对外经济贸易大学
硕士学位论文
论期权的Gamma风险管理
姓名：支彦
申请学位级别：硕士
专业：金融学
指导教师：门明
20050401
I
致 谢
本文的写作得到了我的导师门明教授的精心指导 在此致以诚挚的谢意并
衷心感谢门明教授三年来对我的悉心教导与帮助
感谢三年来各位任课老师给予的教导和同学们给予我的帮助
1
摘 要
期权是一种有效的风险管理工具 能够分散市场风险预测市场走势具有
独特的经济功能和较高的投资价值而期权本身也面临一定的风险
Gamma 风险是期权所特有的风险之一Gamma 值描述了期权价格和期权标
的资产价格之间关系曲线的曲率交易者通过构造Gamma 中性能够比较有效
地规避期权面临的市场风险本文通过对一套模拟数据分别进行Delta 套期保值
和Delta-Gamma 套期保值详细说明了Gamma 风险管理的原理和操作并通过
对比上述两种套期保值操作的结果证明了Gamma 风险管理的优势所在
我国在对期权进行了近十年的研究和试验之后 即将在市场上正式推出期权
交易本文对期权Gamma 风险管理的研究相信也能对未来实际中的期权交易
起到一定的参考作用
[关键字] Gamma 风险期权套期保值
Abstract
As a measure for risk management, Options are effective in diversifying market
risks and predicting market trends, economically powerful and valuable. Nevertheless,
it’s also faced with risks.
Gamma risk is one of the unique risks embodied in options. Gamma describes
the curvature of the relation between options’ prices and underlying assets’ prices. By
establishing gamma hedge, market risks faced by options can be evaded effectively.
This paper is devoted in explaining the principle and operation of gamma hedge and
proving the advantage of gamma risk management, by establishing Delta hedge and
Delta-Gamma hedge to a set of simulated data, and comparing results of the two kinds
of hedges.
After about 10 years’ research and trial, China is to launch options soon. I hope
the knowledge researched in this paper will be referable for the real options trading in
near future.
[Key words] Gamma risk, Options, Hedge
2
第一章 文献回顾
1 . 1 期权市场的发展
1 . 1 . 1 国际期权市场的发展状况
现代金融的开始正是以金融衍生工具蓬勃发展为标志的1973 年4 月
芝加哥期权交易所CBOE 开始交易第一次为交易者提供了交易有价证券标准
化合同选择权的机会同年5 月费雪布莱克Fisher Black 和米伦斯科
尔斯Myron Scholes 在政治经济杂志Journal of Political Economy
发表了评价期权的论文列出期权价格的定量计算方法这两件事被看作是现代
金融开始的标志金融衍生工具市场的出现为金融市场带来了崭新的内容金
融产品第一次使金融风险能以明确的方式得以规避从而使衍生产品在国际经济
领域里开始发挥着日益重要的作用
从1973 年第一个期权交易所进行期权交易以来在短短的30 多年时间里
期权从股票期权发展到了债券期权商品期权等几乎所有存在期货的基础市场
成为交易所交易和柜台交易衍生产品的重要组成部分
2000 年以来全球期权交易发展更为迅猛美国期货业协会National
Futures Association 的统计数据表明2001 年至2004 年全球期权的交易
量连续超过了期货交易期权市场呈现出良好的发展态势和前景全球有影响的
期权市场有芝加哥期权交易所欧洲期货交易所伦敦国际金融期货期权交易所
香港交易所韩国期货交易所等期权市场无论从品种上还是地域上都获得了长
足的发展2004 年从分资产的成交量统计表明股指利率股票与农产品的
期货与期权交易量排名靠前
1 . 1 . 2 期权在中国的发展状况
自1995 年开始中国已正式开始对期权进行研究和试验十年来中国在
期权市场方面进行了持续深入的研究并在期权制度体系建设期权市场需求开
发和期权技术系统设计等三方面有了实质性的进展
3
2005 年中国证监会已将商品期货期权的推出列入本年的工作计划目前
大连商品交易所对大豆期货期权郑州商品交易所对小麦期权以及上海期货交
易所对铜期权都已经完成了合约的设计此外从2001 年以来各商业银行
在中国金融市场上纷纷推出的外汇结构性投资产品已经具有期权的性质
观察中国推出期权交易的时机从市场条件来看推出期权交易主要是看期
货市场的交易规模活跃程度和成熟程度目前中国的3 家期货交易所――上海
期货交易所郑州商品交易所大连商品交易所――各自的市场规模已经跻身
全球前列而且经过近几年的快速发展市场明显成熟投资者对金融衍生品的
渴求与日俱增已经具备推出期货期权的市场条件
可以预见到中国金融市场推出期权后能为国内金融市场的成熟和发展起
到积极的促进作用能使期货市场体系得以延伸和健全使期货市场保值功能进
一步强化并能够助推金融工程发展广阔的套利市场
1 . 2 期权的定义及其风险分类
1 . 2 . 1 期权的定义
按照对一种金融工具的所有权的拥有时间不同可以将将金融工具分为三
类即期工具远期工具和期权工具
其中期权是指只有一方期权卖方有义务遵守交易合同而另一方期
权买方可以选择是否进行交易这样当交易对期权买方有利时买方就会完
成交易即执行期权否则就不会完成交易期权到期作废换言之所有的
远期合同从一开始就注定要最终进行未来的交易而期权合约中仅有一半那些
对期权买方有利的情况是要执行的而在最初时并不能知道哪些合约会最终执
行所以期权定价是金融领域最困难的问题之一因为它涉及到提前确定期权
双方之间的每一种可能的期值期权不仅受到所有远期合约风险因素的影响而
且受到任何未来事件变动可能性的影响总体来说如果未来的不确定性增大可
能发生的结果增多每种结果发生的概率减小期权价值就增大相反如果
未来的确定性增大可能发生的结果减少每种结果发生的概率增大期权价
值就减小因此期权价值与利率汇率等因素一样是随时间变化的
4
这种与未来的不确定性的直接联系 使期权具有与保险类似的性质需要注
意的是期权买方与卖方权利的不对称性尤其是从风险的角度来说如果期权到
期没有执行买方只是损失了期权权利金但如果执行了期权卖方可能会因为
执行交易而陷入重大财务困难在一般期权合约中没有对这种损失作出上限规
定
1 . 2 . 2 主要市场风险的分类
市场风险是金融工具或有价证券价值对市场参数变化的敏感性是金融风
险中的重要组成部分我们将金融工具大致分为即期远期和期权工具并将市
场风险大致分为利率类外汇类股权类和商品类在此基础上我们进一步将
金融工具按工具类型和风险类型进行划分如表1-1 所示
表1 - 1 金融工具的分类
风险类型
工具类型
利率类 汇率类 股权类 商品类
即期工具 基础货币现金 外汇现金 股票 不属于金融工具
远期工具 债券远期利率协议 外汇远期货币互换 一篮子股票远期合约 商品远期和期权
期权工具 互换期权债券互换 外汇期权 股指期权可转换债券 商品期权
即期工具对即期工具来说主要的风险是一定风险类型的即期市场发生大
的变动对于即期利率工具即基础货币形式的现金不存在任何市场风险因
为其他任何价值都是以这种工具的形式表示的
远期工具远期工具受到其标的资产的所有即期风险的影响而且还受到
收益曲线和其他金融因素变动的影响这些风险决定着同一种资产的即期价格和
远期价格的关系被统称为基本风险
期权工具期权工具的风险包括即期和远期工具的所有风险以及期权所特
有的风险――波动风险和曲率风险这两种风险对每种风险类型中的期权工具都
是相似的这些风险来自期权对可能出现的不同结果的独特的敏感性
期权风险管理中重重需要调查一种市场参数的波动性即不确定性与这种
市场参数基础上的期权价值之间的关系这种敏感性就是期权的波动风险称为
Vega 是期权所特有的一种风险
期权的另一种特有风险是曲率风险Curvature risk 称为Gamma
5
期权的曲率风险同样产生于期权对不确定性的敏感性 如果期权买方执行了期
权它就和相同期限的远期合约一样如果期权允许作废它就和根本没有头寸
是一样的所以期权对即期市场风险的敏感性是在它对相同的远期合约和敏感
性预计执行期权和零预计作废之间变动的可见当不确定性高时这
种变动度就大不确定性低时变动度就小上述市场风险列在表1-2 中
表1 - 2 期权市场风险的分类
风险类型
工具类型
利率类 汇率类 股权类 商品类
期权工具 互换期权债券互换 外汇期权 股指期权可转换债券 商品期权
面临的风险 波动风险/曲率风险波动风险/曲率风险波动风险/曲率风险波动风险/曲率风险
本文集中分析期权的曲率风险――即Gamma 风险
1 . 3 期权的G a m m a 风险管理
为叙述方便在以下内容中除有特殊说明之外所引用的期权均指欧式股
票看涨期权
1.3.1 期权的内在风险
期权的产生的初衷在于分散市场风险 以及预测市场走势但期权本身也面
临一定的风险
期权分为两种看涨期权Call Options 和看跌期权Put Options 期
权交易是一个零和博弈标的资产价值上升时看涨期权的买方获益同时卖方
受损而当标的资产价值下降时看跌期权的买方获益其卖方受损
以欧式看涨期权和欧式看跌期权的利润损失图像图1-1 为例来看裸露
期权头寸所面临的风险
6
执行价格 USD10.00 看涨期权费=USD1.66 看跌期权费=USD0.04
欧式看涨期权
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
标的资产的市场价格 (USD)
利润/损失
(USD)
买入看涨期权卖出看涨期权
欧式看跌期权
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
标的资产的市场价格(USD)
利润/损失
(USD)
买入看跌期权卖出看跌期权
图1 - 1 A 欧式看涨期权的利润/ 损失图像图 图1 - 1 B 欧式看跌期权的利润/ 损失图像
由图1-1A 可见当标的资产的价格上升幅度很大时看涨期权卖方的损失
将会很大同理如图1-1B 所示当标的资产的市场价格下跌幅度很大时看
跌期权卖方的损失也是很大的
为了避免期权交易中的市场风险或将不能接受的市场风险转化为可接受的
市场风险期权交易者们采用多种方法来对期权市场风险进行管理这些方法包
括裸期权头寸策略(naked p osition) 抵补期权头寸(covered position) 止
损策略stop-loss strategy 等
除此之外期权交易者们还使用一些更加复杂的保值策略其核心思想就是
通过保持期权Delta Gamma 和Vega 中性使有价证券组合分别对于标的资产
价格微小变动对于标的资产价格较大变动以及对于标的资产价格波动率变动
均不敏感以此来保证期权面临的风险在交易者的控制之下
本文将介绍处于Delta Gamma 和Vega 风险管理中承前启后地位的Gamma 风
险管理
1 . 3 . 2 期权的D E L T A G A M M A 和V E G A 值
期权价格受五个要素的影响标的资产价格执行价格无风险利率到期
时间以及波动性或标准差期权价格对一些基本变量变化的敏感性通常由
Delta Gamma Vega 等几个变量来描述
7
期权价格
B
股票价格
A
曲率 Gamma 斜率 Delta
图1 - 2 期权的D e l t a 和G a m m a
D e l t a
Delta 用于表示期权价格对标的资产价格变动的敏感性从数学角度看即
期权价格对于标的资产价格的一阶偏导数在图形上表现为期权价格与标的资产
价格关系曲线的斜率如图当股票价格对应于A 点期权价格对应于B 点该
看涨期权的Delta 为图1-2 中所示直线的斜率近似为(1.1)
S
c
D
D D
看涨期权的Delta 值1为/ ( ) (1.2) 1 C S N d c t t D = ¶ ¶ =
看跌期权的Delta 值为/ ( ) 1 (1.3) 1 D = ¶P ¶S = N d - p t t
期权组合Delta 值为D =å D (1.4) i i w
为第i种期权在整个期权组合中的数量i w
G a m m a
Gamma 用于表示期权价格对期权Delta 值变动的敏感性从数学角度看即
期权价格对于标的资产价格的二阶偏导数在图形上表现为期权价格与标的资产
价格关系曲线的曲率如图2-2 中曲线的曲率
看涨期权的Gamma 值为(1.5)
2
2
2
2 2
1
S T
e
S
C
t
d
t
t
c s p
-
=
¶
¶
G =
其中为标的资产的价格波动率,T 为期权距到期日的时间.
看跌期权的Gamma 值为(1.6) p c G = G
V e g a
1 ( )
( ) ( ) ( )
T
S X r T
N d e dx d
x
d
s
s
ps
s
m ln 2
2
1 2
1
2
1 0
2
2
1 + +
D = = =
- - ò 其中
8
Vega 描述期权价格对很小的波动率变化的反映波动率即方差或标准差
看涨期权的Vega 值为Vega '( ) (1.7) 1
S T1 / 2N d
C
t
t
c =
¶
¶
=
s
看跌期权的Vega值与看涨期权的Vega值完全相同(1.8) p c Vega =Vega
1 . 3 . 3 期权的G A M M A 风险
某种标的资产的衍生证券组合的Gamma, Ã, 定义为该组合的Delta 变化相对
于标的资产价格变化的比率在进行套期保值时期权价格与股票价格之间关系
曲线的曲度会在操作结果中引起误差Gamma 正是这个曲度的度量值
考虑某股票欧式看涨期权的期权价格与股票价格之间的关系曲线 Gamma 的
定义公式为
(1.9)
¶S
G ¶D
Gamma 的计算公式见公式2 1.5
当Gamma 绝对值小时Delta 变化缓慢当Gamma 绝对值较大时Delta 对
于标的资产价格的变化相当敏感此时在任意一段时间内若对一个Delta 中性
的有价证券组合不作调整将有很大的风险
如图1-3 所示当股票价格从S 上涨到S '时Delta中性保值法假设期权价
格从C 增加到C' 而实际上期权价格已从C 变到了C'' C 和C''之间的误差引起
保值误差保值误差大小取决于期权价格与股票价格之间关系曲线的曲度Gamma
度量了这个曲度
对所有买入的期权而言无论是看涨期权还是看跌期权其Gamma 值都为正
而对所有卖出期权而言其Gamma 值都为负Gamma 值为正说明该期权或含期
权的资产组合在波动较大的市场上能表现良好但在较为平稳的市场上的表现却
2
对于不付红利股票的欧式看涨期权或看跌期权的Gamma 值为
Ss T
N'(d ) G 1
其中( ) ( ) ( ) 2
2
1
2
2
1
'
ln 2 N X e X
T
S X r T
d = -
+ +
=
s p
s
故该公式可简化为
S T
e d
s 2p
2 2
- 1
G
9
不会太好 如果Gamma 值为负则情况恰恰相反Gamma 绝对值较高表明时间
作用很强该期权的Delta 值变动较快
看涨期权价格
C"
C'
C
股票价格
S S'
图 1 - 3 D e l t a 对冲的误差图示
通常期权交易者们在分析资产组合的总Gamma 值时通常并不将标的资产
不同的期权合并在一起进行分析最多只将相关性较强的资产放在一起来考虑所
有的Gamma 值collective gamma measures
DP DP
DS DS
较小正值的G a m m a 较大正值的G a m m a
DP DP
DS DS
较小负值的G a m m a 较大负值的G a m m a
图1 - 4 D e l t a 中性的组合中和S 之间的几种关系特性图
假设DS 是在小的时间段Dt内标的资产价格的变化DP是相应的资产组合
的价格变化如果忽略比Dt高阶的项如Dt 2等根据证券组合价值变化的台劳
10
展开3可知对于Delta 中性的证券组合
(1.10)
2
1 2 DP QDt + GDS
这里是资产组合的Theta 值图2-4 表明了DP和DS 之间的关系特性
当为正值时通常为负值如果S 的值不变的话该组合价值将减小但
是如果S 的值有较大正值方向或负值方向的变化则该组合的价值都会增加
当Gamma 为负值时以上的情况则相反如果S 的值不变的话该组合价值将增
加但是如果S 的值有较大正值方向或负值方向的变化则该组合的价值都会
减少随着Gamma 绝对值的增加资产组合价值对于S 的敏感性也增加
1 . 3 . 4 构造资产组合的G A M M A 中性
资产组合的Gamma 中性是指资产组合的Gamma 值为0 由于标的资产头寸或
标的资产期货合约头寸的Gamma 值为0 因此金融机构改变其资产组合的Gamma
值的唯一办法就是持有某个可交易期权的头寸假设某种Delta 中性的资产组合
的Gamma 值等于某个可交易期权的Gamma 等于T G 如果加入到原资产组合
中的可交易期权的数量是T 则总组合的Gamma 是
(1.11) T G +G T w
要使资产组合的Gamma 中性化则可交易期权的头寸应为T G G
但是加入可交易期权肯定会改变原组合的Delta 值所以为了保持总的
Delta 中性还需要调整标的资产或基于该标的资产的期货合约的头寸应
该注意到总组合只是瞬间Gamma 中性随时间的前进只有不断调整可交易期
权头寸并使得该交易头寸总是等于T G G Gamma 中性才可维持
通常构造Gamma 中性与构造Delta 中性相结合进行称为构造Delta Gamma
中性更进一步的还有构造Delta-Gamma-Vega 中性其进行步骤分别如下所示
构造D e l t a - G a m m a 中性
即通过操作使得Delta 和Gamma 值都为0 首先构造资产组合的Delta 值
3
D D +K
¶ ¶
¶ P
D +
¶
¶ P
D +
¶
¶ P
D +
¶
¶P
D +
¶
¶P
DP S t
S t
t
t
S
S
t
t
S
S
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1 其中DP和DS 是在小时间间隔Dt内资产组
合价格和标的资产价格的变化Delta 对冲消掉了右边第一项第二项不是随机变量忽略第三项以后更高阶
的Dt时得到方程(1.14)
11
为 0 然后构造该资产组合的Gamma 值为0 构造Gamma 中性的同时Delta
中性被破坏因而需要对该组合再次构造Delta 中性
构造D e l t a - G a m m a - V e g a 中性
即通过操作使得Delta Gamma 和Vega 值都为0
Gamma 中性的资产组合一般来说并不是Vega 中性的反之亦然因此要
达到Delta-Gamma-Vega 中性至少要使用两种基于该标的资产的可交易期权
第二章 期权G a m m a 风险管理的数据演示
2 . 1 样本数据4 及假设
初始持有头寸状况
一名交易者以13.5512USD 的Black-Scholes 价格卖出1,000 份美国在线股
票的六月125 看涨期权AOL June 125 Call,简称期权1 该期权的执行价格p1 X
为125 美元0 时刻的Delta 值p1 D 为0.5692,Gamma 值p1 G 为0.0121 当前距离
该期权的到期日还有35 天,即T 35/365 0.0959 年
现在AOL 每股价格S 为125.9375USD 该股票的波动率s为0.83
无风险年利率计连续复利r 为4.46%
可供使用的金融工具
AOL 股票 该股票从当前至期权1 到期日的35 天内每天的收盘价S 如表2-1
所示股票波动率s为0.83
另一只标的资产为AOL 股票的六月份看涨期权June 130 Call 简称期权2
执行价格p 2 X 为130 美元B-S 价格p2 P 为11.3772 Delta 值p 2 D 为0.5086 Gamma
值p 2 G 为0.0123
第三只标的资产为AOL 股票的六月份看涨期权简称期权3
表2 - 1 A O L 股票在期权1 到期前3 5 天内的价格
4数据来源An Introduction to Derivatives and Risk Management Fifth Edition Don M.Chance
South-Western Thomson Learning 2001
11
为 0 然后构造该资产组合的Gamma 值为0 构造Gamma 中性的同时Delta
中性被破坏因而需要对该组合再次构造Delta 中性
构造D e l t a - G a m m a - V e g a 中性
即通过操作使得Delta Gamma 和Vega 值都为0
Gamma 中性的资产组合一般来说并不是Vega 中性的反之亦然因此要
达到Delta-Gamma-Vega 中性至少要使用两种基于该标的资产的可交易期权
第二章 期权G a m m a 风险管理的数据演示
2 . 1 样本数据4 及假设
初始持有头寸状况
一名交易者以13.5512USD 的Black-Scholes 价格卖出1,000 份美国在线股
票的六月125 看涨期权AOL June 125 Call,简称期权1 该期权的执行价格p1 X
为125 美元0 时刻的Delta 值p1 D 为0.5692,Gamma 值p1 G 为0.0121 当前距离
该期权的到期日还有35 天,即T 35/365 0.0959 年
现在AOL 每股价格S 为125.9375USD 该股票的波动率s为0.83
无风险年利率计连续复利r 为4.46%
可供使用的金融工具
AOL 股票 该股票从当前至期权1 到期日的35 天内每天的收盘价S 如表2-1
所示股票波动率s为0.83
另一只标的资产为AOL 股票的六月份看涨期权June 130 Call 简称期权2
执行价格p 2 X 为130 美元B-S 价格p2 P 为11.3772 Delta 值p 2 D 为0.5086 Gamma
值p 2 G 为0.0123
第三只标的资产为AOL 股票的六月份看涨期权简称期权3
表2 - 1 A O L 股票在期权1 到期前3 5 天内的价格
4数据来源An Introduction to Derivatives and Risk Management Fifth Edition Don M.Chance
South-Western Thomson Learning 2001
12
金额单位 美元
日期 股价 日期 股价 日期 股价
0 125.9375 12 119.6200 24 122.9043
1 120.5442 13 124.3584 25 125.1344
2 106.9722 14 124.9330 26 126.3644
3 123.3607 15 116.3448 27 122.2297
4 131.1649 16 115.3336 28 129.5167
5 129.3992 17 117.7314 29 130.3376
6 119.6825 18 130.8900 30 127.6884
7 112.0550 19 127.6654 31 125.9571
8 121.4849 20 124.1370 32 131.3736
9 120.7170 21 121.2598 33 119.3439
10 124.8160 22 123.5827 34 122.4398
11 118.7513 23 121.9328 35 122.8380
假设
假设初始头寸的持有时间为从0 时点一直到35 天后的到期日
由于交易不可能无间隙地进行假设套期保值操作在每天结束时进行一次
假设AOL 股票没有分红
2 . 2 构造D e l t a 中性
2 . 2 . 1 操作原理
构造资产组合的Delta 中性即通过操作使得该资产组合的Delta 值为0:
0 1,2,..., (2.1)
1
w i n
n
i
portfolio i i = = D = D å
=
i w 为第i 种资产的数量i D 为第i 种资产的单位Delta 值
以2.1 节中的样本数据为例要使该资产组合达到Delta 中性应有
0 (2.2) 1 1 D + D = s s p p w w
需要注意到任何股票的Delta 值均为1 且期权的Delta 值p1 D 随着标的
资产价格的变化和距离到期日时间的缩短而变化按照公式(1.2)计算
对期权价格的计算采用Black-Scholes 模型进行即对欧式看涨期权而言
其价格
13
( ) ( ) 2.3 1 2 c S N d Xe N d = - -rT
其中
( ) ( )
( ) ( )
为距期权到期日的剩余时间
为无风险利率
为标的资产价格波动的标准差
为期权的执行价格
为标的资产价格本例中为股票价格
分别是和的正态分布累计
T
r
X
S
N d N d d d
d d T
T
S X r T
d
s
s
s
s
1 2 1 2
2 1
2
1
,
ln / / 2
= -
+ +
=
2 . 2 . 2 计算结果
计算操作及其结果在附录1 Delta 套期保值表中显示对计算过程解
释如下
初始0 时点
头寸,期权价格套期保值操作所需标的资产的份数
初始头寸为卖出1,000 份AOL 股票125 看涨期权期权1 距离到期日有
35 天期权1 的Delta 值为0.5692 因而为进行Delta 套期保值需购买标
的资产的份数即AOL 股票份数用方程(2.2)计算解得
569
1
1 1 0.5692 1,000 = - ´ »
D
D
= -
s
p p
s
w
w
套期保值操作资产组合价值
根据上述的计算以0 时点价格125.9375 美元买入569 股AOL 股票
根据Black Scholes 模型使用公式2.3 计算该期权的价格为13.5512
美元这样在0 时点该资产组合目前由卖出1,000 份期权1 以及买入569
份AOL 股票组成中投入的资金总额即资产组合的价值为
( )
1,000 13.5512 569 125.9375 58,107美元
2.4 1 1 1
= - ´ + ´ =
P = + p p s p w P w P
第一天结束时(时点1)
14
期权Delta 值
第一天结束时AOL 股票的收盘价S 为120.5442 美元此时距离期权1 的
到期日剩34 天以年计T = 34 / 365 = 0.0932年期权1 的Delta 值
( ) 0.4999 1 1 D = N d = p
期权价格资产组合和的实际价值和目标价值资产组合Delta 值
经计算期权1 的B-S 价格10.4781 1 = p P
此时资产组合的实际价值为
1,000 10.4781 569 120.5442 58,112美元1 1 P = w P + w S = - ´ + ´ = a p p s
根据公式1.4 资产组合的Delta 值为
1,000 0.5692 569 1 0.1541 1 1 D = D + D = - ´ + ´ = - portfolio p p s s w w
Delta 值不为0 的原因是进行套期保值操作而交易的股票数目只能是整数
资产组合的目标价值为
1 / 365 58,107 0.0446 1/ 365 58,114美元
0 P = P er´ = ´ e ´ =
套期保值操作所需标的资产的份数
根据上述数据计算需要用以进行Delta 套期保值的股票数量s w 根据公式
2.1
0 1,000 0.4999 1 0 500 1 1 D + D = Þ - ´ + ´ = Þ = p p s s s s w w w w
现已持有569 股故需卖出69 股第一天股票收盘价S = 120.5442美元故
卖出股票得到的现金流入为w S = 69´120.5442 » 8,318美元s 这部分资金用于投
资无风险债券购入价值为8,318 美元的无风险债券
第二天结束时 (时点2)
期权Delta 值
AOL 股票价格S 下降到106.9722 美元T = 32 365 » 0.0904 从而期权1 的
Delta 值p1 D 变动至0.3145
期权价格资产组合和的实际价值和目标价值资产组合Delta 值
期权1 价格p1 P 下降到4.7757 美元所持无风险债券的价值为
15
V e r´(1 365) = 8,318´ e 0.0446/ 365 = 8,319
bond
资产组合由卖出1000 份期权1 持有500 份AOL 股票及相应无风险债券
组成实际价值
1,000 4.7757 500 106.9772 8,319 57,029美元1 1 P = + + = - ´ + ´ + = a p p s s bond w P w S V
目标价值2 / 365 58,107 0.0446 2 / 365 58,121美元
0 P = P ´ er´ = ´ e ´ =
t t
实际价值比目标价值低大约1,078 美元
期权1 到期时时点35
按照上述模式每天进行Delta 套期保值计算和操作在第35 天期权到期日
时期权的价格应该等于标的资产价格S 和其执行价格X 之差但是在实际操
作中此时的期权不可能再有交易因而此处将期权的价格简化地取作0
则此时该资产组合的实际价值a P 56,549 美元比目标价值t P 58,356
美元低约1,807 美元,这个差值即投资损失由此可见Delta 套期保值操作并
不能达到完美的套期保值效果
造成这种套期保值误差的原因是操作的非连续性和期权价格与标的资产价
格之间的非线性关系完美Delta 套期保值的存在须以两个假设为前提一是能
够不间断地进行套期保值操作二是标的资产价格即股价的变动非常小
Delta 套期保值操作在标的资产价格变动非常微小的情况下可以达到较好的效
果
在股价变动幅度较大的情况下以及在交易不能够十分频繁进行的情况下
在考虑Delta 的基础上进一步考虑Gamma 造成的影响能够更加准确地管理期权
面临的市场风险
2 . 3 构造D e l t a - G a m m a 中性
2 . 3 . 1 操作原理
构造资产组合的Delta-Gamma 中性即通过操作使得该资产组合的Delta 值
和Gamma 值同时为0 即
16
1,2, , (2.5)
0
0
1
1 i n
w
w
n
i
portfolio i i
n
i
portfolio i i
= L
ï ïî
ï ïí
ì
G = G =
D = D =
å
å
=
=
股票不具有Gamma 风险因此要冲抵期权1 的Gamma 风险必须使用另一
种具有同一标的资产的期权来进行套期保值本例中能够用以进行套期保值的期
权如2.1 中所示是另一只六月份到期的AOL 股票看涨期权简称期权2
以样本数据为例为使该资产组合达到Delta-Gamma 中性应有
0 (2.6)
0
1 1 2 2
1 1 2 2
ïî
ïí ì
G + + G =
D + D + D =
p p p p
p p s s p p
w w
w w w
其中
该资产组合中看涨期权期权的数量
该资产组合中看涨期权期权的数量
在该资产组合中股票的数量
: A J 130 ( 2)
: A J 125 ( 1)
: AOL
2
1
w OL une
w OL une
w
p
p
s
看涨期权期权的值
看涨期权期权的值
看涨期权期权的值
看涨期权期权的值
股票的值为
AOL June Gamma
AOL June Gamma
AOL June Delta
AOL June Delta
AOL elta
p
p
p
p
s
: 130 ( 2)
: 125 ( 1)
: 130 ( 2)
: 125 ( 1)
: D , 1
2
1
2
1
G
G
D
D
D
由方程组(2.6)可推出
( )
( )
ïî
ïí
ì
= - D + D
G
G
= -
2.7
1 1 2 2
2
1 1
2
s p p p p
p
p p
p
w w w
w
w
2 . 3 . 2 计算结果
套期保值所需计算操作及结果在附录2 Delta-Gamma 套期保值计算表
中显示对计算过程说明如下
初始0 时点
头寸,期权价格套期保值操作所需AOL 股票份数和期权2 份数
初始头寸为卖出1,000 份AOL 股票125 看涨期权期权1
为同时达到Delta 中性和Gamma 中性需购买或卖出AOL 股票份数s w 和期
17
权 2 的份数p2 w 用方程组(2.7)计算解得» 68 s w 985 2 » p w
套期保值操作资产组合价值
根据中的计算以0 时点价格125.9375 美元买入68 股AOL 股票以11.3772
美元的价格买入985 份期权2 根据Black Scholes 模型计算期权1 价格为
13.5512 美元
该资产组合目前由卖出1 000 份期权1 买入68 份AOL 股票及买入985 份
期权2 组成中投入的资金总额即资产组合的价值为6 219 美元
第一天结束时(时点1)
期权Delta 值和Gamma 值
此时AOL 股票的收盘价S 为120.5442 美元距离期权1 的到期日34 天
T = 34 / 365 = 0.0932年
期权1 ( ) 0.4999 1 1 D = N d = p 期权2 ( ) 0.3999 2 1 D = N d = p 根据公式1.13
计算 0.0131 1 G = p 0.0129 2 G = p
期权价格资产组合的实际价值和目标价值资产组合的Delta 值和Gamma
值
根据Black-Scholes 模型期权1 价格10.4781 1 = p P 美元期权2 价格为
8.6345 美元
故资产组合实际价值为6,224 美元资产组合的目标价值为6,220 美元资
产组合Delta 值为0.0956 资产组合Gamma 值为0.0155
造成资产组合的Delta 值和Gamma 值不为0 的一个重要原因是进行套期保
值操作而交易的AOL 股票数目和期权2 的数目都只能是整数
套期保值操作所需AOL 股票份数和期权2 的份数
根据方程组(2.7)及中所得数据计算需要用以进行Delta-Gamma 套期保
值的股票数量56 s w 和期权2 的数量1,012 p 2 w 现已持有68 股AOL 股票985
份期权2 故需卖出12 股股票买入27 份期权2
当天股票收盘价S = 120.5442美元期权2 的价格为8.6345 美元故卖出股
票和买入期权2 的净现金流入为1,213 美元这部分资金用于购入价值1,213 美
18
元的无风险债券
第二天结束时 (时点2)
期权Delta 值和Gamma 值
AOL 股票价格S 下降到106.9722 美元T = 32 365 » 0.0904 从而p1 D 变动
至0.3145, p 2 D 变动至0.2610 p1 G 变动至0.0133 p 2 G 变动至0.0122
期权价格资产组合的实际价值和目标价值
p1 P 下降到4.7757 美元p2 P 下降到3.7364 美元
资产组合实际价值6,210 美元资产组合目标价值6,241 美元
资产组合的Delta 值和Gamma 值
资产组合Delta 值portfolio D 为8.6682 资产组合Gamma 值portfolio G 为-0.0035
所持无风险债券的价值为V e r´(1 365) = 1,213´ e0.0446/ 365 = 2,589
bond 美元
资产组合现由卖出1000 份期权1 持有56 份AOL 股票1012 份期权2 及
相应无风险债券组成其实际价值P = 6,210美元a 目标价值P = 6,241美元t
实际价值比目标价值低大约31 美元
期权1 到期时时点35
按照这个模式每天进行Delta-Gamma 套期保值计算和操作到了第35 天结
束时即期权1 的到期日
期权Delta 值和Gamma 值
期权的Delta 值p1 D p 2 D 0 Gamma 值p1 G p 2 G +
期权价格资产组合的实际价值和目标价值
同样在期权到期日期权的价格应该等于标的资产价格和其执行价格之差
这里我们仍然采用Delta 套期保值中的方法简化地将期权此时的价格取为0
p1 P p2 P 0
资产组合实际价值等于6,594 美元资产组合目标价值为6,266 美元相差
329 美元由于与Delta 套期保值相同的原因Delta-Gamma 套期保值操作仍然
不能达到完美的套期保值效果但是由于更为精确的计算该套期保值方案所
需投入的资金比Delta 套期保值方案所需资金少而且其投资损失相比于在
19
Delta 套期保值下要小很多
资产组合的Delta 值和Gamma 值
资产组合Delta 值为0 Gamma 值为+ ¥
2 . 3 . 3 与构造D E L T A 中性对比操作效果
可以看到Delta-Gamma 套期保值操作使得在期权1 到期时资产组合的实
际价值比目标价值低348 美元这个差值小于Delta 套期保值操作中的差值
1,807 美元直观的印象即考虑了Gamma 中性因素后投资损失将降低很大幅度
Delta-Gamma 套期保值的较优结果源于Gamma 中性考虑了期权价格和其标
的资产价格之间非线性关系――曲线――的曲率Delta 套期保值将期权价格和
标的资产价格间的关系近似地看作直线从而导致了较大的误差参看图1-3
Delta-Gamma 套期保值则在此基础上进一步考虑到曲线关系的曲率从而最大程
度地规避了期权价格和标的资产价格关系近似性假设所带来的误差剩余的风险
主要来源于交易中股票和期权都必须整份买卖不能分割进行交易
2 . 4 构造D e l t a - G a m m a - V e g a 中性的简介
2 . 4 . 1 操作原理
构造Delta-Gamma-Vega 中性即要使资产组合的Delta 值Gamma 值和
Vega 值都为0
1,2, , (2.9)
0
0
0
1
1
1
i n
Vega wVega
w
w
n
i
portfolio i i
n
i
portfolio i i
n
i
portfolio i i
= L
ï ï ï
î
ï ï ï
í
ì
= =
G = G =
D = D =
å
å
å
=
=
=
i Vega 为第i 种资产Vega 值股票不具有Vega 值
由于一种Gamma 中性的资产组合通常并不是Vega 中性的反之亦然因此
若要通过套期保值使该组合达到Delta-Gamma-Vega 中性除使用标的资产外
还至少要使用另外两种基于该标的资产的期权
20
在本例中 即
(2.10)
0
0
0
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
ï ï
î
ï ï
í
ì
+ + =
G + G + G =
D + + D + D =
p p p p p p
p p p p p p
p p s p p p p
w Vega w Vega w Vega
w w w
w w w w
2 . 4 . 2 操作效果预期
正如Delta-Gamma 套期保值后资产组合的风险暴露小于Delta 套期保值后资
产组合的风险暴露一样Delta-Gamma-Vega 套期保值后的风险暴露必定小于
Delta-Gamma 套期保值后的风险暴露即再到期日资产组合目标价值和实际
价值之间的差值应该更小即在到期日资产组合目标价值和实际价值之间的
差值应该更小
这个问题更多的涉及Vega 风险的探讨在本文不作赘述
第三章 结论
3 . 1 G a m m a 风险管理的优势
考虑期权的Delta Gamma 和Vega 风险并通过买卖其标的资产或同一标
的资产的另一种甚至两种期权以构造相应的中性状态其目的都是为规避持有
期权头寸所面临的价值波动风险只不过考虑的方面不同
Delta 风险着眼于期权价格波动与其标的资产价格波动之间的关系将这一
关系近似的看作线性正相关从而通过买卖标的资产使资产组合Delta 值为0
以规避原期权头寸的Delta 风险
然而期权价格及其标的资产的真实关系并非严格的线形正相关以标的资
产价格为X 轴期权价格为Y 轴二者之间的关系是一条斜向右上方的下凸弧线
因此只有在标的资产价格变动幅度比较小的情况下也即期权价格和标的资产
价格间的关系近似于线形时构造Delta 中性才可能达到好的值变化之间风险规
避效果
在标的资产价格变动幅度较大的情况下表示期权价格和标的资产价格之间
21
关系的曲线的弧度比较明显 Delta 套期保值的弱点更加凸显
Gamma 正是用于度量期权价格变化与其Delta 值变化之间的关系从上述坐
标中看Gamma 是该关系曲线的曲率在考虑Delta 中性的同时考虑Gamma 中性
套期保值计算更为精确从而使得风险规避的效果更好由于Gamma 风险是期权
特有的风险因此在构造Gamma 中性时必须采用另一种具有相同标的资产的
期权才能达到Gamma 值的对冲效果Offsetting effect
第二章中的模拟计算显示无论进行何种套期保值操在期权到期日该资
产组合的实际价值与目标价值之间必定会存在差距在仅构造Delta 中性时这
个差距比较大而构造Delta-Gamma 中性时这个差值则降低很多这也就证明
了考虑Gamma 中性在期权风险管理中的优势
Gamma 中性校正的是对冲进行再调整期间的时间损耗而Vega 中性校正的
是波动率的变化Vega 描述了一种市场参数的波动性即不确定性与这种
市场参数基础上的期权价值之间的关系同时考虑资产组合的Delta Gamma,和
Vega 中性即构造Delta-Gamma-Vega 中性能够收到比构造Delta-Gamma 中性
更好的套期保值效果
3 . 2 构造G a m m a 中性的操作成本
需要注意到要达到完美的Gamma 套期保值效果不但要求能够将标的资产
和期权分割后进行交易还要求能够连续进行套期保值操作
分割标的资产和期权进行交易是不可行的而无间隙地进行套期保值操作以
保持资产组合的Delta 中性和Gamma 中性也无法在现实操作中达到唯一可实施
的近似方案就是尽可能地将每两次相邻套期保值操作的间隙缩短如本文中在
每个工作日结束时进行调整然而频繁的操作意味着更多的交易费用和计算量
因此在现实操作中还应该尽可能的在市场风险规避效果和投入的操作成本之
间达到一个合理的平衡
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觅25页
24
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对外经济贸易大学
论期权的Gamma 风险管理
硕士学位论文开题报告
国际经济贸易学院
金融学专业
指导教师门 明 教授
作者支 彦
2 0 0 4 年1 0 月
摘 要
期权的产生源于利用其对金融风险进行规避的初衷但其自身特性也蕴藏着各种风险本文按照当
前金融机构风险管理实务的一般模式针对期权资产组合内在的价格风险从Gamma 风险角度对其测
度套期保值以及及风险管理操作带来的影响等方面进行探讨结合实际数据进行实证分析并采用采
用情景分析方法对可能的交易环境作出估计提出相应的风险控制方法
关键词Gamma 风险 风险管理 情景分析
论文目录
第1 章 衍生工具管理概述
1.1 风险管理的发展
1 . 1 . 1 全球金融市场上风险管理的发展状况
本世纪70 年代以来在国际金融业长足发展的同时重大隐患也日益增多随着现代通讯传播
手段的迅速发展金融活动中人的有限理性和信息的不完备性问题更加突出从而使金融风险具有
了更大的不确定性更强的扩散性隐蔽性和突发性强化风险管理已经成为不容忽视的问题金
融风险不可能被消除只能被管理现代风险管理理论主要剖析风险的累积聚集形成背景分析
风险价值运用极限测试等各种方法和工具测量风险选择风险管理的信息类型和结构分析风险
管理的人员配置和组织体系建立建立数据有效性和方法有效性的保障机制
1 . 1 . 2 我国风险管理的发展状况
1 . 2 风险管理的内容和主要方法
企业整体风险管理的结构金融工具的分类及主要市场风险的分类衡量市场风险的工具
包括构造有效的工具来衡量特定企业的市场风险如极限测试风险价值和情景分析三种工具
第2 章 期权的G a m m a 风险
2 . 1 期权的内在风险
2 . 2 期权的G a m m a 风险
2 . 2 . 1 G a m m a 风险的定义
某种基础资产的衍生证券的组合Gamma, Ã, 定义为该组合的Delta 变化相对于基础资产价格
变化的比率在进行套期保值时所不可避免的误差大小取决于期权价格与股票价格之间关系曲线的
曲度Gamma 度量了这个曲度
2 . 2 . 2 G a m m a 风险的计算
如何计算Gamma 包括基于不付红利股票的欧式看涨期权或看跌期权的Gamma 值支付连续
红利的股票指数的欧式看涨期权或看跌期权的Gamma 值
2 . 2 . 3 构造G a m m a 中性
通过保持Gamma 接近于0 可使有价证券组合对于基础资产价格较大变动不敏感如何构造组
合证券的Gamma 中性在加入可交易期权之后肯定会改变原组合的Delta 值故为保持总的Delta
中性还需要调整基础资产同时要注意到总组合只是瞬间Gamma 中性,需要不断调整可交易期
权头寸才能维持Gamma 中性
2 . 2 . 4 利用其它工具进行套期保值
简要介绍构造合成期权利用指数期货等套期保值方法
第3 章 案例研究
3 . 1 数据来源
从国内外相关出版物上搜集一套合适的数据用于实证分析该数据应该包括详细的头寸状
况与市场信息以利于进行准确的风险测度和套期保值操作以及此后情景分析中进行条件估计的
需要
3 . 2 既有状况下的G a m m a 风险测度和套期保值操作
根据上述风险测度和控制技术为既有数据设计风险管理主要程序从Gamma 风险角度进行
操作包括构造Gamma 中性构造后为保持总的Delta 中性对基础资产进行调整以及设计合理
的时间安排不断调整可交易期权头寸以维持Gamma 中性
3 . 3 情景分析
实际操作中如果为保持Gamma 中性而进行频繁的调整将带来相当昂贵的交易费用所
以交易者们更多的将注意力集中在评估衍生工具的这些风险并决定是否可以接受这种风险而
不是试图消除一切风险
情景分析包括计算某个指定时期各种不同情景情况下证券组合的损益本节根据对现实经济
环境的分析估计情景状况并对不同情景状况采用相应的套期保值方法考虑非完全市场下的套
期保值方法
第4 章 结论
对期权Gamma 风险管理实务的建议包括在情景分析中作参数估计所应注意的方面等
引言和文献回顾
风险管理是金融机构管理中的重要组成部分 信用风险价格风险清算风险流动性风险操作
风险和法律风险等都是金融市场交易中所必须考虑的问题在近十几年来风险管理的重要性愈发突
出这主要源于20 世纪70 年代中期以来国际金融活动的增加使得金融市场的波动加大以及90年代初
以来场外交易的迅猛发展带来的许多场内交易工具所没有的风险这些因素都使得对衍生工具的需求急
剧增长
衍生工具作为一种有效的风险管理工具 被普遍地用于配合各种金融交易以规避该交易面临的风
险而衍生工具本身也具有内在风险并且需要特定的测度方式和相应的套期保值方式对其进行度量
和控制
衍生工具的价格风险是其主要风险之一可从多个度量角度对价格风险进行度量如Delta
Theta Gamma 和Vega 等当前运用广泛的VaR 方法以及在此基础上改进的Conditional VaR 方法
等本文选取衍生工具的Gamma 风险进行研究分别从Gamma 风险的定义测度以及基本套期保值方法
进行说明通过选取一套现实数据进行Gamma 风险测度运用情景分析方法根据现实市场信息估计
未来不同的可能状况并针对不同的可能状况提出相应的套期保值策略
目前研究如何利用衍生工具规避风险的论文很多但专门研究衍生工具内在风险测度和控制的论文
相对较少本文力图从衍生工具价格风险中Gamma 风险角度入手通过细致的分析对衍生工具内在风
险管理方式进行较为深入的了解
涉及衍生工具Gamma 风险的著作有John C. Hull 的 Options, Futures, and Other Derivatives
Lawrence Galitz 的 Financial Engineering Options, Futures, and Other Derivatives 一书对
Gamma 方法进行了深入浅出的数理分析Financial Engineering 一书则通过风险图表和实例对该风险测
度和规避方法进行介绍在阅读了这两本书之后对衍生工具领域通行的价格风险管理方法已经有了基
本了解中国金融出版社翻译出版的风险管理实务则对金融机构风险管理的方法包括极限测试
风险暴露和情景分析等进行了全景式的纲要性介绍这些重要的基础概念给本文提供了研究的框架
使本文得以按照当前金融机构进行风险管理的基本方式选取衍生工具Gamma 风险作为研究点运用风
险管理常用的情景分析方法进行分析
研究方法
一 理论分析方法
本文从基本理论研究入手重视理论分析以当前大型跨国金融机构的风险管理理论为指导构造
本文的风险管理流程框架在理论的框架中选取Ã 风险为重点进行分析
二模型分析方法
在对金融衍生工具Gamma 风险管理方式进行论证时主要运用数理分析工具进行推导和演算并结
合图表进行说明
三实证分析方法
论文运用当前国际通行的衍生工具风险测度和规避方法选取现实数据进行实证研究总结分析过
程中的问题及经验
四比较分析方法
论文通过对国外Gamma 风险管理理论进行研究分析与自己获取的实际数据作分析后进行比较也
对实际数据在进行Gamma 风险控制前后的风险测度值进行对比总结风险管理的效果
预期结果及其涵义
Gamma 风险测度和套期保值方法是已在发达金融市场上由实践经验证明行之有效的风险管理技术在
实际运用中必需在风险管理理论的指导下结合现实市场情况进行细致的分析尤其值得注意的是
这种风险管理技术是在假设市场完全的前提下提出的而现实中的金融市场尽管已经接近Semi-strong
Efficient Market Hypothesis 可以看作近似完全的市场但在大多数情况下仍然显露出非完全市场的
特征因此在对实际数据运用完全市场前提下的风险管理技术必定会与预期结果有一定偏差比
如并不能够完全消除风险仍然留有一定的剩余风险
从这样的非完全市场数据分析中发现问题提出解决方案正是在我国当前金融市场发展中所应该
关注的具有现实应用意义
风险管理并不是消除风险而是将不能接受的风险转变为可以接受的风险风险管理不能将原有的
风险完全转化必定会有一些遗留风险管理者所要做的就是搜集尽量全面的信息去伪存真去粗
取精在此基础上运用风险管理技术尽可能的将不能接受的风险转变为可以接受的风险尽可能的减
少剩余风险
参考文献
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