南京理工大学
硕士学位论文
拟凸风险测度的表示定理及其性质
姓名：侯玢
申请学位级别：硕士
专业：金融学
指导教师：赵培标
20100623
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
摘要
金融风险管理是现代金融理论的三大支柱之一，而风险管理的基础工作是运用金融
风险测度对风险进行度量，本文在已有的一致风险测度和凸风险测度的理论基础之上进
行了更深层次的研究，即构建并探讨了拟凸风险测度的基本特性。
首先，作为预备知识，总结了一致风险测度和凸风险测度的可接受集、对偶表示定
理和罚函数的表达形式。
由此，本文开展了以下一些具体研究：给出了CVaR(conditional value at risk)
的一个推广，记为GCVaR，使得它是凸风险测度，并给出了它的罚函数的具体表达式；
给出了基于熵的一种凸风险测度，讨论了对于其中权重∥的不同选择，这种凸风险测度
及其罚函数的具体表达式；随后对于凸风险测度的投资组合选择问题进行了研究，给出
了基于对偶规划的最优化命题，给出了一个基于CVaR的投资组合的实例，并简要讨论
了其数值计算问题。
其次，给出了本文的重点研究内容：即给出了拟凸风险测度的定义，并且类似于一
致风险测度和凸风险测度，运用对偶方法，证明了拟凸风险测度的表示定理。同时还研
究了拟凸风险测度与凸风险测度的关系，并运用乘数理论和对偶理论讨论了基于拟凸风
险测度的最优化问题的一些特征。
关键词：拟凸风险测度，凸风险测度，表示定理，可接受集，罚函数，最优化
abstract 硕士论文
Abstract
Financial risk management is one of the most important theories of modem f'mances and
economics，while measuring f'mancial risk谢tll risk measures is the fundamental work．In this
study,we have done some deeper research in risk measures，which is the study of
quasi·convex risk measure．
Firstly,we conclude the acceptance sets，dual representation theorem and penalty
functions of coherent risk measure and convex risk measure．
Secondly,we have done some specific works：introduce a generalized CVaR(conditional
value at risk)，denoted by GCVaR,which is satisfied with the definition of convex risk
measure，and get the formulation of its penalty function．We introduce another convex risk
measure based of entropy function，and discuss the formulation of this killd of convex risk
measures and its penalty functions，when the weight in the entropy function has several
different forms．And then study the portfolio problem based on convex risk measures，give
some optimal propositions、析th dual programming and an example of portfolio problem based
onCV抿．
Thirdly,we have the most important findings of this paper．We introduce the definition of
quasi-convex risk measure，and give representation theorem by dual theory．We study the
relationship between quasi-convex risk measure and convex risk measure．We also study the
characters of the optimal problem based on quasi—convex risk measure using multiplier theory
and dual theory．
Key word：quasi-convex risk measure，convex risk measure，representation theorem，
acceptance sets，penalty function，optimal problem
n
声明
本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学
位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其它人已经发表或公布
过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的
材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明
确的说明。
研究生签名： 刁。年b J寻2}Et
学位论文使用授权声明
南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上
网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权
其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文，
按保密的有关规定和程序处理。
研究生签名： 20／o年石月2≥日
1引言
1．1理论背景及研究现状
金融市场风险是投资者在投资过程中所面临的主要风险，也是世界各个国家金融监
管当局管理的重点。金融风险管理是各类金融机构所从事的全部业务和管理活动中最核
心的内容，它和时间价值、资产定价被并称为现代金融理论的三大支柱。中国金融市场
是一个新兴市场，由于信息披露、宏观政策以及监管体系的不规范，造成金融市场的频
繁波动，产生很大的市场风险，这不但使广大的中小投资者对金融市场的信心产生动摇，
也对金融市场的稳定和国民经济的健康发展产生很大的负面影响。因此，研究金融市场
的风险具有十分重要的现实意义。
风险管理的基础工作是对风险进行度量，而选择合适的风险度量指标和科学的计算
方法是正确度量风险的基础，也是建立一个有效风险管理体系的前提。金融风险测度
(Financial Risk Measurement)就是各种风险度量指标的总称。
Markowitz时代之前，金融风险曾被视为期望收益的修正系数。这些原始的衡量标
准仅仅有利于投资者决定其投资的优先顺序。
自从1952年Markowitz提出了最优资产组合选择理论，方差(均方差)就成了一种
极具影响力的经典的金融风险度量方法。方差计算简便，易于使用，而且已经有了相当
成熟的理论。但是均值一方差模型把收益高于均值的部分偏差也计入了风险，显然与事
实不符；而且，该模型只考虑平均偏差，没有对人们普遍关注的收益的左尾问题给予充
分考虑，因此不适合用来描述小概率事件发生所导致的损失。
在方差的基础上，涌现出许多传统风险测度工具，包括方差、半(下)方差、下偏
矩LPM(Low Partial Moments)、久期(duration)、beta等，这些指标分别从不同
的角度反映了投资价值对风险因子的敏感程度，因此统称为风险敏感性度量指标。
下偏矩风险计量指标及相应的资源优化配置模型是在1991年由Harlow提出的，它
实证比较了下偏矩风险指标与方差风险指标。研究表明，以均值一下偏矩模型计算的证
券组合有效边界位于以均值一方差模型得到的有效边界的左上方，这表明在相同期望收
益的情况下，以下偏矩为目标函数的优化方案优于以方差为目标的优化方案。Harlow
的研究还指出，当收益率服从正态分布时，两种方法的计算结果相同：当收益率序列不
服从正态分布时，基于下偏矩风险测度的优化方案比基于方差风险测度的优化方案更有
效。因此，从实证研究看，下偏矩风险计量指标优于方差类计量指标。
然而这些风险敏感性度量指标只能描述收益的不确定性，即偏离期望收益的程度，
并不能确切指明证券组合的损失的大小。所以，它们只是在一定程度上反映风险的特征，
难以全面综合地度量风险，因此只能适用于特定的金融工具，或只能在特定的范围内使
‘ l
l引言硕士论文
用。
基于风险敏感性度量指标的缺点，1994年，J．P．Morgon[36]针对其银行业务的
需要提出了一种新的风险测度方法～一VaR方法，并很快被业界推广成为了一种产业标
准。它也是一种下方风险测度方法。这种方法的明确任务就是回答：在确定的概率下，
投资者如何预期将会在某年某月某天损失多少钱?它的资产有多少处于风险之中?VaR
借助概率论和数理统计的方法对金融风险进行量化和测度，将市场风险概括为一个简单
的数字，其经济意义是指在正常的市场条件和给定的置信水平下，在给定的持有期间内，
投资组合所面临的潜在最大损失。VaR最大的优点是可以得出多维风险的一个一维的近
似值，可以测量不同市场的不同风险，并用一个数值表示出来，因此具有广泛的适用性。
巴塞尔银行监督委员会、美国联邦储备银行、美国证券交易委员会、欧盟都接受VaR作
为风险度量和风险披露的工具。
但是，这些并不意味着VaR是一种非常合理有效的度量方法，近年来的理论研究和
实践结果表明，VaR存在如下缺陷：1．只考虑损失的概率而没有考虑损失的大小和出现
损失的时间，2．不满足次可加性，与“组合投资会减少风险’’这一基本原则不一致，这
就导致当使用VaR度量风险时，两个金融头寸的组合的风险可能会比各个头寸的风险之
和还要大，从而导致投资者不愿进行组合投资。同时这也与风险分散化的市场现象相违
背，从经济意义上讲不合理。3．VaR不能测量超过VaR的损失，不适用于非椭球分布函
数族，存在许多局部极值导致VaR排序不稳定等。这些缺陷都决定了VaR并不是一种合
适的风险测度指标。
VaR度量的非次可加性促使人们寻找性质更好的风险度量指标，并要求该指标满足
次可加性。基于此，Artzner等(1999)[5]通过四个公理给出了一致风险测度的定义，
同时给出了一致风险测度的表示定理。
文献E5]中还给出了尾部条件期望(tail conditional expectation，TCE)的概念，
亦称尾部VaR(tail VaR)。TCE考虑了超过VaR部分的风险，但在一般情况下不属于一
致风险测度。Artzner等进而又提出了最差条件期望(worst conditional expectation，
WCE)。WCE是一致风险测度，但由于WCE在概念上依赖于概率空间的结构，因而实
施起来比较困难。
由于这四条公理的合理性，一致风险测度不久就被风险测度理论界广泛接受，引起
了强烈反响，相关的研究随即展开。
首先，一致风险测度在定量风险管理中得到广泛的应用。从某些角度讲，这是因为
最流行的风险测度都不是一致的风险测度(当然也不是凸的风险测度)，例如VaR，这已
经被delbaen(2000)[12]进行了证明。
接着，Delbaen和Hochachule等(2000)[12]将一致风险测度理论所要求的有限
概率空间推广到任意的概率空间，并且把一致风险测度和博弈论及失真概率测度联系起
2
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
来，这些结果都用相应的例子进行了说明。
随后，在一致风险测度四条公理的基础上，很多学者提出了几种形式不同的一致性
风险测度指标，其中，期望损失ES(Expected Shortfall)是最常用的一种，它是指投
资组合在给定置信水平决定的左尾概率区间内可能发生的平均损失。ES对于损失X的分
布没有特殊的要求，在分布函数连续和不连续的情况下都能保持一致性风险测度这一性
质，使ES不仅可以应用到任何的金融工具的风险测量和风险控制，也可以处理具有任
何分布形式的风险来源，而且保证了在给定风险量的约束条件下最大化预期收益组合的
唯一性。
然而，由于ES风险测度的发展时间不长，ES作为一种一致风险测度也存在着一定
的局限性。VaR与一阶传统随机占优是一致的，ES风险测度与二阶传统随机占优是一致
的；但是，VaR与二阶及二阶以上传统随机占优不是一致的，ES风险测度与三阶及三阶
以上传统随机占优不是一致的，在特定情况下，运用VaR和ES都不能做出正确的投资
决策。
特别值得一提的是期望损失(ES)与条件风险价值(CVaR)相比较适用范围更广，
在离散分布和连续分布下都能保证是一致性风险测度，且具有容易计算的特点。在概率
分布是连续时，ES与CVaR定义一致：当概率分布不连续(或离散)时，ES与CVaR不再一
致，此时CVaR不再是一致性风险测度。ES是CVaR的推广(广义)形式，而CVaR则是ES
的特殊(退化)形式。
Acerbi等(2002)[3]提出了谱风险测度(spectral risk measures)理论，该理论除
了要求风险度量是一致风险测度以外，还要求风险度量具有性质良好的风险谱密度，用
来刻画投资者的风险厌恶特征。Acerbi等认为，谱风险测度理论具有良好的发展前景，
它不仅从技术层面对风险度量做了明确要求，还以风险谱密度的形式刻画了投资者的风
险厌恶特征，也为改进现有风险度量指标提供了重要的理论依据。在谱风险测度理论框
架内，CVaR及VaR都不算性质良好的风险度量指标。
尽管一致风险测度有一定的实际意义，但是，在很多情况下，头寸的风险会以非线
性的方式在头寸的范围内增加。例如，如果一个头寸乘以一个大的因子，那么就可能产
生一个额外的流动性风险。由此发现，一致风险测度中的正齐次性公理和次可加性公理
要求过严，应该放松正齐次性和次可加性的限制条件。
Hans Follmer和Alexander Schied(2002)[24]对Artzner的一致风险测度的研究
结果进行了一个拓展，提出了较弱的凸性公理，用它来代替一致风险测度定义中的正齐
次性和次可加性，并把满足单调性、平移不变性和凸性公理的风险测度称为凸风险测度
(convex risk measure)。凸风险测度亦被称为弱一致风险测度(weakly coherent risk
measure)。
l引言硕士论文
Frittelli和Rosazza Gianin(2002)[29]也对凸风险测度进行了定义及表示的研
究。E1 Karoui和Ouenez(1997)[18]，Carr，Geman，和Madan(2001)[9]，Frittelli
和Rosazza Gianin(2004)[30]，Staum(2004)[48]，Fi l ipovic和Kupper(2008)[21]
以及Jouini，Schachermayer，和Touzi(2008)[34]将凸风险测度运用到不完全市场的
定价和套期保值问题中。
1．2本文主要工作
本文在已有的理论基础上对凸风险测度进行改进，放宽了凸性条件，用一个更符合
实际经济环境的风险测度——拟凸风险测度来代替凸风险测度，更有效合理地拓展了测
度风险的工具。文中，首先，给出拟凸风险测度的合理定义，接着借助于拟凸对偶理论，
深入研究并给出了拟凸风险测度的表示定理，进而，研究了基于拟凸风险测度的最优化
问题的相关特性。本文所得的结果是新的，具有一定的理论价值和一定的经济意义。
本文第一章主要介绍了风险测度的发展历史和研究现状，给出本文研究的目的和意
义。
第二章介绍了预备知识，主要是一致风险测度及凸风险测度的公理体系、可接受集
和对偶表示及其经济意义。
第三章研究了一致风险测度与凸风险测度之间的关系，深入对比了各自的对偶表示
和罚函数的形式。研究了凸风险测度的例子，同时研究了基于凸风险测度的投资组合选
择问题。
第四章给出了拟凸风险测度的定义，将凸性和拟凸性进行了比较。给出了拟凸风险
测度的表示定理，研究了其与凸风险测度的关系，运用乘数理论和对偶理论讨论了基于
拟凸风险测度的最优化问题的一些特征。
最后是结论，归纳了本文主要的结果，指出本文的价值，并给出了文章可以进一步
探讨的地方。
4
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
2预备知识
2．1一致风险测度
定义2．1．1(一致风险测度)满足以下四条公理的风险测度称为一致风险测度：
1．次可加性：p(X+y)≤p(X)+p(y) (2．1．1)
2．正齐次性：如果旯≥0，那么p(kX)=Xp(X) (2．1．2)
3．单调性：如果X≤Y，那么p(彳)≥p(n (2．1．3)
4．平移不变性：如果m∈R，那么p(】，+m)=p(n—m (2．1．4)
公理1的经济意义是，用一致性风险测度度量出来的所有被监管对象的总体风险
p(X+即，不能比各单个被监管对象的风险之和p(X)+p(】，)大。否则，即使各个被监
管对象都设置了足够的资本或保证金p(X+功，也不能保证所有监管对象总的资本或保
证金Σp(薯)足以抵消整体风险p(Σ而)，因此监管措施就可能失效。可见，次可加性
公理主要是从保证风险监管有效性的角度提出的，为监管目的而设计的风险测度应该满
足次可加性公理，否则规避风险的最好方法就成了拆分企业或业务而不是进行组合投资
了，这显然不符合现代投资组合理论中的风险分散原理：要求分散化投资组合，不要集
中投资，也即是“不要把所有蛋放在同一个篮子中”的西方古谚语。同时它也保证了保
证了某一金融机构或投资组合如果不满足监管要求，被监管对象不能够通过分拆的方法
达到监管的要求。
公理2的经济意义是，当收益以不同的货币单位表示时，风险测度必须做相同尺
度的变化，这也是为了规避汇率风险的一个要求。
公理3的经济意义是，如果投资组合X在任意情况下的价值都比投资组合Y的价值
小，则一致性风险测度度量的x的风险至少不应该比Y的风险小。也就是说，优质资产
的风险应该不大于劣质资产的风险。显然这是合情合理的，也是合乎实际经济意义的。
公理4的经济意义是如果向风险资产X中注入资金口，则该资产的风险可减少口。
显然可以推出p(X+p(X))=p(X)一p(X)=0，这个式子表示，如果用数量为p(X)的资
本或保证金加入到初始头寸X之中，则恰好可以抵消投资组合x的风险。因此，平移不
变性公理要求风险测度在数值上就是为抵消投资组合的风险而需要提供的资本或保证
金的数量。在现实交易环境中，金融监管部门通常要求金融机构保持一定的资本充足度，
以控制(抵消)信用风险和破产风险。
定理2．1．2(一致风险测度的表示定理)Artzner(1999)[5]给定参考投资工具
的总收益率为r，则风险测度P是一致风险测度，当且仅当存在自然状态集上的概率测
度类K，使得：
p(X)=sup{E尸[-X／rllP∈K) (2．1．5)
5
表示定理的含义是：任意的一致风险测度p是概率测度Q的一个非空凸集上的最坏
的情况，这个概率测度称为测试概率。因此可以用下面的步骤计算一个头寸X的一致风
险测度：
1)对于每一个测试概率Q∈Q，计算头寸一X(注意一X是损失)的平均未来净值
％卜x】，
2)对于所有找到的数值取最大值，p(X)=sup吃【一x】。
QcQ
在有限的情况下，这个表示定理是Rockafellar(1970)[43]的推论12．2．1的一个
直接应用。
2．2凸风险测度
设K表示随机变量X：QI----Y R的集合，随机变量X表示定义在概率空间(Q，F，P)上
的一个投资策略(头寸)的未来(折现)净值。定义Q是可能的自然状态的集合，我们
假设本文所讨论的都是IQI有限的情况。工(国)可以看做状态0．1∈Q的投资组合的价值。
定义2．2．1．(凸风险测度)一个映射P：K H R称为凸风险测度，当且仅当满足下
面三条公理：
1)凸性：p(AX+(1一名)．r)≤Ap(X)+(1-A)p(Y)，旯∈[0，1】(2．2．1)
2)单调性：如果X≤Y，那么p(X)≥p(D，其中对于任意的CO∈Q，都有
X≤Y§X(国)≤H缈)。
3)平移不变性(现金可加性)：如果m∈R，那么p(Y+m)=p(n—m。
可以看出凸风险测度是用凸性代替了次可加和正齐次性两个性质。凸性意味着合并
不会增加风险，即“未来头寸的线性组合的风险小于或等于每个未来头寸的风险的加权
平均"。
正齐次性假设风险与头寸X的大小成比例增长。实际上，如果市场不能确保流动性，
那么风险会比头寸的线性增长的更快，这样一个现象要求我们要放宽一致风险测度的限
制，用凸风险测度更符合实际意义。
必须指出，不满足凸性(2．2．1)意味着次可加性公式(2．1．1)也不能成立。
因此如果不满足次可加性，那么用P控制头寸的风险和计算保证金的总量，可能就
不会产生对于总风险的一个上估计。Acerbi等(2002)[2]和Frey等(2002)[31]给出
了违反次可加性的例子--VaR。
如果一个凸风险测度满足正规化条件p(0)=0，那么p(X)就可以看做一个“额定保
证金"，即“如果在给定时间段的期初给资产净值增加一定的资产数量，将这些资产净
值投资于无风险资产，使得期末的折现资产净值是可接受的，满足这样的最小资产数量
看作额定保证金”。
6
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
目前，Artzner(2007)[6]将已有的公理框架从单期模型拓展到了多期模型，为了
使风险测度随时间的变化保持连贯，引入了时间连贯性的概念，作为风险测度的又一个
性质，Cheridito等(2004)[10]。
在本文中，我们只研究单期的情况，并且我们称一个头寸X是可接受的，如果在时
间范围的终点，该头寸的风险小于等于0，即完全没有风险，就是下面可接受集的定义。
定义2．2．2(可接受集)对于任意的风险测度P：K H R，可接受集定义为：
4．--{x∈KI反x)≤o> (2．2．3)
显然的，Follmer等(2002)[24]说明了
么。是闭的，凸的，非空的(2．2．4)
X∈A。，X≤Y，那么有Y∈4。。(2．2．5)
反之，对于任意的可接受集A≠a，并且满足性质(2．2．4)和(2．2．5)，那么它
相应的凸风险测度是
几(x)．_iIlf{mlm·I+X∈彳>
其中假设成(0)是下方有界的。
定理2．2．3(凸风险测度的表示定理)Follmer(2002)[24]P是Q上所有概率测度
的集合，其中IQI是有限的。凸风险测度JD：K H R可以表示成下面的形式：
p(X)=sup(to【一．r卜口(Q)) (2．2．6)
口EQ
其中罚函数口：PI-->(砌，栩】是凸并且闭的。
这个定理的证明依赖于共轭函数。特别的，由其证明过程，有
口(Q)．-p’(-Q) (2．2．7)
其中P‘表示P在剃中的共轭函数
P。@)=sup{(z，x)～p(x)} (2．2．8)
工￡K
其中(．'．)表示标准内积(实际上，随机变量背景下的共轭函数的一般定义通常用
似，X)#耳以rj)来代替)。Ruszczynski(2004)[47]运用关于可测函数空间的凸分析
的结果，证明了在可测函数的拓扑向量空间中，这种对偶特征的有一个非常一般的表示
结果。
从可接受集的定义2．2．2和对偶表示(2．2．7)，可以得到罚函数的性质：
推论2．2．4(罚函数)给定可接受集彳。，则定理2．2．3中的罚函数表示如下：
or(Q)=sup％【_|硼(2．2．9)
XE如
’
注释2．2．5从定理2．2．3的证明可以发现罚函数a(O)是可接受集的“正规化的"
支撑函数。因此可以用支撑函数和指示函数的对偶来重新构造可接受集A。(Rockfellar
(1970)[43]定理13．2)
Follmer和Schied(2002)[25]给出了一致风险测度的一个特殊例子，在这个例子
7
中，由于存在齐次性，所以口是一个指示函数。
推论2．2．5(一致风险测度的表示)p是一个一致风险测度，当且仅当定理2．1．2．1
中的罚函数是一个指示函数
蚴={：芽P I+∞具他
其中Q是非空、闭、凸的。
由此可以通过解决一个最优化问题
ap(x)=COnV(一QlQ∈argmax{EQ【一x】一口(Q)>) (2．2．10)
QEP
来得到P的次梯度。其中CO?IV表示凸包算子。显然的，存在一些例子，在这些例子中由
于口的简单性，使得(2．2．10)的右边很容易计算。
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
3凸风险测度的例子及投资组合问题
3．1凸风险测度的例子
由Follmer(2002)[24]的表示定理可知，由任何定义在P上的凸函数都可以生成
一个凸风险测度。因此，为了让这一点有意义，我们需要用一个标准的经济解释来说明。
同时，如果罚函数口具有解析表达式，那么就可以使得投资组合的选择问题具有有效的
计算方法，所以下面我们只讨论有明确解析表达式的凸风险测度的例子。Follmer(2002)
[24]在推论2．5中曾经讨论过凸风险测度的几个例子。最流行的一致风险测度CVaR已
经在Rockafellar(2002)[45]中讨论过。
3．1．1 cvaR
具有置信水平1>∥>0的VaR定义为
比如=inf{m[P[X+肌<0】≤∥)。(3．1．1．1)
注意：VaR是(损失)分布(一X)的(1_∥)分位数(在本文中，∥应该是小的)。
因为CVaR定义为期望尾部损失，那么由(3．1．1．1)式，我们可以得到具有置信水
平l>∥>0的CVaR表示为
CVaRp(X)=耳【(—x)I(一x)≥凇芦】(3．1．1．2)
CVaR的这种定义形式并不满足一致性，这个结论已经被很多学者指出，比如Acerbi
等(2002)[2]，Artzner等(1999)[5]，Rockafellar等(2000)[44](2002)[45]。为
了使它满足一致性，我们要考虑离散分布的分裂公理。下面这个定义是基于推论2．2．5
得到，它不仅是一个一致风险测度，而且将CVaR的计算变得简单。Delbaen(2000)[12]
cv口RAx)=sup{EQ[一x】)。(3．1．1．3)
QEQ
其中
I p
华{Q∈PlQ≤÷)。(3．1．1．4)
I p
被Rockafellar等(2002)[45]称为风险包络(risk envelopment)。
因此，CVaR可以用一个线性规划(3．1．1．3)来定义，根据有效性增加变量，可以
使这个线性规划得到有效解决。
通过线性规划的对偶，我们获得了CVaR最流行的表示形式，
cVaRp(X)=1学【刁+吉耳【(一x一，7)+】。
其中(口)+：=nmx{O，a)，并用‰表示(3．1．1．5)的最优解。
由于CVaR的经济意义和计算简便性，它已经运用在很多实际情况中， 即使它不能
9
随着风险收益的大小不同而变化。为了部分的克服这个问题，Acerbi(2002)[3]引入了
一个分位数权重测度，称为谱测度。我们采取一样的思维，但是加上∥一分位数的约束，
由此引入一个推广的CVaR，使得它既是凸风险测度，又对风险收益的极值成立，同时还
保持CVaR易于计算的优点。
3．1．2推广的CYaR(记为GCVaR)
将CVaR定义中的标定罚函数表达式做一个小变化，变成
aL(Q)=学Ⅲ∞)一半】+)。(3．1．2．1)
其中L≥0是一个固定的参数，用来控制风险容忍度，从而产生下面一组凸风险测
度。
首先，对于Q∈Q，有aL(Q)=0，其中Q的定义如(3．1．1．4)。则推广的CVaR定
义为
GCVaRp，工(x)2翟‘岛【一x】一吒(Q)}。
可以看出(3．1．2．2)是一个LP问题，而且通过线性规划的对偶，推广的CVaR也
可以用它的对偶来刻画
10
GcVaRp,L(x)2呼【刁+方耳【(一x一刁)+】。
其中刁满足
Σ(一x(缈)一‰)+≤三。
考虑到(3．1．1．5)，可以马上得到，对于￡≥r#E(爿细)一‰)+，有
GCVaRp工(X)=CVaR声(X)。
其中77眦由(3．1．1。5)来定义。
另一方面，对于L=0，
GCVagp，o(x)=卿[-x(国)】=max Loss(X)。’ 出￡Il
并且一般的，对于0<L<r，有
1
GCVaR罗．L(x)=刁∞)+吉B【卜x一巧(三))+】。
其中，7(三)是
Σ(一x(缈)一，7)+=￡
脚en
的唯一解。
而且，GCVaR．工(．)是工上一个凸的、单调递减的函数。特别的：
设对于0≤五≤1，有L=旯r，那么
CVaRp(x)<GCVaRp．L(X)
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
≤CVaRp(五X)+(1-名)maxLoss(X) (3．1．2．9)
(3．1．2．9)中的名是标准分布P的∥一尾上的可接受、可计算的风险资产的分数(权
重)。GCVaR包含了CVaR，然而最终GCVaR使得在尾部的大的损失相对变小，即力一0。
当然，这种对于损失的降低依赖于maxLoss(X)和CVaRB(X)之间的区别。
下一组凸风险测度具有和GCVaR相同的性质，即在简化计算的同时，通过一个参数
来实现控制风险容忍度。同时，它推广了Follmer(2002)[24]给出的指数风险测度。
3．1．3基于熵的风险测度的一个注记
用定义在P上的熵函数来表示罚函数
au(Q)=荟砌)器In(黔(3．1．3．1)
mEo 』～u7， 上～Lc，，
然后，根据权重∥(国)≥0的选择，这一类凸风险测度定义为
以2。黔【％(一彳)一(％(Q)一au(Q。))】
其中正规化罚函数口。(Qo)具体表示为
gu(Q。)2唧au(Q)
(3．1．3．2)的KKT条件的表示为
一P(缈)．Y(缈)一∥(国)[1+hl(亘(国))】=rP(o)，对于国∈Q
Σ尸(国)Q(国)=1
mEn
其中有集合Q(to)：=尸(缈)Q(国)。
对于任意一个固定的f，(3．1．3．4)由下面的价值来满足
她f)=exp【尘唑娶幽一1】
(3．1．3．4)
(3．1．3．5)
因此，为了满足等式(3．1．3．5)，我们必须选择(3．1．3．6)中合适的f：而合适
的f的存在性和唯一性依赖于这样的事实：对于足够小的f，(3．1．3．6)的左边比l大，
并且(3．1．3．6)的左边关于r是单调递减的，最终当f--->00时，它收敛于e～。
下面考虑对于权重tu的一些特殊的选择：
3．1．3．1期望指数损失
设权重∥(缈)=P(to)，
群(x)=In耳[P“】
是一个初等计算。而且，给∥乘一个正常数厂，有
—羔
∥(x)=yln耳№7】≥廓(一x)。
特别的，当，，哼0时，风险趋于maxLoss(X)，当，一oo时，趋于耳(一X)。而且，
当X是固定并且单调递减时，在厂≥o上∥(·)是凸的：对于o≤乃≤圪
maxLoss(X)≥成(x)≥联(x)≥耳(以)
实际上，∥(·)在7上的单调性是严格的，只有在一个很不重要的情况下例外：当对
于所有的国∈Q，都有的x(eo)=c时候。
3．1．3．2风险适应概率
我们还可以选择(3．1．3．1)中的权重为常数，即∥(国)=7。那么，(3．1．3．6)就
变成亘·(国)：exp[塑继垫蝴一1】7
其中f。(y)由(3．1．3．5)决定。
从(3．1．3．4)和(3．1．3．5)很容易可以看出，f’(厂)是7上的一个严格单调递减的
函数。
因为Q‘(国)=P(缈)亘’(缈)，那么从(3．1．3．2．1)可以得出，依赖于临界值f+(厂)，高
损失的概率在
尸(crD)[一x(cD)一f’(7)】≥y
的时候增大。而高收益的概率最终是以指数方式递减的。如果不给出这些细节，我们可
以知道，(3．1．3．2)定义的风险测度(用岛表示)，在厂=0的时候变成：
po(X)=maxLo黜(X)
在y专00的时候变成：
成(彳)=％【一硼
其中Qo如(3．1．3．3)。
如前所示，对于固定的X，P在7≥0上的凸性和单调性仍然成立。
对于一般的y，从(3．1．3．4)(3．1．3．5)，我们可以总结出：
岛(x)=f。+九Σ亘’(缈)+q(Q。)】
其中，和爹如(3．1．3．2．1)，Q0如(3．1．3．3)。
对于标准背景：所有的可能状态的可能性都是相等的，且P P(功2商，那么可以得
到P的一个明确表示：
岛(朋=y IQI 1Il[三南唧(一哿)】
其中QO=尸，即岛(x)=嘲(x)。
3．2凸风险测度的投资组合选择问题
3．2．1一般的投资组合选择模型
我们假定P代表表示定理中的任意的凸风险测度，还假定在重新选择决策变量的时
候，对于变量的一个集合s，投资者可以通过控制标定风险投资组合X来最小化风险：
12
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
p(X)
X≤As+b
s∈S
其中彳∈Ⅱ乏怫肺，b∈R刚，同时ScR”满足非空、凸、紧。
由于P具有单调性，我们可以假定(3．2．1．1)也满足单调性。因此As+b明确的表
示了投资决策S对于收益x的影响，同时指出S相对于可能状态集Q的独立性。S对于
每一个收益缈∈Q都直接的进行影响，因此我们可以把S看成一个根据收益来进行反作
用的投资策略。
这个表示具有一般性，包含了X≤h(s)的情况，其中对于i=l，2，.，IQI，
has)：S—R是凹的。
我们可以通过用定理2．2．3中的共轭函数，来推导出(3．2．1．1)的lagrange对偶。
做一个简单计算就可以得出(3．2．1．1)的定义在P上的lagrange对偶函数如下：
删=警卜剐而H警r1并@2．∽，
其中口(Q)是定理2．2．3中凸风险测度P的罚函数。
运用已知的凸分析(最优化)的弱对偶关系，可以得到，
p(X)≥g(Q)，
其中j是(3．2．1．1)的一个可行解，坌∈尸是对偶问题(3．2．1．2)的一个可行解。
另外，由于假定S是紧的，则有下面结果
命题3．2．1．1对于问题(3．2．1．1)中的原始表示，
f’=intf(sup(-a(Q)+EDI-as-b]}> ～QaP ‘
及其对偶表示
d’=sup{一口(Q)+赠(岛[-as-b])}
如果S是非空、紧和凸的，那么强对偶成立，即f‘=d‘。并且最优值是有限的。
证明：定义
厂(s)=sup{-a(Q)+易[-As-b])，其中J∈S (3．2．1．3)
d(9=吨(9+i蝤(％[-As-b])，其中Q∈P (3．2．1．4)
需要证明
inf。厂(s)=supd(Q)
由于结构弱对偶性成立，所以紧性保证了两个最优价值都是有限并且可以获得的。
设J’∈S是原始问题的一个最优解，则由最优化可知，存在一个次梯度f∈0f(s‘)使
得
13
旷
m一上
盖
S
rO—s‘)≥0，对于所有的J∈S
由定义，等式(3．2．1．3)中的f用到了P的紧性，所以：
善∈of(s。)c，善=-A7Q，
其中垂∈argmax{一口(Q)+％[一As+一圳>。参考Rockafellar(1970)
QE，
‘
23．2。
将(3．2．1．6)带入(3．2．1．5)可以得到
s‘一‘。吃卜Asargrain{L"a s∈ 卜As一一6】6J)j
jEJ
因此，利用(3．2．1．7)，有
f(s’)=一口(Q)+％【一As’一6】
=-ot(Q)+Il雌％[-As-b】
jEJ Y
=d(9。
(3．2．1．6)
[43]中的定理
因此，(3．2．1．4)现在由弱对偶性得出。口
3．2．2基于CVaR的一个投资组合实例
命题3．2．1．1中的强对偶是Nesterov(2003)[41]运用光滑最小化方法的伴随模型
的一个特殊的例子。特别的是，只要a(O)是连续的并且在p上是严格凸的，那么
(3．2．1．3)中定义的原始函数f(S)在任何的J∈S上都是连续可微的，并且它的梯度如
下
Vf(s)=一彳1Q。(s)， (3．2．2．1)
其中Q’O)是(3．2．1．3)的最优解。同时，如Nesterov(2003)[41]中的定理l的
研究结果，这个梯度是Lipsehitz连续的。在这种情况下，在合理的假设下，到S的投
影可以得到有效的计算，Nesterov在研究结果中描述的光滑最优化分析方法可以用于对
厅
次数o(．卢)进行有效估计，其中g是近似解的预期精确度，L是梯度的Lipschitz常数。
V占
同时，在合理的假设下，(3．2．1．3)中对于f(s)的计算和(3．2．1．4)中对其对
偶d(Q)的计算，都简单的决定于S的简单结构，而且增加一个所谓的近似函数给S，这
些计算可以保持正确，然后我们可以运用Nesterov(2003)[41]中定义的一般非光滑函数
的一个光滑最小化分析模型来有效的逼近它在o(与中的最优解，其中s是近似解的预期
F
精确度。这个最优方法只要求(3．2．2．1)形式的梯度计算，因此可以用于非常大的样
本容量IQI。
例3．2．2．1给出一个例子来说明，考虑对于一个简单集合S的CVaR-有效投资组合
计算：假定有n个金融工具i，其中z‘’佃)，i=l，2，.，n代表在状态缈∈Q下，对于工
具i的损失。工=(∥)，．．．，∥’)∈RF枷L表示相应的损失矩阵。
14
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
mi．n GCVaR．o，L(三s)
SE6
。’
其中
S：={s∈Ⅱ乏：Z岛=1，互≤s≤了)，
i=l
并且J和歹分别是投资组合向量S的下界和上界。
运用(3．1．1．3)中给出的CVaR的对偶表示，则(3．2．2．2)的最优化问题可以变
成
曾酱％酬SEd UEU ’
其中Q是(3．1．1．4)中定义的形式。运用命题3．2．1．1，则有
弛)：=嘴{％酬)
d(Q)．-m倒in{E，_M，)
然后我们可以写出(3．2．2．3)的原始形式，
mi'n f(s)
或者其对偶形式
m，、a．x d(Q)
QEQ
、～
问题(3．2．2．3)与Nesterov(2003)[41]论文中研究的“伴随"集有着完全相同的
结构。(3．2．2．4)中定义的函数在S和Q上分别都是既凸又非光滑的。因此，我们可
以用Nesterov描述的光滑最优化的最优梯度模型来解决这样的投资组合最优化问题，
模型假设S的简单性使得对于投影梯度法存在一个有效计算结果。特别的是，运用逼近
函数的熵距离，可以确定下面的收敛速度
—％／ln鬲nha—lnI．学俐七+1 啪I。l
因此，用最大化损失表示的C愀占具有1％绝对精确度，可以在不多于
400JlnnInIQI ． 1 1
次的梯度迭代后得到。
4拟凸风险测度的表示及其最优化问题
4．1拟凸风险测度的定义及其与凸的比较
4．1．1拟凸风险测度的引入
拟凸分析在经济学，金融学等的最优化问题中有重要的作用，在现实情况中，可能
会因为不存在全局风险厌恶而无法满足凸性。在实际的金融市场中，投资组合的风险无
法正好满足投资的风险的(线性)组合，于是我们放宽凸性条件，用拟凸性代替，使得
投资组合的风险不大于将全部资金投资于单个金融工具的风险的最大值。通过对现实金
融市场的观察，我们发现这一条件更符合实际情况。同时对于“分散投资不会增加风险”
这一经济意义，拟凸性比凸性能给出更好的数学解释。
设一个零息债券在市场上从0时刻至到期时刻T都是可用的，面值是l，价格是D。
平移不变性(现金可加性)意味着“如果从未来头寸中减去m，那么当前的资本需求量
是m：在无风险投资工具上投入m，则未来风险可以减少m’’。
然而在实际中，这一假设显得过于严格，由于市场中流动性的不足，风险的实际减
少值比m小，而且利率的任意形式的不确定性的存在都足以使得平移不变性(现金可加
性)假设变得要求太高。基于这个原因，提出了平移次不变性(现金次可加性)。
定义4．1．1．1(拟凸风险测度)一个映射P：K I--专R称为拟凸风险测度，当且仅当满
足下面三个性质：
1)单调性：如果X≤Y，那么p(X)≥p(y)，其中X≤】，§X(国)≤y(国)，对于任
意的CO∈Q。
2)拟凸性：p(^墨+(1-,Dx2)≤max(p(&)，p(五))，0≤见≤1
3)平移次不变性(现金次可加性)：p(X+m)≥p(X)-m。
注释4．1．1．2：表达式p(X+tn)≥p(彳)一m的含义是：“如果在无风险投资工具上
投入m，则未来风险的减少不会比m大”。这比平移不变性更符合实际的经济意义，它还
有等价的表示方法p(X—ra)≤p(X)+加。
4．1．2拟凸性的定义及其与凸性的比较
定义4．1．2．1(拟凸函数)设，(z)是R“上的实值函数，如果对于任意的毛，％∈R“
满足，
，(^q+(1一名)％)≤max(f(x，)，I(X2))，0≤五≤1，
则称，(z)是拟凸函数。
类似于凸函数，我们再给出拟凸函数用水平集来表示的定义。
定义4。1．2。2(拟凸函数)一个函数称为拟凸函数，如果它的值域dom(f)和
16
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
它所有的上水平集S(f，口)都是凸的，V口∈R。
定义4．1．2．3 (拟凸函数)C是R”的一个凸子集，设f(x)是c上的一个实值函数，
Nf(x)称为拟凸函数，如果对于任意的实数c∈R，都有
{x：x∈C，厂(x)<c)
是凸集。
定义4．1．2．4(拟凸函数)，(z)称为拟凸函数，如果对于任意的实数c∈R，都有
{x：x∈C，／(功≤c)
是凸集。
定义4．1．2．3可以得到定义4．1．2．4，因为
{x：xe C，厂(x)≤c)=n{x：x∈C，厂(x)<d}。
d>c
反之定义4．1．2．4也可以得到定义43．1．2．3，因为如果定义4．1．2．4成立，则对于口≥0，口‘≥O，口+口‘=1，就有厂(五)≤厂(而)<c,--I灿f(axt+Or’．砭)≤／(吃)<c。
下面介绍一些关于拟凸函数的定理
定理4．1．2．5
所有的凸函数必为拟凸函数，反之不成立。
证明：由拟凸及凸的定义可以知道显然成立。反之不成立，下面给出反例。口
例如函数f(x)=一z2，在[o，佃)上拟凸，这由定义显然可以得到。但是厂(z)=一2<0，
所以不满足凸性。
这是因为定理(水平集是凸集)的逆定理不成立，水平集是凸集不能保证函数是凸
函数。
图4．1．2．1
图4．1．2．1所示是一个拟凸函数，它的所有的上水平集S(f，口)都是凸的，但是这个
拟凸函数不是凸函数，从函数下方的线段AB就可以看出来。
定理4．1．2．6 f(x)是具有一次齐次性的拟凸函数，则它是凸函数，其中z∈R“。
证明：即要证V为≠磊，VA∈[0，1】，有
，(旯q+(1一名)％)≤力，(q)+(1—2)f(x2)。
1) 若奶=口毛，口∈R，则由一次齐次性，显然成立。
17
2) 若q，毛线性无关，设，(q)≥f(x2)，令口=夸婴，
八墨，
考虑f(a7口气+(1一五’)％)，刀∈(o，1)。
由一次齐次性知，f(azo)=af(xo)=f(x1)
．．．，(A’口q+(1一A’)X2)≤允’f(axl)+(1一名’)，(％)=，(％)
考虑是否3k，S．t．允q+(1一旯)％=后(兄’口q+(1一旯’)％)
j(名一kA’口)＆+[1—2一忌(1一名’)】奶
··‘Xl,吃线性无关，≥％2 r赢，即证明了k的存在性。上一^十以口
贝lJ．·．，(力％+(1一名)％)=／(k(x’口气+(1一A’)％))
=kf(名’ITXl+(1一九’)％)
≤kA’口f(xx)+k(1一旯’)，(X2)
=五，(畸)+(1一力)，(％)。
定理4．1．2．7设f(x)是R“上的实值函数，则以下结论等价：
1) f(x)是拟凸函数
2) Va∈R，水平集S(f，口)=p∈R”I，(z)≤口)是凸集
3) 在，(z)可微时，如果，(q)≥，(奶)，则有
(W‰)，x2一X1)≤0
证明：设1)成立。V口∈R，五，屯∈s(f，口)，则有，
f(xd≤口，／(恐)≤口
因为厂是拟凸函数，故由定义4．1．2．1有
rio一旯)五+名而】≤口，A∈【O，1】
这表示(1．力)五+如∈s(f，口)，所以s(f，口)是凸集，于是2)成立。
设2)成立，即V口∈R，s(f，口)是凸集。弘，而∈R8，龇=max[f(x0，／(吃)】，
则有五，屯∈s(f，a-)，于是有
(1一∞毛+A毛∈s(f，a--)，A∈【O，1】
所以有
九(1一五)．而+五而】≤历，力∈【0，1】
所以．厂是拟凸函数，于是1)成立。所以1)，2)等价。
设1)成立，则／(jcl)≥厂(而)的时候，有
f[0一A)而+力而】≤厂(■)，五∈【O，1】
但是因为八¨训=瓣盟丝掣
=(夥(五)，屯-xa)
18
口
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
所以有
(耵(五)，x2一而)≤0
即3)成立。
设3)成立。要推出1)因此成立。用反证法，假设1)不成立，即当厂(而)≤厂(五)
的时候，存在x3=(1-A)x1+2x2，名∈(O，1)，使得
厂(五)<f(x3)
由式子(耵(毛)，x2-xa)≤0可知，此时有
(Vf(x3)，五-x3)≤0
(Vf(x3)，x2一x3)≤0
于是可以得到
(Vf(x3)，x2一五)≤0
(耵(毛)，而--X2)≤0
由上面这两个式子，得到
(Vf(x3)，五一x2)=0 口
凸函数和拟凸函数有许多相似的性质，下面对其性质进行比较。
设s(，，口)表示水平集{zl，(z)≤口)，H表示f(x)的Hessen矩阵，
。：％嘲洲胁～一
性质4．1．2．1 f(x)是凸函数§epif是凸集。
性质4．1．2．1’f(gg)是拟凸函数营s(f，口)是凸集，Va∈R。
性质4．1．2．1和性质4．1．2．1’由W．Fenchel(1951)[20]证明的。
性质4．1．2．2 f(x)是仿射函数营epif，epi(一，)是凸集。
性质4．1．2．2’f(x)是拟仿射函数§s(f，口)，S(一f，口)是凸集，V口∈R。
性质4．1．2．3 f(x)是仿射函数§{(z，∥)I，(z)=∥，∥∈R)是R叶1中的凸集。
性质4．1．2．3’f(x)是拟仿射函数j U={xlf(x)=∥，∥∈R)是凸集。反之如果u
是凸集，，(z)连续，则函数f(x)是拟仿射函数。
注意：在性质4．1．2．3’中，f(x)的连续性是必不可少的。
例4．1．2．1在R中，设
，(z)=
0 0≤z≤1
2 l<z≤2
1 2<z≤3
佃其他
当∥=0时，U=[0，1]。∥=1时，U=(2，3]。／z=2时，U=(1，2]。∥≠0，1，2时，U=a。
可以检验，不是拟凸函数。可以检验，f(x)不是拟凸函数，而它在x=l，2处间断。
19
性质4．1．2．4 ，(z)是凸函数营在五≥o，i=1.．，m，Σ五=1时，有
i11
f(五IXl"I-.+厶％)≤五，(黾)+.+／之mf(Xm)。
性质4．1．2．4’，(z)是拟凸函数营在五≥o，i=l.．，仇，Σ丑=1时，有
s=l
，(五墨+.+厶％)≤max{f(x1)，.，f(xD}。
性质4．1．2．5‘f(x)是凸函数，则在ri(domf)的每一个紧子集上，(z)有上界。
性质4．1．2．5’，(z)是拟凸函数，则在ri(domf)的每一个紧子集上，(z)有上界。
性质4．1．2．5’的证明见刘光中(1982)[53]。
性质4．1．2．6 ，O)是凸函数，则V口￡R，s(f，口)有界§3口’，使得S(，，口’)非
空有界。
性质4．1．2．6’，(z)是拟凸函数，如果s(f，口)非空有界，则j口’>口，使得s(f，口’)
有界。
性质4．1．2．6’的证明见Greenberg(1971)[32]．
性质4．1．2．7，(z)是凸函数，则，(z)在ri(domf)上连续。
性质4．1．2．7’，0)是拟凸函数，则，(z)在ri(domf)上几乎处处连续。
性质4．1．2．7’的证明见Greenberg(1971)[32]．
性质4．1．2．8，(z)是凸函数，则，’@：∥)在ri(domf)上处处存在。
性质4．1．2．8’，@)是拟凸函数，则，’@：秒)在ri(domf)上几乎处处存在。
性质4．1．2．9，(z)在R“_I：--次连续可微，贝lJf(x)是凸函数营／(x)的Hessen矩阵
H在瞅上半正定。
性质4．1．2．9’，(z)在R”上--次连续可微，IDf|是D的j阶主子式，歹=o，1.．，n，
l或I=0。如果，@)在霹=伽∈R”k≥o)上是拟凸函数，则12I≤0，j『=1，2.．，扎。如
果lDil<0，j『=1，2.．，佗，则，(z)在霹上是拟凸函数。
K．J．Arrow和A．C．Enthoven(1961)[4]分别以稍微不同的形式证明了性质
4．1．2．9’。
性质4．1．2．10，(z)在彤上连续可微，则
，0)是凸函数§f(y)一，@)≥(W0)，彩一z》
性质4．1．2．10’，(z)在R”上连续可微，则，(z)是拟凸函数营当f(y)≤／(x)时，有
(W@)，Y—z)≤0。
性质4．1．2．II ，(z)是R”上凸函数，则f(x)的每一个局部极小值也是整体极小值。
性质4．1．2．II’，(z)是Rn上拟凸函数，则，p)的局部极小值是整体极小值，或者
在局部极小值的一个领域内f(x1是常数。
性质4．1．2．12凸函数的极小集是凸集。
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
性质4．1．2．12’拟凸函数的极小集是凸集。
性质4．1．2．12和性质4．1．2．12’是由凸函数和拟凸函数的水平集是凸集的这个事
实得来的，因为
卅厂(x’)≤厂(x)，x∈R”)=n∥IfCx')<-f(x)’。
JER4
性质4．1．2．13设X，】，分别是R”，R”中的紧缩子集，f(x，夕)是Xoy到酞的
实值函数。砂∈Y，Vx∈X f(x，Y)是x的凹函数。Vx∈X，f(x，Y)是Y的凸函数。f(x，Y)
连续，则f(x，y)存在鞍点(x‘，Y’)∈X(t)Y。
性质4．1．2．13’设X，】，分别是R一，R朋中的紧缩子集，f(x，Y)是Xo】，到R的
实值函数。Vy∈Y，Vx∈X f(x，Y)是X的拟凹函数且上半连续。Vx∈X，f(x，Y)是Y
的拟凸函数且下半连续，贝lJf(x，Y)存在鞍点(x‘，Y’)∈X(gY。
性质4．1．2．13就是Yon Neumann鞍点存在定理。性质4．1．2．13’是它的推广，证
明见Greenberg(1971)[323。
性质4．1．2．14，@)是R”上凸函数，／(0)s0，则有
厂(力x)≤2f(x)，0≤兄≤1。
性质4．1．2．14’，(z)是R”上拟凸函数，厂(x)≥厂(o)，则有
f(Ax)≤厂(x)，0≤名≤1。
这个性质称为压缩性质。
性质4．1．2．15，@)是R”上凸函数，f(0)=0，免∈R，则有g(2)=／(见力／2在允>0
时是单调增加的。
性质4．1．2．15’，@)是R“上拟凸函数，f(x)≥厂(o)，z∈R，则有g(五)=厂(触)在
名≥0时是单调增加的。
性质4．1．2．16，@)是R”上凸函数§Vx，y，g(名)=f[0一名弦+2y】是[o，1]上的
凸函数。
性质4．1．2．16’，(z)是R”上拟凸函数§Vx，y，g(a)=f[0一z弦+)ty】是[o，1]上
的拟凸函数。
性质4．1．2．17如果Z(工)是瞅上凸函数，f∈I，，是任意指标集，贝0 supZ(x)是R”
jE』
上凸函数。
性质4．1．2．17’如果Z(x)是瞅上拟凸函数，f∈I，I是任意指标集，则supf,(x)是
ieJ
Ⅳ上拟凸函数。。
性质4．1．2．18 厂(x)是R”到(咱，佃)的凸函数，F(y)是R到(咖，佃)的不减少凸
函数，则g(x)=兀厂@)】是R”上凸函数。
性质4．1．2．18’厂(x)是R”到(棚，佃)的拟凸函数，，(J，)是R到(-．-．oo，栩)的不减少
函数，则g(x)=FlY(x)】是瞅上拟凸函数。
21
性质4．1．2．18’的重要性在于不需要函数的凸性或者拟凸性质。
在共轭对偶、次微分等方面，凸函数与拟凸函数还有很多类似的性质。同时，既然
拟凸函数是凸函数的推广，那么还有一些性质是凸函数具有，但对拟凸函数不成立的。
1) 可加性
对于瞅上的凸函数f(x)，g(x)，当口，∥≥0时，af(x)+flg(x)是凸函数。
对于拟凸函数，这个性质不再成立。
例在R中，设
舶畔≯。巍2
胁，=R尸≮薯。
可以验证石(功，L(x)是拟凸函数，但是
f(x一1)2+1 0≤x≤2
Z(x)+五(x)={(x+1)2+l—2≤工≤o
I 2 其他
不是拟凸函数。
2) 下有界性
对于科上的凸函数．厂(x)，如果domf有界，则inf ．厂(x)>-．oo。。‘7 xEntdom(f)]。、’
对于拟凸函数，这个性质不再成立。
例在R中，设
I上0≤x<1
I x—l
八x)={0 x=1
I佃其他
【
容易验证／@)是拟凸函数，domf。Eo，1]。但是，。概(，)】厂(x)=—oo。
4．2拟凸风险测度的表示定理
4．2．1拟凸风险测度的表示定理
命题4．2．1．1(拟凸风险测度表示定理)设K是一个有限集Q上的所有实值函数
的空间。那么P：K—R是一个拟凸风险测度，当且仅当，它用下面的形式来表示，
p(X)=supR(Ee[一X】，a) (4．2．1．1)
Q
其中函数R定义为
RO，Q)=ig{p(孝)l岛卜孝】≥f) (4．2．1．2)
亡eK
-
22
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
R在对于第二个自变量是递增的，并且是联合拟凹的。
证明：(仨)显然的。
(j)分两步来完成：
1)首先证明p(X)≥supR(％【一x】，a)。
Q
由R(t，O)的定义有，R(t，Q)≤p(X)
所以有supR(t，O)≤p(X)。
下面证明p(X)≤supR(&I-X]，Q)。
Q
对于任意固定的X∈K，取s∈R，使得g>0。
对于闭凸集
e：={孝∈niP(C)≤p(．r)一占)
我们有X萑C。
由Hahn Banach定理，可以得到j口∈R，使得
岛【一善】<口<岛卜X】，Vf∈e。
所以对于e的补集
(e)c={孝∈nip(C)>夕(．r)一占)，有
{孝∈KI％[一孝】≥岛[一x】)￡(c：)c。(4．2．1．3)
所以，
supe(％卜x】，Q)≥尺(易【一x】，9
口
2礤{p(孝)l％卜胡≥％卜x】)
又因为，由(4．2．3)有
礤{p(孝)l％[一纠≥剐爿】)≥磐p(孝)Ip(f)>夕(x)一g>
≥p(X)一占
所以有p(X)≤supR(％卜x】，Q)。口
Q
4．2．2拟凸风险测度的凸风险测度的关系及拟凸风险测度的例子
命题4．2．2．2(拟凸风险测度与凸风险测度的关系)对于平移次不变性(现金次
可加性)来说，凸风险测度是拟凸风险测度，但是拟凸风险测度不是凸风险测度。
证明：(j)显然的。
(仁)反正不成立，反例在下面给出。口
例子4．2．2．3设OcCcL。是监管当局认为可以接受的未来头寸的集合，设C是凸
集，并且满足C+￡∈C，那么对于所有的m∈R，设’，(坍)表示在时刻T必须支付的In
单位的资产在初始时刻的价值。设
戊．，(X)暑inf{v(m)：X+m∈C>，栅∈r
如果v(m)=Dm，D∈(0，l】，那么Pc，(X)是一个凸风险测度。
一般来说，如果v：黔(哪，佃】是递增上半连续的，并且有’，(O)=0，那么，就有
Pc，，(X)=v(inf{m∈豫X+m∈C))=V(戌。，(X))，以∈F
对于任意的非放大(即1-1ipschitz)的1，，并且不是凸的，则有Pc，(X)是一个拟
凸现金次可加风险测度，但它既不满足凸性，又不满足现金可加性。
命题4．2．2．4设V：K专R是一个拟凸实值函数，∥也是拟凸函数，是y的Fenchel
共轭函数，风是凸且平移不变(现金可加)的风险测度，％是其罚函数。定义
p(x)：=po(-V(x)) (4．2．2．1)
则有
1) p(X)是拟凸且平移次不变(现金次可加)风险测度。
2) p(X)可以表示为
p(X)=sup{po(DX+fl(-D))}
De[0，l】
3) p(X)的对偶表示是
p(x)=sup{易卜DX]一a(Q，D))
DE【0，l】，QEP
其中
a(Q，D)：=ao(Q)+％[fl(-D)】。
证明：
1)证明p(X)是拟凸且平移不变的。
(4．2．2．2)
(1)单调递减性：由凤对于一y的单调递增性和P对于岛的单调递减性，可以推
出，P对于X是单调递减的。
(2)拟凸性：因为一y具有拟凹性，而且风有拟凸性和单调递减性，所以P有拟
凸性。
(3)平移次不变性(现金次可加性)：
p(X+，竹)+m=po(一v(x+M))+，"=po(-V(x+，行)-m)
对于m是单调递增的，如果一y(X+聊)一m对m是单调递减的。因为V>一1，所
以得证
2)证明(4．2．2．2)的表示形式。
p(一y(彳))2岛(矗§l(一Xy+∥(y)))2岛(蕊l(DX+fl(一D)))
因为扁是单调递减的，所以V西∈【0，1】，有
Po(㈣infl】(DX+fl(一D)))≥岛((腑+∥(一D))) (4·2·2·5)
设(4．2．2·5)中西=D’，其中D．是达到蕊】(DX+fl(一D)的值。
3)证明对偶表示形式(4．2．2．3)。
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
由,Co的对偶表示和(4．2．2．2)可以得到。
例子4．2．2．5
1)定义
p(x)-su。p{Po(DX)[口<D<6)
口
是一个拟凸平且移次不变(现金次可加)风险测度，它是对(4．2．2．1)取y(X)=6一a
时的特例。
2)定义
夕(X)=二E【(一X)+】(4．2．2．7)
，
'
也是一个凸且平移次不变(现金次可加)的风险测度，它是对(4．2．2．6)取a=0，b=一1，
，
风(·)=耳[一(·)】时的特例。
3)对于任意的执行价格K，定义
p(x)=二耳【(K—X)+】
厂
也是一个拟凸且平移次不变(现金次可加)的风险测度，它是对(4．2．2．1)取
一V(X)=一1 r11a)【(K—X，0)，po(X)=耳[K-X】时的特例。
4)如果风是一致风险测度，那么就有岛(x)=sup％【一x】，则对应于命题4．2．2．
掣
4，可以构造一致且平移次不变(现金次可加)的风险测度如下
p(X)=max p(—y(X))
其中
a(Q，D)=岛[fl(-D)】。
由文献Folimer(2009)[27]，对于任意的标准的非公理化概率空间(Q，F，P)，每一
个具有法则不变性的凸风险测度p(X)=sup％[-X]-p‘(Q)都满足Fatou性。法则不变
Q廿
性指：对于任意的X，】，∈P，如果它们具有一致的分布(彳～D，则有p(X)=p(即。Fatou
性等于P关于盯(P，Z)一拓扑的下半连续性(1．S．c)，而且我们非常需要得到Fatou性，
因为它可以将p的一个对偶表示写成是权重概率上的一个极大值，即
p(X)=sup易[-X]-p’(Q)，X∈r (4．2．2．7)
口_P
其中
P’(Q)#sup易【一棚一p(X)
xE0
对于(Q，乃上任意的概率测度Q《P。更一般的，由Follmer(2009)[27]的结果，对
于任意的非公理化的概率空间(Q，F，P)，任意的下半连续的法则不变性的凸函数
f：P专(棚，佃1(不一定是一个凸风险测度)关于盯(r，叠)～拓扑都是自动具有下半
连续性的。
命题4．2．2．6设(Q，F，P)是一个非公理化的概率空间，Cc r是一个在I|．11．～拓扑
中闭的凸集，具有法则不变性(即X∈C，并且Y∈C，那么】，～X)。那么对于任意的
q∈[1，-I-oO】，C关于a(m，口)一拓扑是闭的。
命题4．2．2．6的证明来源于Jouini(2006)[33]中的引理4．2。证明的思路类似于
Jouini(2006)[33]所列出的标准概率空间的证明过程，差别在于如果标定概率空间不是
标准的，那么测度不一定存在，对于这一问题我们不必考虑。
命题4．2．2．7设(Q，F，P)是一个非公理化的概率空间，设p：P一(硼，佃】是一个
法则不变(关于㈣。～拓扑)的下半连续(1．s．c)拟凸风险测度，那么对于任意的
q∈[1，+oo】，P关于任意的a(m，F)～拓扑是下半连续的。
所以在法则不变的凸风险测度p中，我们可以得到它在具有有界密度坦IdP的概
率中的一个对偶表示，如(4．2．2．7)。命题4．2．2．7对于标准情况和凸风险测度的引申
在文献Filipovic(2009)[23]中已经有所阐述。命题4．2．2．7可以由命题4．2．2．6立即
得到，因为风险测度P：P专(硼，佃】关于a(m，Lq)一拓扑的下半连续性与水平集
最．_{X∈r I厂(x)≤k)，k∈Ⅱ准a(m，口)～拓扑中闭是等价的，因此，风险测度P的
拟凸性(即定义4．1．2．1)等价于水平集的凸性。
4．3拟凸风险测度的最优化问题
尽管拟凸规划不能转化为带有一个Lagrange函数的鞍值问题，但是通过改进，我
们发现一定存在一个Lagrange乘数，由此我们可以得到无需可微性假设的全局理论。
由于拟凸函数的定义4．1．2．3和4．1．2．4，我们很自然的就会考虑拟凸函数在凸集
上的全局最小，因为对于拟凸函数，一个相对最小值不一定是一个全局最小值，所以下
面的结果非常有实际意义。
命题4．3．1设Xo∈C是拟凸风险测度p(X)的一个强性相对极小，即存在K的一
个领域S，使得对于所有的X∈CnS，Xo≠X，都有p(X)>p(xo)。那么K是p(X)在
C上的一个全局最小值。
证明：设存在五∈q，使得p(五)≤p(xo)。那么，对于0<IT，0<口’，I了_IT+a‘=l，
有p(ITXo+IT’五)≤p(Xo)。但是对于口‘是小的，ITXo+IT’五∈Snfl，是矛盾的。口
命题4．3．2使得p(X)达到最小的C中的点的集合是凸的。
4．3．1运用乘数理论
本文考虑拟凸最优化问题的形式如下：
rain p(X)
s．t． G(X)≤0 X∈C
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
其中C是Ⅳ的一个凸子集，p(X)是C上的一个拟凸风险测度，G(X)是从C到R肘
的一个凸映射。我们假定满足下面两条非常一般的条件：
1)p(x)是沿线上半连续的，即，对于任意的五，置∈C，对于口∈[O，1】，
p(aX,+O-a)X2)是口的一个上半连续函数。
2)存在一个五∈C，使得G(五)<0。
命题4．3．1．1存在一个^∈R”，凡≥0，Xo≠0，使得如果‰是问题(4．3．1．1)
取得最小值的点，那么而也是下面的问题的解。
曲厂{x) (4．3．1．2)
JJ． 凡’G(x)≤0
EN"设．k是(4．3．1．1)的解，设go=p(Xo)。碡的闭的负正态定限用N表示，
定义集合r，彳c碟
F={乙弘∈Q，s．t．G(X)≤z}
彳={z-弘∈Q，s1．G(X)≤z，p(X)≤胁)
由P和G的性质知，集合r和彳都是凸的。集合r是非空的，集合彳假设为非空的，
对于任意的正数磊来说，定理都是成立的。而且，通过风的定义，则有,4nN是非空的。
因此，通过超平面分离定理，存在一个石∈霹，使得对于所有的z∈彳，有硝z≥0；对
于所有的z∈iV，有石z≤0。
假设存在一个Z,2∈F满足硝z2=0。设五∈Q是任意的向量，使得
G(五)≤乞。
设置是根据假设2)选择的，那么就有
G(五)=弓<0。
因为毛，乞∈F并且r是凸的，则对于口∈【0，1】，有
乙=口zl+(1一oOz2∈F。
同样，通过选择毛和乞，可以使得对于口∈[0，1】，有乞叠彳。因为G是凸的，那么
G(aX,+(1一口)五)≤乞，
由此可以得到对于口∈(0，l】，有
p(口五+(1一口)五)≥风。
然后因为P是沿线上半连续的，所以
p(置)≥风。
因为满足G(五)≤Z2的五∈Q是任意的，所以乞仨彳。因此，由Xo的定义，对于Z仨彳，
有式z≤o，同时因为己知气z=0意味着z仨彳，所以我们可以推出式z≤o意味着z仨彳。
因此，由X∈Q，硝G(x)≤0可以推出p(X)≥鳓。因为K对于(4．3．1．1)是可行的，
所以可以立即得到是(4．3．1．2)的解。口
命题4．3．1．1的结果可以改述为：％是(4．3．1．1)的解，当且仅当存在一个向量
凡，使得(％，厶)是K(x，五)在CxS上的一个鞍点，其中，S是R肼中的单纯形，
s={允：旯≥o，Σ三。五=1)，
并且有
.，《?翥羹淼嚣
此时K是X的拟凸函数，是五的拟凹函数，但是不满足极小极大定理中的下半连续
性条件。
命题4．3．1．1有一个经典的类似定理就是凸规划中的Lagrange定理，Lagrange定
理最关键的一点就是将一个有约束的最小化问题转化为一个无约束问题。现在我们可以
用命题4．3．1．1将一个有m个凸约束的问题转化为一个只有单个凸约束的问题。经典理
论中的对应关系只在一个方向成立，反之未必成立，因为如果K是(4．3．1．2)的解，
那么K未必是(4．3．1．1)的解。可以增加一些额外的条件以保i正G(Xo)≤0，例如鞍
式条件。
在经典的理论中，Lagrange乘数的In个元素必须决定，在命题4．3．1．1中向量不中
的每一个坐标必须是正的，因此对于未知的约束的权衡在两个定理中几乎一致。
一般情况下，对于拟凸函数规划问题，我们不能得到像凸规划中的凡’G(K)=0。
例如，如果有函数
厂c西，而，={?i：三三：
则问题
rain f(xa，而)
s．f．xa≤O，X2≤0
等价于
min f(xa，x2)
sJ．xa+而≤0
则凡’=(1，1)。但是，％’(-I，一1)是第一个问题的解，并且凡’6(Xo)=-2。相
对最小不必是全局最小这一事实，引发了这种现象。
命题4．3．1．2设Xo是(4．3．1．1)的解，定义硒=p(Co)。那么或者存在一个豆∈C，
使得G(豆)<o，雉t p(20)=IZo，或者存在一个凡≥o使得K是(4．3．1．2)的解并且
有凡’G(K)=0。
证明：定义凸集Bc碟
B={z：丑X∈Q，sJ．G(X)≤z，p(X)≤风)
如果不存在兄满足定理的第一个假设条件，那么B不包含负正态定限N的内点。
因此，由超平面分离定理，存在一个厶≥o使得对于所有的z∈B，有石z≥0。点
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
Zo=G(Xo)既在B中又在N中，因此石G(K)=0。口
4．3．2运用对偶理论
设F∈R”是一个凸集，定义为
I'={z：3x∈C，s2．G(x)≤z) (4．3．2．1)
在凸集r上定义原始函数
co(z)=inf{p(x)：G(x)≤z，z∈C} (4．3．2．2)
命题4．3．2．1原始函数彩在r上是拟凸的并且沿线上半连续。
证明：给定实常数c，设毛，Z2∈rilia=国(z,)<c，功(乞)<c。那么存在五，五∈Q，
使得G(五)≤气，G(．k)≤Z2，p(五)<c，p(五)<C。对于任意的口>0，口+>0，
口+口‘=1，有
co(azl+货‘乞)=inf{p(X)：X∈Q，G(X)≤口刁+口‘乞)
≤p(aX,+口’五)<c。
因此国是拟凸的。
为了证明上半连续性，必须证明在任意曲线的右边结尾处国是上半连续的。给定
毛，Z2∈F，占>0，选择墨，五∈Q，使得G(五)≤毛，G(五)≤Z2，p(五)<国(z2)+g。
那么
。li．E。(2)(atZI+口’乞)≤l。i．m。p(aXl+口‘置)≤p(五)<彩(乞)+占
引入职的正态定限上的对偶函数
∥(名)=mf{p(X)：X∈QA’G(．Y)≤0) (4．3．2．3)
一般的情况下，∥(旯)可能不是有限的。设D是正态定限的子集，∥(名)在D上是有
限的。口
命题4．3．2．2对偶函数可以用下面的形式表示
∥(五)=inf{o(z)：旯’Z≤0，z∈r> (4．3．2．4)
证明：恒等式对于允≥0成立：
inf{p(X)：X∈Q，五’G(X)≤0)=.inf—hlf{p(x)：X∈Q，G(X)≤z}
zel．^。z<O
则可以得到引理的结果口
命题4．3．2．3对偶函数∥在r的对偶集合D上是拟凹并且上半连续的。
证明：给定一个实常数c，定义一个凸集
K={z：国(z)<c，z∈r>。
设K+={旯：力’z≥O，z∈K)。
K+显然是一个闭凸锥，而且有K+3饥：∥(旯)≥c>。类似于命题4．3．2．2，可以得
到由兄∈K+，名’z=0能推出z仨K。因此K+={力：∥(五)≥c)。因为尺+是闭且凸的，所以
∥是拟凸并且上半连续的。口
命题4．3．2．4假设胁=i叫p(x)：G(X)≤0，X∈C)是有限的。那么go=田野∥(兄)，
并且对于一些凡≥O达到最大值。
证明：从(4．3．2．3)可以立即得到，对于所有的五≥0，有∥(五)≤风。所以只需找
到一个矗≥0使得等式成立。
用原始函数国的定义来决定风=inf{p(X)：G(X)≤0，X∈Q)的问题等价于最小化问
题’
／Zo=nliIl{缈(z)：z≤0，z∈r) (4．3．2．5)
(4．3．2．5)在z=0的时候取最小值。问题(4．3．2．5)是问题(4．3．2．6)的一个
对称表示。
鳓=maX{∥(五)：A>0，A∈D) (4．3．2．6)
(4．3．2．6)在厶上取最大值。我们在定义∥的时候给出的齐次性约束，实际上会
影响我们给出一个完美的对偶，因为∥的对偶不是CO。口
4．3．3上述理论对比凸风险测度最优化
在此，Lagrange乘数仍然有敏感性。由(4．3．2．4)直接得到，硝z≤O意味着
彩(力≥国(o)=胁。因此，如果∞是连续可微的，在国(z)的负梯度方向上，有z=O。但是，
厶的数量不一定与梯度的数量相关，因为实际上厶中的每一个坐标只能在正的范围中
选择。
如果p(x)是凸的而不是拟凸且非凸的，那么运用命题4．3．1．1，可以将问题
(4．3．1．1)可以转化为问题(4．3．1．2)。这就成了一个只有单个约束的凸规划问题，
可以转换为manp(X)+p&’G(x)，X∈C(13)，
其中∥≥0是凸问题(4．3．1．2)的Lagrange乘数。在这种情况下，九中不确定的
坐标也就可以确定了。
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
5总结
金融风险管理是现代金融理论的三大支柱之一，而风险管理的基础工作是运用金融
风险测度对风险进行度量，本文在已有的一致风险测度和凸风险测度的理论基础之上进
行了更深层次的研究，主要有以下成果：
1)总结了一致风险测度和凸风险测度的可接受集、对偶表示定理和罚函数的表达
形式。研究了一些风险测度的例子，给出了CVaR的一个推广，记为GCVaR，使得它是凸
风险测度，并给出了它的罚函数的具体表达式；给出了基于熵的一种凸风险测度，讨论
了对于其中权重∥的不同选择，这种凸风险测度及其罚函数的具体表达式；随后对于凸
风险测度的投资组合选择问题进行了研究，给出了基于对偶规划的最优化命题，给出了
一个基于CVaR的投资组合的实例，并简要讨论了其数值计算问题。
2)给出了拟凸风险测度的定义，类似于一致风险测度和凸风险测度，运用对偶方
法给出了拟凸风险测度的表示定理。同时还研究了拟凸风险测度与凸风险测度的关系，
运用乘数理论和对偶理论讨论了基于拟凸风险测度的最优化问题的一些特征。
由于时间有限加之本人水平有限，本文没有给出具体的实证分析，这些问题都尚待
以后继续研究并加以解决。
致谢
本文是在我的导师赵培标教授的精心指导和帮助下完成的，从论文的选题到论文思
路的形成到论文完成都离不开赵老师的悉心指导。赵老师不仅以渊博的知识指导我的论
文写作，而且以诚恳的人格魅力、正心育人与严谨的治学态度教导我们怎样做人，在此
表示深深的敬意和谢意。
其次，感谢南京理工大学图书馆。在这里我找到了很多对于我的论文起到极大帮助
的文献与资料。
再次，感谢给予我帮助和支持的同学与舍友。
最后，感谢我的家人，感谢他们一直以来在学业上给予我的大力支持和鼓励，在生
活上给予我的无微不至的照顾和关心，他们为我所付出的一切令我今生难忘。
感谢所有关心和帮助我的人1
32
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
参考文献
[1]Acciaio B．Optimal Risk Sharing with Non—monotone Monetary Functionals．
Finance and Stochastics，2007，11，267—289
[2]Acerbi C，and D Tasche．On the coherence of expected shortfall．Journal
of Banking＆Finance，2002，26
[3] Acerbi C． Spectral measures of risk：A coherent representation of
subjective risk aversion．Journal of Banking＆Finance 2002，26
[4]Arrow K J，Enthoven A C．Quasi—concave Programming．Econometric，1961，29，
779-800
[5] Artzner，F Delbaen，J M Eber，and D Heath．Coherent Ri sk Measures．
Mathemat i cal Fi nance，1999，9，203—228
[6]hrtzner，F Delbaen，J M Eber，D Heath，and H Ku．Coherent Multiperiod
Risk—Adjusted Values and Bellmann’S Principle．Annals of Operations Research，
2007，152
[7]Barrieu P，and N E1 Karoui．Optimal Derivatives Design under Dynamic Risk
Measures．Mathematics of Finance，2004
[8]Boyd S，and L Vandenberghe．Convex Optimization．Cambridge University Press，
2003
[9]Carr P，H Geman，and D B Madan．Pricing and hedging in incomplete markets．
Journal of Financial Economics，2001，62，131—167．
[10]Cheridito P，F Delbaen，and M Kupper．Dynamic Monetary Risk Measures for
Bounded Discrete—Time Processes．Preprint，ETH Zurich，2004
[11]Dana R A．A Representation Result for Concave Schur Concave Functions．
Mathematical Finance，2005，15，613—634
[123 Delbaen F．Coherent Risk Measures．Lecture Notes at Cattedra Galileiana
at Scuola Normale di Pisa，2000
[13]Delbaen F．Coherent measures of risk on general probability spaces：in
Advances in finance and stochastics．Springer—Verlag．2002
[14]Doege J，n J Luthi，Ph Schiltknecht，and G Unger．Risk Management of Power
Portfollos and Valuation of Flexibility．Technical Report，IFOR，ETH Zurich，
2003
[153 Dos Santos Eleuterio．Credit Risk Portfolio Optimization Notes for the
33
Approximation Algorithm．Technical Report，IFOR，
[16]Drapeau S，and Kupper M．Risk Preferences and
prepri nt，2009
[17]Ely6s Jouini，Moncef Meddeb，and Nizar Touzi．
measures．Finance and Stochast ics，2004，8
ETH Zurich，2004
their Robust Representations，
Vector—。valued coherent ri sk
[18]E1 Karoui，Kapoudjian，Pardoux，Peng，and M C Quenez．Reflected solutions
of backward SDE’S and related obstacle problems for PDE’S．1997，25，2，702—737
[19]Fenchel W．On conjugate convex functions．Canadian Journal of Mathematics。
1949，1，73—77
[20] Fenchel W．Convex cones，sets and functions．Princeton University．1951
[21]Filipovic and Kupper．Equilibrium Prices for Monetary Utility Functions．
2008，1 1，3，325—343
[22]Filipovic D，and Svindland G．0ptimal Capital and Risk Allocations for
Law-Invariant Convex Cash—Invariant Functions．Finance and Stochastics，2008，
12，423—439
[23] Filipovic D，and Svindland G．The Canonical Model Space for Law—invariant
Convex Risk Measures．Mathematical Finance，forthcoming，2009
[24] Follmer H，and A Schied．Convex Measures of Risk and Trading Constraints．
Finance＆Stochastics，2002，6(4)，429—447
[25]Follmer H，and A Schied．Robust Preferences and Convex Measures of Risk．
Finance＆Stochast ics，2002，6(4)，429—447
[26] Fol lmer H，and A Schied．Stochastic Finance，An Introduction in Discrete
Time，2004，2
[27] Fol lmer H，and A Schied，and Weber S．Robust preferences and robust
portfol io choice．Handbook of Numerical Analysis，XV，Mathematical Modeling and
Numerical Methods in Finance，2009，29—89
[28]Frittelli M．Representing sublinear risk measures and pricing rules．
Working paper，Univesita Bicocca di Milano，Italy，2000．
[293 Frittelli M’and E Rosazza Gianin．Putting order in risk measures．Journal
of Banking and Finance，2002，26，1473—1486
[30]Frittelli M，and E Rosazza Gianin．Dynamic convex risk measures．Risk
Measures for the 2 1 st Century，2004
[31]Frey R，and A McNeil．VaR and expected shortfall in credit portfoliOS：
Conceptual and practical insights．Journal of Banking＆Finance，2002，26
34
硕士论文拟凸风险测度的表示及其性质
[32] Greenberg H J，and Pierskalla W P．A review of quasi—convex functions．
197l，19，1553-1570
[33] Jouini E，Schachermayer W，and Touzi N．Law—Invariant Risk Measures have
the Fatou Property．Advances in Mathematical Economics，2006，9，49—71
[34] Jouini E，Schachermayer W，and Touzi N．optimal Risk Sharing for Law
Invariant Monetary Utility Functions．Mathematical Finance，2008，18，2，269—292
[35] Jean-Pierre Crouzeix．Continuity and differentiability of quasiconvex
functions．Nonconvex Optimization and It’S Applications，2005，76，1，121—149
[36] JP Morgan．Risk Metrics．New York，1994
[37] Kaina M，and Ruschendorf L．On Convex Ri sk Measures on Lp—spaces．Math
Methods，2009，3，475—495
[38] Maccheroni F，Marinacci M，and Rustichini A．Ambiguity aversion，
robustness，and the variational representation of preferences．Econometrica，
2006，74，1447—1498
[39] Markowitz H M．Portfol io Selection．Journal of Finance，1952，7，77—91
[40] Marinacci M，and Montrucchio L．Concavity and supermodularity．Journal
of Mathematical analysis and Applications，2008，642—654
[41] Nesterov Y．Smooth Minimization of Non—Smooth Functions．Mathematical
Programmi ng，2003
[42]Penot J P．Glimpses upon quasiconvex analysis．2007
[43] Rockafellar R T．Convex Analysis．Princeton University Press，1970
[44] Rockafellar R T，and S Uryasev．Optimization of Conditional Value—at—Risk．
The Journal of Risk，2000，2(3)，21—41
[45] Rockafellar R T，and S Uryasev．Conditional Value—at—Risk for General Loss
Distributions．Journal of Banking＆Finance，2002，26，1443—1471
[46] Rockafellar R T，S Uryasev and M Zabarankin．Deviation measures in risk
analysis and optimization．Research Report 2002—07，Department of Industrial
and Systems Engineering，University of Florida，2002
[47] Ruszczynski A，and A Shapiro．Optimization of Convex Risk Functions．
Economics Working Paper Archive at WUSTL，2004
[48] Staum J．Fundamental theorems of asset pricing for good deal bounds．
Mathematical Finance，2004，14，141—161
[49] Stefan Jaschke，and Uwe Kuchler．Coherent risk measures and good—deal
bounds．Finance and Stochastics，2001，5(2)
35
[50] Szego G．Measures of risk．Journal of Banking＆Finance，2002，26，
1253—-1272
[51]Tversky A，and D Kahneman．Advances in prospect theory：Cumulative
representation of uncertainty．Journal of Risk and Uncertainty，1992，297—323
[52] Weber S．Distribution—invariant risk measures，entropy，and large
deviations．2007，44，1，16—40
[533 刘光中．拟凸函数的一些性质．成都科技大学学报，1982，2，37-46
[54] 史树中．凸分析．上海科学技术出版社，1990
[553 张卫国．现代投资组合理论：模型、方法与应用．科学出版社，2007
[56] 冯德兴．凸分析基础．科学出版社，1995
[57] (法)J F博南，(美)A夏皮罗著，张立卫译．最优化问题的扰动分析．科学出
版社，2008
[58] 齐玲．现代经济理论中的凸分析．社会科学文献出版社，2005
[59] 魏权龄，闫洪．广义最优化理论和模型．科学出版社，2003
[60] 陈宝林．最优化理论与算法．清华大学出版社，2005
[61] 叶中行，林建忠．数理金融：资产定价与金融决策理论．科学出版社，1998
[62] 张永林．数理金融分析：基础原理与方法．经济科学出版社，2007
[63] 史树中．金融学中的数学．高等教育出版社，2006