市场有效性分析中的应用《上海交通大学学报》，1998．32(3)
2孙博文、张本祥，上证指数的分形结构及其盒维数测量的研究．《哈尔滨理工大学学报》，2001 6
36
(1)在V统计中，若V线表现为水平，则序列为随机。反之，如果有
上升趋势，则表现为序列的长期记忆，图形的拐点处即为序列的非周期循环
的长度。
(2)逐日与5日v统计表现出高度相似性，说明周期与时间长度无关。
沪市表现出一个较为明显的非周期循环，从V统计图中可以明显的看到其
在ln(n)=5．71(300天)处有一个拐点，也就是说达到了峰值，因此可以认定
沪市的非周期循环长度为300天；深市非周期循环并不明显，有一些不显著
的循环分别对应180天、300天和680天。
3、与S&P500指数比较结果：
(1)美国股票市场与我国股票市场相比，噪声干扰更小一些，体现出
较强的稳定性：
(2)美国股票市场平均循环周期比我国股市要长很多，体现出其政策
等宏观因素的稳定性。
在这里值得一提的是，张兵、徐炜在《中国股票市场分形特征的实证研
究》曾经用类似的方法计算了中国股市的分形结构，但其数据的处理方法很
值得再次研究。在这篇文章中提到“为了去除收益率线性相关性的短期记忆
的影响，我们首先对Rt进行了自回归，经过试算，我们选择AR(6)模型，其
回归方程为：
上
置=屁+Σ层置一，+t (48)
i*l
回归运算后得到残差e t，然后用残差序列e t进行分析以得到‘纯净’
的长期记忆的影响。”
经过计算我们发现，这个AR(6)模型根本无法通过参数检验(检验见表
9)，而且R值仅为10％左右，拟合效果很差。在这种情况下利用残差作为
数据源进行计算显然是不恰当的，这直接导致计算结果的偏误。可能由于这
个原因，该文最后计算的结果之一就是上证指数的Hurst指数为0．313，这
是非常奇怪现象，而文章也并未对这一结果做出解释。因此，其结论的可靠
性值得我们商榷。
4、政策建议
分形市场理论是把投资者主体的多元化视作防范资本市场风险的一个
有效手段。分形市场假说的一个重要假定就是投资者的有限理性，无论是机
构投资者还是个人投资者，都不是新古典意义上的“理性投资者”，而是一个
有限理性的投资者。他会受到本身所处环境中的文化、社会心理等因素的影
响，在信息不完全和本身知识的局限下，盲目跟从舆论或他人，并由于市场
自身结构中所具有的自我放大(自增强)机制，形成“羊群效应”，最终使整个
市场偏离理性的轨道，甚至在经历了一段虚假的繁荣之后陷入金融危机。在
这种情况下，人们不能期望投资者用“理性预期”、“多元化投资”等传统手
段来规避风险。维护市场稳定的正确方法，一是不断开辟新的市场，尽量扩
大交易品种的种类，使众多投资者的注意力和投资选择适当分散化，二是采
取鼓励交易的政策，给人们更多的机会去参与更广泛、更自由的市场，通过
建立完善的社会保障制度和金融机构来更有效地控制风险。
归根到底分形市场最终的研究目的之一是对传统的资产定价模型进行
重新讨论，这就不能回避分形的特征描述问题，特别是分形时间序列的风险
测度。
第四章分形市场理论与风险的测度
一、分形分布
1、分形分布的形式
由于中心极限定理并不是对所有观察到的现象总是成立的，那些中心极
限定理不适用的分布，一般称做稳定分布。稳定分布由帕雷托(Pareto)发现，
列维(Levy)对这些分布进行了深入分析，因此该分布也称作稳定帕雷托——
列维族，分形分布很好地描述了尖峰厚尾形态，侧重与从内因来结实观测值
的非连续性、非独立性、自相似性、非线形特征，并以反馈效应合理地解释
了这些现象。分形分布函数通常有以下特征函数：
庐(r)=ln[f(t)]-ln[E(e7’‘)
卜务卜17"t[_(1-f伊亩)-m(加詈)唿≠1 (49)
f．占·r一沙·rl-(1+f-∥·要)·111H口函=1
分形分布有4个参数6，Y，旺和p。6是位置参数，T是尺度参数。a
是特征指数，是分形分布中最重要的参数，它决定了分布在中部的峰度和在
尾部的厚度。Ⅱ的取值在(0，2]之间。当ct=2时，分形分布退化为正态分布，
其均值为6，方差为2，。特别地，当13=1，ct=l／2，8=0时，分形分布就是
贝努里分布；当13=o，ct=l时，分形分布就是柯西分布。
2、分形分布的性质t 1)加法不变性；2)自相似性；3)厚尾性；4)
不连续性；4)长期记忆性。这里主要讨论主要的三种性质：
(1)加法不变性
所谓加法不变性是指具有同样a和9值的两个分形分布序列相加，所生成
的新的序列也是一个分形分布序列，而且a和p值不变。
(2)自相似性
在一个分形分布中Y的改变并不会影响到c【和p的值，也就是说，a和p
的值在所有尺度上概率保持不变。
(3)厚尾性
所有分形分布(除正态分布外)都具有比较厚的尾部，特征指数Ⅱ决定
了分形分布的尾部厚度。a越小，分形分布的尾部越厚。
(4)非连续性
由于非正态分形分布的尾部太厚，因而它们的方差及所有更高阶矩都是
无限的。当样本增大的时候，这些分布的方差和峰度的样本估计不会收敛，
而趋向于无限增大。因此分形分布能够产生大幅度、突发性的变化，这就是
分形分布的非连续性。由于分形分布允许价格序列出现间断点，即大幅度的、
突发性的价格变化，因此它可以较好地描述实际金融市场价格行为的突然变
化。
(5)长期记忆性
分形分布可以产生长期记忆性的时间序列。长期记忆性时间序列具有非
同寻常的高度持久性，这意味着时间间隔很长的数据间相关性很强，且随着
时间间隔的变长这种相关关系并不减弱。这种现象导致了长期趋势和长周
期，这种长期记忆性被称为“约瑟芬效应”。大量实证表明，金融市场价格
序列存在这种长期记忆性。因此，分形分布可以较好的描述这种特性。
二、分形分布与现代资产组合理论
基于均值——方差的现代证券组合理论指出，分散化的证券投资组合可
以降低风险。分散化降低风险的根源在于不同证券间存在的相关性——负相
关会降低组合的风险。在证券组合理论中，往往假定回报呈正态分布。对一
般分形分布而言，方差往往不存在，也没有相关系数的概念。这时就需要引
入分形分布来代替正态分布去测量组合的风险。
在分形分布中由于方差是无限的，所以引入离差代替方差来分析分形分
布条件下的分散化问题。离差定义为：
1 一
c，=二(，一』)，I=1,2，3，⋯，n (50)
玎
考虑在分形分布下的单指数模型，表示如下：
R，=a，+b，·1+一(51)
其中，bi为股票i对指数I的敏感度；ai为非股指股票的回报；d。为均值为
0的误差项。
可以假定股指回报I、股票回报R。服从具有相同特征指数a的分形分
布。误差项也服从分形分布，并且对于股指和股票是独立的。这样证券组合
的风险C。就等于：
c，=％c，+ΣF·气(52)
i-1
其中。为股票组合的离差；c，为股指I的离差；b，=Σ爿，·bi为证券组合
i-1
对股指I的灵敏度；置为股票I的权重；c。为di的离差。一般地，证券的
风险由两部分组成：一部分为系统风险，它不随证券数量的增加而变化，一
部分为残差风险，它随证券数量的增加而变化。
假定x，2亩，则有
c；2(专)寡c， (53)
这样，当护1时，残差风险c。随着证券组合中的证券数量N的增加而
降低，此时分散化的作用。特别是当a=2时为正态分布，遵循标准的
Markowitz证券组合理论。随着特征指数旺越接近1，分散化所起的作用就
越小：如果a=l，则不会出现风险分散化的现象；当a<l时，证券组合的非
系统风险将会随着N的增加而增大。也就是说，当口<1时极端事件变得很
频繁，以至于分散化倾向于增加彼此的风险，而不是分散风险。Peter(1994)
的研究表明，金融时间序列的特征指数在1．42～1．70之间。这意味着分散化
的作用比标准正态分布资产组合理论预期的要弱。
很明显Ⅱ是分形分布中的一个重要参数，在Ⅱ的测算上R／S分析方法体
现出一定的优越性，Peters证明在一定的前提下Ⅱ可由以下公式计算：
4
l
口=一
日
这里H为Hurst指数。
分形分布具有与观察的市场一致的性质，能很好地描述金融市场的实际
行为。但很明显，分形分布使得理论建模变的非常困难和复杂。随着计算技
术不断的发展，分形分布建模的复杂性难题一定能够有效得到解决，从而最
终成为描述市场行为的主要方法。
三、分形与金融市场风险测量技术的演变
所谓金融市场风险测量，就是测量由于市场因子的不利变化而导致的证
券组合价值损失的大小。最初的金融市场风险测量方法非常简单，认为某一
证券组合的市场风险就是该证券组合的整个价值，这种方法称作名义量法
(nominal amount)。由于名义量法是一种粗略的估计方法，无法满足日趋复
杂和竞争激烈的金融市场管理风险的要求，为此引入了更为精确的风险测量
方法。市场风险测量有两种基本测量方法：一种是测定市场因子的变化与证
券组合价值变化间的关系，如Delta、Beta、久期和凸性等，一旦得到这种
关系，对于市场因子的特定变化量，就可以求出证券组合价值的变化量；另
一种方法是测量由于市场因子的变化而导致的证券组合收益的波动性——
收益偏离平均收益的程度，常用统计学的标准差表示。
第一种方法实质上是测量证券组合价值对其市场因子的敏感性，所以称
为灵敏度方法。灵敏度方法由于简单、直观而在实际中获得广泛应用。但其
也存在以下问题：1)近似性；2)对产品类型的高度依赖性；3)对于复杂
金融产品的难理解性；4)相对性。
第二种方法是一种统计方法，反映的是证券收益的波动性，因此称为波
动性方法，用标准差和协方差描述。由于前文所说，收益正态性假设的失败
以及其他的原因，这种方法也被证明是不确切的。这样，证券组合市场风险
的测量，就因入引了风险测量的VaR方法(Value at Risk)。VaR是指一定概
率水平下，证券组合在未来特定一段时间内的最大可能损失。其最大优点在
于测量的优良性，可以将不同市场因子、不同市场的风险集成为一个数，较
准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，较好适应了金融
42
市场发展的动态性、复杂性和全球整合性趋势。因此，VaR方法在风险测量、
监管等领域获得广泛应用，成为金融市场风险测量的主流方法。
Var描述的是市场正常波动下的最大可能损失，而现实中，金融市场出
现剧烈波动的极端市场情形大量存在，会导致致命的风险。因此VaR方法
也引入了分形的理念，具体是引入了极值方法，也就是通过分形分布来解决
这一问题。比如在测量极端市场情况下风险损失时常用的POT模型变采用
了广义帕雷托分布(GPD)这种分形分布，而这个模型被认为是实际应用中
最有用的模型之一。广义帕雷托分布函数有两个参数：
G，⋯。(x)；{1一(1+孝+。7卢)。1增(善≠o) (541
【1一exp(一x／∥)(善=0)
其中，13>0，当；≥0时，X>t0；而当E≤O时，Osxs．13／‘
l是重要的形状参数，而13是分布的尺度参数。‘>O时广义帕雷托分布
是厚尾的，所以这种情形与风险测量是最相关的。
利用这个模型就可以对那些极值风险加以描述和测算。
第五章结语
随着金融理论和方法的不断发展，金融市场中长期被忽略的现象逐渐被
人们所重视。经典理论中那些简化了的假设条件逐渐成为人们的研究重点。
这不仅仅因为研究者为了追求完美的、不需要任何假设条件的理论框架，同
时还由于这些长期以来被忽视的现象随着金融市场的发展变得越来越显著，
对金融市场的影响越来越大，已经不能再被忽视。研究人员从不同角度展开
了对这些问题的探索。分形市场理论就是其中之一，它从对资本市场的实际
观测入手，建立起一套非参数的、稳定的研究方法，达到了理论与市场观测
一致的目的，同时利用混沌理论的研究成果对市场行为进行分析，取得了良
好的效果。
本文正是利用分形市场理论的这些优越性，对我国证券市场进行了总体
的分形研究。虽然之前也有文章对我国证券市场进行了尝试性的分形研究，
但由于数据采样的局限，并不能描述我国证券市场的全貌。本文针对这些研
究的不足，采集大量的数据，结合最新的分形市场理论的研究成果对我国的
证券市场进行了分析，并与美国证券市场进行了对比，得出结论。从分析结
果中可以看出我国证券市场有典型的分形结构，但与美国证券市场相比，特
别是沪市具有更强的随机干扰，也就是说其趋势性较弱，这就可以从一定程
度上说明两个市场的投资者的投资目的显著不同。沪市具有一个典型的非循
环周期大约是10个月，与美国48个月相比很短。这就说明在沪市，今天价
格对以后价格的影响将在大约10个月后全部消化，而在美国这个过程需要
大约48个月。非周期循环在一定程度上反映了经济周期，同时也反映了宏
观政策的稳健性，从这个角度讲，我国的证券市场还有很多的工作去做。对
于深市，没有发现典型的非循环周期。这表明，在一定意义上沪市与深市的
协同性不好。这些分析都有助于我们去深入研究如何促进我国证券市场的健
康发展。
分形市场理论产生的实质是通过对现象的观测，对传统确定性假设提出
质疑，从而建立一套新的理论。在经典经济理论中，经济周期均衡理论和经
济总量波动的计量经济建模中，起主导作用的方法是假设稳态均衡是确定性
的并且是内在稳定的，因而在没有连续外生冲击时，经济系统将趋向一个稳
态的增长路径。而波动的存在和他们显著的在时间上的持久性则归因于各种
外生冲击。然而实际观察是，即使没有随机“冲击”的情形下，总量的波动
和其他复杂的动态经济现象仍能持续下去。因而表现出强烈的内生性。随着
观察和研究的不断深入，经济学家发现，没有任何一个经济理论或模型能够
不被修正。混沌动力学在市场经济理论中的兴起为我们提供了一种新的分析
工具，以思考由市场行为所驱使的经济的内生震荡现象。它促使我们重新审
视熟知的经济和金融时间序列，以及对这些经典统计的统计解释提出质疑。
这为我们研究非线性经济机制打开了新的视野。
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附录1：图表
图1．道．琼斯工业股票年收益概率分布
_．茸膏工tt-．1●-～l竹1年收t的_搴分布
来源：Edgar E Peters，Fractal Market Analysis
图2．科赫分形图
哆。蛐毋蛐≯哆蹦．
拶掣‘ 妒守
来源：弗里德里希·克拉戢，《混沌与秩序》
图3．道·琼斯指数分形走势
；饥I 、‰6 f
!I’洲N¨州：
来源：Edgar E．Peters，Chaos and Order in the Capital Markets second edition
图4．洛伦兹吸引子
来源：刘华杰，《分形艺术》电子版
5l
图5-S&P500R／S分析
来源：EdgarE Peters，FractalMarketAnalysis
表1．上证指数日收益统计
平均
标准误差
中值
标准偏差
样本方差
峰值
偏斜度
区域
最小值
最大值
求和
计数
0．0009
0．0005
0，0007
0 0293
0．0009
1 32．2451
5．9576
0．8982
一O．1791
0．7192
2．7233
3012
图6一上证指数收益分布(日)
————·———————————————。。，———————————“—。一—————————————’————————‘————————。’’——‘。。—————————————一
上证指数收益分布(日) 【
裁800 【鼙600L⋯
l —j
} 一1。一8 —6—4 —2 。2 4 6 8 1。12 1 4
I 标准差
表2一深证指数El收益统计
平均0．0005
标准误差0．0005
中值0．0003
标准偏差O．0251
样本方差0．0006
峰值13．4822
偏斜度0．8483
区域0．4611
最小值．0．1889
最大值0．2722
求和1．4213
计数2748
图7．深证指数收益分布(E1)
收益分布(日)
f嚣30吲氏jj ≤
一10—8—6-4—2 0 2 4 6 8 10 12 14
标准差
表3．上证指数RJS分析(日)
回归统计
Multiple
R 0．987436
R Square O．975031
标准误差0．097023
观测值76
方差分析
注：表中df表示自由度；ss表示残差平方和： MS表示修正残差平方和，下同
图8．上证指数刚S分析(日)
55
表4．深证指数PJS分析(日)
回归统计
Multiple R 0 996038
R Square 0．992092
标准误差0．059207
观测值69
查茎坌堑df SS MS F
回归分析1 29．46585 29．46585 8405．751
残差67 0．234864 0，003505
总计68 29．70072
Coefficients标准误差t Stat P-value
Interce}pt ．0，1 9232 0．04046 -4．75335 1．1 E一05
H 0．590284 0．006438 91．68288 3．75E-72
图9．深证指数PJ$分析(曰)
表5．上证指数R／S分析(5日)
回归统计
Multiple R O．985094
R Square O．97041
标准误差0．118125
婴型笪Z鱼
方差分析
图1 o．上证指数R／S分析(5日)
表6一深证指数P．JS分析(5日)
回归统计
Multiple R 0．992887
R Square 0．985824
标准误差0．087849
婴型篁塑
方差分析
图11-深证指数PJS分析(5日)
表7．上证指数R／S分析(30日)
回归统计
Multiple R
RSquare
标准误差
观测值
0．987248
0．974659
0．133701
75
方差分析
图12．上证指数R／S分析(30日)
表8一深证指数R／s分析(30目)
回归统计
Multiple R O 993568
R Square 0．9871 78
标准误差0．1 00479
塑型堡塑
方差分析
图13．深证指数R／S分析(30日)
图14．上证v统计(日)
{ t汪v统计(日)
2
l 5
》1
O 5
0
O 2 4 6 8
图16．上证V统计(5日)
图15-深证v统计(日)
图17-深证V统计(5日)
61
塞竺：垒圣(6)模型检验
回归统计
Multiple R
RSquare
标准误差
方差分析
0．099744
0．009949
0．02911
13n 0．000679 0．000532 1．275338 0．202288
13。0．070689 0．01 826 3．871232 0．0001”
&0．046282 0．018301 2．528948 0．01 1491
13，0．018535 0．018306 1．01251 0．311376
64 0．031696 0．0183 1．731997 0．083377
13；0．010164 0．018285 0．555903 0．578318
艮0．002138 0．018233 0．1 17262 0．90666
附录2
settalk off
USE XXX．dbf：'t
nn=2
ggg=l
dime zz(75。)
do whil nn<=1492。
coul3to aa
gotop
bb=1
dime xx(aa)
do whiI bb<=aa
xx(bb)=ln
skip
bb=bb+l
enddo
dd=int(aa／nn)
tt=1
ww=O
do whiI tt<=dd
ee=nn一1
f『-0
do whiI ee>=O
hhh=tt*nn—ee
Hurst指数计算程序清单
ff=ff+xx(hhh)
ee=ee一1
enddo
gg=ff／nn
hh=nn-1
ii=O
do whil hh>=O
iii=tt*nr3一hh
ii=ii+(xx(iii)一gg)“2
hh=hh一1
enddo
ss=(ii／nn)“0．5
dime yy(nn)
jj=l
do whil jj<=nn
II=0
kk=l
f阡=nn一1
do whil kk<=jj
II=ll+xx(tt*nn-ffO—gg
kk=kk+l
仟f-f阡-1
enddo
w(jj)=n
jj=jj*l
enddo
mm=2
VV=yy(1)
pp=yy(1)
do whiI mm<=nn
vv=max(vv,yy(mm))
pp=min(pp，yy(mm))
mm2mm+1
enddo
qq：(vv·pp)／ss
ww2ww+qq
tt=tt+1
enddo
zz(ggg)=ww／dd
nn=nn+20④
ggg=ggg+l
enddo
use
USE YYY．dbP
gotop
SSS=1
dO while sss<=75@
repl rs with ZZ(SSS)
skip
sss=sss+l
enddo
use
settalk on
注释；
①为指数逐日对数收益数据库；
②为(R，S)。计算中n的取值；
③，b(R／S)。计算中(M-1)，2取整后的数值
④为(R，S)。计算的步长；
⑤为(R／S)。计算生成后的数据库；
⑥含义同②。
附录3
R／S计算结果
30 750718 l 48 9'29875
基证r茸l 基话f5日1 基试nO日’
51 62371
74 61731
7S 8195
77582蛆
附录4：
上证综合指数
溜证指枯自期潦证指枯
伯9纠D5，曲
1∞2m1／16
1e92∞”
1902册甜1B
10跏2／17
1∞2m2J21
致谢
转眼间，就要离开武汉大学，离开美丽的珞珈山了。回想紧张而忙碌的
两年学习生活，感慨万千。对我来讲，离开工作岗位重新成为一名学子，是
非常不容易的，因此我对这个第二次学习的机会尤为珍惜。然而从工作到学
习需要一个过程，很幸运在这个时候遇到了我的导师韩国文副教授。韩老师
以他的才学、严谨的治学态度以及博大的胸怀深深地感染了我，使我受益匪
浅。在学习上他不断勉励并严格要求我，让我不能有一丝马虎，特别是在这
次毕业论文的写作过程中，为我提供了大量的文献资料并多次对论文进行了
认真的修改，令我十分感动；在生活上，他也给我很多的关怀，使我很快适
应了新的生活环境。在此，对韩老师给予我的关心和帮助表示万分的感谢!
同时两年来刘思跃老师、潘敏老师以及李元青老师等商学院研究生办公室的
各位老师对我的学习和生活也给予了很大的帮助，在此我也表示衷心的感
谢。同时我还要感谢所有同学以及家人给予我的关心、启迪和支持。
这两年的学习生活教会了我很多，我相信它必将影响我的一生i
韩海波
2 003年5月