复旦大学
硕士学位论文
单因子利率期限结构模型的非参数估计
姓名：毛杰
申请学位级别：硕士
专业：金融学
指导教师：谢为安
20070520
论文独创性声明
本论文是我个人在导师指导下进行的研究：I：作及取得的研究成果。论文中除
了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的
研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明
并表示了谢意。·
作作者者签名签： 名丝：；≤丕!；：=圣=日嗍期：
论文使用授权声明
本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留
送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内
容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此
规定。作者签名：二选导师签名： 期： 堋、6、tE
摘要
摘要
利率期限结构是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投
机等的基准，所以利率期限结构一直以来就是金融学研究的重点。此外，随着
我国债券市场的发展，金融创新的不断深入以及利率市场化进程的逐步推进，
利率期限结构问题研究的重要性日益凸现。基于这些背景，本文以利率期限结
构为主要研究对象。
在理论方面，本文首先对国内外有关利率期限结构的理论研究和实证分析
进行了系统地介绍，分析了目前国内外利率期限结构的研究现状。接着详细论
述了具有代表性的单因子利率期限结构模型，如Merton模型、Vasicek模型和
CIR模型等。并在此基础上介绍了广义矩估计法和非参数方法．
在实证方面，本文以银行间7天回购利率为样本数据，用广义矩估计法对
Vasicek模型和CIR模型进行参数估计，同时用非参数方法对CKLS连续时间利
率期限结构模型统一框架下的模型进行了估计，并对这两种估计结果进行了简
单的分析，且与美国的情况作了对比分析，此外，还在漂移函数、扩散函数和
边际密度函数等三方面对参数方法和非参数方法也进行了详细的比较分析，最
后得出非参数方法优于参数方法。
关键字：单因子利率期限结构非参数估计
中图分类号：F830．91
Abstraet
Abstract
As term structure ofinterest rate is the benchmark for asset-pricing，hedging，risk
management,arbitrary and even monetary policy—making,so it has long been the
research center in finance．With the development of bonds market,the deepening of
financial innovations and the promotion ofinterest rate marketization,the significance
of term structure of interest rate has become increasingly manifest in China．
Considering these background，the author has chosen the term structure ofinterest rate
as the subject ofstudy．
First and foremost in this paper,term structure of interest rate has been
systematically elaborated both theoretically and empirically，presenting a picture of
the status quo of the interest rate term struetare study home and abroad．Then by
starting with the introduction of the representative one-factor term stnlcture models，
including the Merton model，Vasicek model，CIR model and so on,more detailed
in—depth discussions aboutGMM and nonparametric technique has been taken,
In the following section,GMM has been applied to estimate the Vasicek model
and CIR model by using the sample data of seven-day repurchase rate in China
inter-bank bond market．At the sanle time，with the aid ofthe nonparametric technique，
the author has also estimated the CKLS model、析th the soJl-le data above．After that,
the estimated results have been briefly analyzed and compared to the result from the
US data．Finally,the author has compared nonparametric model and GMM through
three respects as of density function,diffusion function and drift function,and come
to a conclusion that nonparametric model is better than parametric one．
Key words：one-factor,term structure ofinterest rate，nonparametric
Classification eode：F930．91
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单因子利率期限结构模型的非参数估计
引言
第一节研究意义
利率期限结构的理论是金融研究中最具有挑战性的课题之一，也是金融学研
究的重点。随着我国利率市场化的逐步实现，利率期限结构研究具有更多的理论
意义和现实意义。
(1)利率期限结构的研究直接影响着各种固定收益证券及金融衍生产品的定价。
因为目前的资产定价思路就是将各期已知的现金流或期末已知的现金流进行贴
现，然后得出当前的理论价格，在这个过程就要用利率来进行贴现，所以利率的
正确与否直接影响着资产的定价是否正确。尤其是利率衍生产品的定价，因为它
的标的资产完全由利率决定，所以利率对利率衍生产品的影响更加明显。此外，
利率期限结构研究也符合了开发新型金融产品、进行金融创新的需要。经济全球
化的今天，金融创新己经成为国际化的潮流，利率衍生产品如利率互换、利率期
货、利率期权、浮动利率等在最近20年发展迅速，这些都与利率期限结构的研究
密切相关。
(2)利率期限结构的研究加强了利率风险管理的理论基础。目前我国的利率风
险管理意识相当薄弱、技术还是相当落后，这与利率不是市场化是分不开的。随
着我国利率市场化进程的加快，金融机构不得不加强和提高利率风险管理技术，
这就需要深入地研究利率期限结构，否则就不能精确地识别自身利率风险的暴露
程度，也就不能设计出规避利率风险的金融工具，在现代金融环境下，将难以保
证金融资产的安全。
(3)从公司层面上来说，对利率期限结构的研究也是很重要的。因为公司在进
行投资决策时，需要对它的策略所带来的收益与机会成本和资本成本进行比较，
如果前者大于后者，这个策略是可取的，反之则反。而机会成本和资本成本的预
期取决于利率。所以如果不对利率期限结构进行深入的研究，企业或公刮就不能
做出正确的抉择，这就会影响公司的最终业绩。
(4)从宏观层面上来说，对利率期限结构的研究也是相当重要的。短期利率和
长期利率之间的关系对货币政策的传导机制是十分重要的，因为货币当局可以控
制短期利率，只要短期利率与长期利率之间存在稳定的关系，当局就可以控制长
期利率，进而可以影响实物经济。此外，长短期利率差(spread)包含了关于未来
利率、通货膨胀以及实物经济行为的信息。例如货币当局和政策制定者可以把收
益率差作为经济通胀压力的指标。
引言
第二节研究对象、方法与创新之处
研究对象
根据基准利率的选择依据(可控性、稳定性、关联性和反映市场的能力)并
结合实际情况，选择银行间回购利率作为我国现阶段的基准利率是切实可行和合
理的。本文就选择银行问回购利率作为研究对象来分析我国的利率期限结构。具
体参考第四章第一节。
研究方法
本文用参数方法和非参数方法来研究单因子利率期限结构问题，主要运用
了实证分析和比较研究相结合的方法。在分析我国的利率期限结构问题的时候，
本文主要采用了实证分析的方法。实证分析重在强调客观依据，研究经济活动
的内在规律性，一般是利用统计和计量经济工具，通过建立计量经济模型，运
用回归分析等统计技术进行分析。具体如下：
(1)明确问题，提出理论假设；
(2)收集数据，并初步整理；
(3)建立计量经济模型；
。
(4)应用模型处理数据；
(5)对实证结论进行分析。
在实证结果分析时，本文对中国情况和美国情况进行了对比分析，同时也
对各个模型所得出的实际结果进行了比较研究。
创新之处
基于前人的基础之上，本文有以下创新点：
(1)本文在利率过程服从马尔可夫过程及相对利率水平服从独立同分布等的
假定前提下，得出了利率的连续时间模型的一般表达式。
(2)由于参数估计方法存在着一定的缺陷，所以本文采用了非参数方法对利
率期限结构模型进行估计，并且利用我国银行间7天回购利率来进行实证分析。
第三节本文的主要内容
本文先以单因子连续时间利率期限结构模型的统一框架为基础，分别采用
了广义矩估计法和非参数估计，通过matlab编程，使用了银行间7天回购利率
数据对单因子连续时间利率期限结构模型进行估计，并进行分析。具体内容如
下：
4
单因_『利率期限结构模碰的非参数估计
第一章是利率期限结构的概述。简单介绍利率期限结构的概念，并从理论
模型和实证分析两方面系统地阐述了国内外研究现状。
第二章单因子利率期限结构模型。首先讨论了利率的变动情况，最后推导
出单因子模型的一般表达式。然后在CKLS连续时间利率期限结构模型的统一
框架下，分别详细介绍了Merton模型、Vasicek模型、Cox—Ingersoll—Ross模型。
第三章是单因子利率期限结构的非参数估计。主要介绍了两种估计方法：
广义矩估计和非参数估计。利用这两种估计方法对CKLS连续时间利率期限结
构模型建立了估计模型。最后还介绍了其他几种非参数估计方法。
第四章是实证分析。主要对本文所建立的利率期限结构模型进行实证研究
并进行结果分析，最后还在漂移函数、扩散函数和边际密度函数等三方面对参
数方法和非参数方法也进行了详细的比较分析。
第五章是结论及建议。本章对全文进行了总结并给出建议。
从内容的结构上看，本文主体部分可以分为两大部分：第一部分是利率期
限结构理论模型的介绍和估计模型的建立，第二部分是实证分析及结果比较。
第。‘章利率期限结构的概述
第一章利率期限结构的概述
第一节利率期限结构简介
利率期限结构(Term structure ofinterest rate)描述的是债券收益率与其期限
之间的关系。所使用的债券应该有相同的风险，应该处于同一税收地位，并且用
即期利率来构建收益率曲线。对于零息票债券，到期收益率与即期利率相同。因
此，金融债券的收益可用于收益率曲线。但是期限长于一年的零息票债券的到期
收益率则不能用作即期利率。在美国的利率期限结构中利用息票剥离到期收益率
的方法得到即期利率，但其中有三个基本的问题：首先，息票剥离市场的流动性
不像金融债券市场那么大：第二，特定的投资者基于他们的需要或者由于某个期
限的债券具有一些吸引人的特点，也许只愿意投资于某个期限的债券；第三，剥
离债券的税收与零息票债券的税收水平是不同的。
由上述定义可见，研究期限结构就是研究利率与时间(或期限)的函数关系。
收益率曲线是描述利率期限结构的重要工具。一般而言，在风险、流动性、税收
等方面相同的债券，由于债券的期限不同，利率也会有所不同。根据这些债券的
收益率绘成的曲线称为收益率曲线。因此债券的收益曲线反映的则是在一定时点
上不同期限债券的到期收益率与到期期限之间的关系，它表示的是债券的利率期
限结构。收益率曲线的形状主要有向上倾斜，平缓、向下倾斜和拱形四种情况：
(1)当预期市场收益率会上升时，债券的期限越长则其收益率越高，这意味着向
上倾斜的收益曲线类型；(2)当预期市场收益率会下降时，债券的期限越短则其
收益率越高，即向下倾斜的收益曲线类型；(3)如果预期市场收益率不会变化，
则不同期限的债券其收益率是相同的，即平缓的收益曲线类型；(4)如果预期市
场收益率先升后降，则先是债券的期限越长其收益率越高，然后变为债券的期限
越短其收益率越高，即拱形的收益曲线。
然而，上述描述的是传统利率期限结构理论所研究的主要内容。利率期限结
构理论还包括另一块重要内容，就是现代利率期限结构理论，即研究在给定的时
刻预期未来收益率的变化趋势，这是本文的研究重点。
第二节利率期限结构的文献综述
1．2．1飘率朝限结构的理论模型综述
利率是金融市场最基本和最重要的价格变量之一，尤其是短期利率。因为固
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单因子利率期限结构模型的非参数估计
定收益证券以及金融衍生产品的价格与短期利率的运动情况密切相关，尤其是利
率衍生产品。此外，从公司层面上来说，利率也是很重要的，因为大多数投资决
策基于对机会成本和资本成本的预期上，而这两种成本的确定也与利率有关。另
外，短期利率在货币政策传导中也处于主导地位。鉴于其重要性，学者们提出了
许多利率期限结构理论和模型来解释利率的行为。
在文献中，一般把利率期限结构的理论概括为两大部分：传统利率期限结构
模型和现代利率期限结构模型，而现代利率期限结构模型又可以分为：均衡模型
和无套利模型。用图表示如下：
利率期限结构模型
传统利率期限结构模型{流动性偏好理论
f纯预期理论
I市场分割理论
现代利率期限结构模型
均衡模型瓣模爿麟
多因素模型{：：嚣
无套利模型
Ho—Lee模型
Hull-White模型
B—D一膜型
日一J一^恻等
所谓传统的利率期限结构理论，指的是70年代末实行利率市场化政策以前形
成的理论，主要是从定性的角度讨论市场上存在的利率期限结构的形状、它们形
成的原因以及它们所代表的含义。传统的期限结构理论主要有三种，分别是纯预
期理论、市场分割理论和流动性偏好理论。
纯预期理论首先I扫lrving于1892年提出，该理论认为利率的期限结构主要建
立在投资者对未来利率的预期上，投资者对未来利率的预期是影响利率期限结构
的主要因素。长期债券利率等于人们预期在长期债券期限内将出现的短期利率的
平均数。所以，纯预期理论对期限不同的利率存在差异的解释是因为人们对短期
利率有着不同的预期。
流动性偏好理论是I捆Hicks于1946年提出，它认为风险和预期是影响利率期
限结构的两大因素，因为经济活动具有不确定性，对未来短期利率是不能完全预
期的。到期期限越长，利率变动的可能性越大，利率风险就越大。投资者为了减
少风险，偏好于流动性较好的短期债券。而对于流动性相对较差的长期债券，投
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第|章利率期限结构的概述
资者要求给予流动性报酬(风险报酬)，流动性偏好理论被认为是纯预期理论和市
场分割理论的融合和折衷。
市场分割理论是由Culbertson于1957年提出，该理论认为不同期限的债券完
全没有替代性，任何期限的债券收益率完全由该种债券的供求因素所决定，而不
受任何其他期限债券的影响。
由于传统利率期限结构无法解决现实的许多问题，所以，许多学者提出了
现代利率模型来模拟实际收益率曲线。
第一个现代利率框架是由Merton(1973)提出，他首先提出了一个简单的单因
子模型。该模型优点是表达式简单。主要缺陷对利率非负的破坏以及对均值回复
性的破坏。
Ⅷicek(1977)首先给出了均值回复的期限结构模型以克服上述模型的缺
陷。他用Ornstein-Uhlenbeck过程来描述短期利率过程。该过程有一个均值回复
的性质，这与市场上观察到的利率的实际行为是一致的。但是，该模型有几个
缺陷：第一，利率会出现负值；第二，存在套利机会：最后，风险的市场价格
是常数。
利率出现负值的问题是由Dothan(1978)、Courtadon(1982)以及Cox、Ingersoll
和Ross(C1R)(1985)解决的，其中Courtadon提出了单因子对数模型，而Cox、
Ingersoll和Ross提出了平方根模型，该模型能够得出贴现债券和欧式看涨期权的
解析表达式，正是由于这个原因，它被广泛应用于实际中。该模型具有均值回复
性以及非负性。
但是，单因子模型无法解释利率的大幅波动问题，因此，Brennan和
Schwartz(1979)认为利率过程只取决于一个因子的假定是不现实的，因为这意味
着不同到期日的债券的瞬时收益率是完全相关的。因此，他们对CIR(1985)模型
进行了扩展，提出了多因子模型，使模型包含了短期利率和长期利率。Fong和
Vasieek于1991年将Vasicek模型进行扩展，提出了两因子模型，其重要改进就是
在原来服从Ornstein-Uhlenbeck过程的利率中增加了随机方差项。该模型的缺陷是
对非负性的破坏：由于冲击项的波动系数是非负的。同样，Longstaff和Schwartz
(1992)在CIR(1985)模型的框架下提出了一个两因子的一般均衡模型，其中的两
个因子分别是短期利率和其瞬时方差。利率取决于方差的模型能比较好地解释现
实的收益率曲线。其优点是利率风险的市场价格是模型内生的，还有瞬时短期利
率及短期利率的波动率在实际中容易得到。该模型的缺点：没有考虑长期利率对
债券价格的影响。
上述模型在对利率衍生产品定价的问题上所使用的方法是十分相似的。它
们假定利率过程是给定的，从而可以外生推导出期限结构。它们之所以被称为
单因7利率期限结构模型的非参数估计
是均衡模型，是因为它们选择利率过程的根据是期限结构必须与均衡经济相一
致。虽然一般均衡方法是很有用的，因为投资者可以决定债券的公平价格，但
是它引起了套利机会的出现。然而，在一般情况下，一个模型的所需满足的条
件就是无套利机会。
Ho与Lee(1986)率先提出了无套利利率模型。他们认为期限结构是给定的，
然后推导出合适的期限结构的运动情况。此方法确保了债券的理论价格是完全
取决于观察到的期限结构。但是该模型存在一个缺陷，就是没有均值回复的性
质，而且所有的即期利率和远期利率都是相同的。
为了克服上述问题，Hull与White(1990)把无套利方法运用到了具有均值回
复特性的CIR(1985)模型和Vasicek(1977)模型中，即对这两个基本模型进行了
扩展。该模型的优点是它与目前期限结构和所有利率的目前波动率是一致的。
此外，扩展的Vasicek模型是容易得到的。同样，Black、Derman和Toy(1990)
与Black和Karasinshi(1991)基于Vasieek模型的扩展形式上提出了对数模型以
克服利率出现负值的情况。
最后，Heath、Jarrow和Morton(HYMl(1992)从一个崭新的角度发展了利率的
建模理论。他们先导出远期利率，所以比较方便地拟合期初的收益率曲线。角度
上的转换可以推导出漂移率和波动率之间的关系，从而有助于模型的实证分析。
但是，该模型的一个缺陷是即期利率过程是取决于历史，是历史的结果，所以，
该模型是非马尔可夫结构。为了解决问题，一些学者研究了在什么条件下即期利
率过程是具有马尔可夫性质的。例如，Carverhill(1994)，Rithchken和
Sankarasubramanian(1995b)，Inui和Kijima(1998)，Bhar和Chiarella(2001)。
利率期限结构的最新发展
近几年来，利率期限结构模型有了新的发展，具有代表性的有市场模型、随
机跳跃过程模型以及随机折现因子模型等1。
Brace，Gatarek和Musiela(1995)，Jamshidian(1996)分别提出了一种方法，
该方法用市场可以观测到的变量来进行建模，后来统称为市场模型。市场模型是
直接处理可观测的市场数据的模型，这些数据包括LIBOR或有限期限的互换利率
等。由于市场模型把期权价格和市场利率直接联系起来，所以在利率衍生品定价
上有着广泛的应用，虽然该模型是建立在HJM方法的一般框架之下，但是由于它
结构简单，可以得出利率上限、利率下限和互换期权的封闭解，而且对于更复杂
的衍生产品进行定价时，用市场模型更容易。市场模型的缺陷在于它的效果取决
于设定的远期利率过程，而这一设定在实证中是否成立还没有确定的答案。
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第一章利率期限结构的概述
前面讨论的模型仅仅用Brown运动来描述不确定因素，这样是不全面的，因
为金融市场是十分复杂的，而Browrd云动只能描述金融资产的价格过程是连续
的，但从金融市场发展的历史看，价格的连续性经常会被一些不可预测的随机事
件破坏，这些事件包括金融危机、股市崩盘等。所以，我们有必要把价格过程分
解为Brown运动和随机跳跃过程之和，这就是随机跳跃过程模型。
随机折现因子模型是最近发展起来的定价模型。它是一个离散模型，首先建
立随机贴现因子所满足的时间序列，然后确立其与债券价格之间的关系，最后确
定债券的定价公式。随机折现因子模型既是一种定价模型，因为它的提出首先是
确定贴现债券的价格，也是一种期限结构模型，因为从债券的价格中很容易得到
期限结构。
1．2．2翻率韵限结构的实证分析综述
国外研究状况
随着利率期限结构理论模型的相继提出，许多学者同时对模型进行了实证分
析。Brown和Dybvig(1986)利用美国市场数据(1952年12月--1983年12fl的国库
券价格)检验了CIR模型，他们发现，虽然用截面数据估计出的无风险利率的方
差与用时间序列估计的方差十分符合，但是该模型在系统上高估了短期利率。此
外，从模型的残差中发现该模型的设定对这些数据来说是不恰当的。还有，与其
他国库券相比，CIR模型似乎比较符合短期国库券，但这违背了一个假定(国库
券的定价误差是同分布的)。最后，该模型在很大程度上高估了溢价问题，而低
估了贴现问题。
Chan，Karoly，Longstaf拜ⅡSanders(1992)使用美国市场短期利率数据对8个
短期利率模型进行了检验比较，用一个月的国库券收益率对CIR模型进行实证，
得出的结论表明波动率的建模是否正确是非常重要的，能较好地描述利率的动态
过程是那些利率的条件波动率是取决于利率水平的模型，但令人奇怪的是最常用
的模型如v硒icek(1997)和CIR SR(1985)模型的效果还不如Dothan(1978)模型和
CIRVR(1980)模型。他们还发现短期利率的瞬时方差并不是线性的，这与利率
模型的扩散系数等于状态变量的平方根不符(实际上，他们估计得出的波动率的
弹性系数是1．5而不是0．5)。
在参数估计方法中，Nowman(1997)利用Bergstrom(1983，1984，1985，1986)
提出的高斯似然估计法对一系列单因子连续时间利率期限结构模型进行了参数
估计，其样本数据是一个月期的英国利率，得出短期利率的波动率对利率水平的
敏感度不高，这与CKLS使用美国数据所得出的结论不同。
Pearson和Sun(1994)使用最大似然法估计和检验了两因子模型的扩展形式
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单因‘『利率期限结构模型的非参数估计
以寻找未被观察到状态变量的条件密度。他们用美国贴现债券和息票债券对模型
进行了估计，发现三种不同的债券的收益率都拒绝TCIR模型。同时CIR模型的
扩展形式也不能很好地拟合债券价格的数据。此外，他们的实证结果还表明基于
短期收益率的估计隐含了较大的价格误差。
Gibbons和Ramaswamy(1993)使用广义矩估计(GMM)对美国短期国债利率
(1964年一1989年)进行实证检验，得出该模型能比较好地拟合短期国债利率的
数据，参数的估计值表明风险溢价总体上是正的。
此外，S．H．Babbs和K．B．Nowman(1999)采用Kalman滤波(1987-1996年期
间的美国数据)对一般VasicekSJJ率期限结构模型(包括单因子、两因子和三因
子模型)进行了实证分析，发现，从统计方面来看，如果把三因子模型作为备择
假设，两因子模型就被拒绝，但是从度量方面看，两因子模型与三因子模型的效
果差不多。Yu Jun提出非线性连续时间短期利率期限结构模型的高斯估计方法，
对Nowman(1997)的高斯似然估计法进行了改进。
在非参数估计方法中，Ait．Sahalia(1996)采用非参数的核估计方法建立的非
参数利率期限结构模型对1973—1995年期间的7天期的欧洲美元存款即期利率
进行了实证分析，发现单因子模型的漂移系数存在非线性性质。Stanton(1997)
利用Taylor级数方法近似地对漂移率和波动率进行非参数估计，采用近邻回归
方法对美国3个月的国库券收益率进行了实证分析，得出短期利率的漂移项是
非线性的。后来，Paul Yau和Robert Kohn运用贝叶斯方法对非参数估计进行
了改进。
Longsmt匍Schwartz(1992)的检验表明增加因子的数目会增加拟合的效果，
因此多因子模型是合理的。但是Pearson和Sun(1994)研究表明两个因子是不够
的，利率曲线的平移和扭曲至少应该使用三个因子，但是使用多因子模型对债券
衍生品进行定价会变得非常复杂。
对于HJM模型类，Carverhill(1995)单因子马尔可夫模型在定价和对冲的时候
具有良好的效果，而更复杂一些的模型确实能够捕捉到期限结构演变更多的性
质，但是这种模型拟合的难度更大，应用起来更困难。Amin和Morton(1994)使
用了六种不同的波动率结构，包括正比例、平方根比例、绝对数值、非线性系数、
指数等形式对期权价格进行检验，结果表明隐含波动率函数不是平稳的，两因子
模型定价的效果更好，但是增加了参数的不稳定性。
Bing．Huei Lin(林丙辉)和shih-KuoYeh(叶仕国)利用1996年1月一1998
年8月的国债数据对Vasicek模型的扩展形式(Vasieek模型加上跳跃扩散项)进行
了参数估计，他们发现该模型在利率行为的描述和利率衍生产品的定价方面要优
于Vasicek模型，相对于长期刊率而言，短期利率具有较快的均值回复特性、较
第一章利率期限结构的概述
高的波动性和较高的跳跃频率。
国内研究现状
国内对利率期限结构理论的实证研究起步比较晚，主要原因是我国金融市场
还没有真正地实现利率市场化。国内对利率期限结构的研究主要局限于对收益率
曲线的研究，如杨大楷、杨勇(1997)和姚长辉、梁跃军(1998)对我国国债收益率
曲线进行了经验研究。庄东辰(1996)和宋淮松(1997)分别运用非线性回归方程和
一元线性回归方程对我国的零息国债进行建模，并进行了检验。
唐齐鸣、高翔(2002)应用利率期限结构的预期理论对我国银行同业拆借市场
利率进行了实证分析，结果表明我国的同业拆借市场利率基本上符合利率期限结
构中的预期理论。吴雄伟、谢赤(2002)改进了连续时间利率期限结构模型，并研
究了扩散过程下单因子利率模型的统一框架。
李和金、郑兴山、李湛(2003)利用非参数的核估计方法和随机过程的原理建
立了非参数的利率期限结构模型，并采用上海证券交易所的国债回购利率数据进
行了实证检验。周万隆、胡雅丽(2003)把人工神经嘲络方法运用到国债利率期限
结构的建模与实证中，得出其效果要优于计量模型。郑振龙，林海(2003)对我国
市场的利率期限结构进行了静态估计，分析了中国利率期限结构的变化特征并指
出今后对利率期限结构的研究方向。朱世武、陈健恒(2003)利用国外两种模型(多
项式样条法和Nelson．Siegel．Svensson訇“展模型)对我国交易所国债的利率期限结
构进行实证分析，指出Nelson-Siegei．Svensson扩展模型的拟合效果较好，并对利
率的变动进行了主成分分析，用来研究利率曲线的主要变动形式。
王春峰、刘玮等(2004)运用模糊利率期限结构方法对中国交易所国债市场利
率期限结构进行了实证分析，研究结果表明，中国交易所国债市场的利率期限结
构对利率变化趋势有一定的预期作用，增加短期国债的数量和改变付息频率可以
提高中国国债市场利率期限结构的精度。吕兆友(2004)对一个月期的国债回购利
率的研究结果显示，对波动率的正确建模是非常关键的，尤其是那些允许利率的
条件波动性依赖于利率水平的模型，可以更好地描述研究区间的利率动态变化。
许瑾、缪柏其(2004)对利率期限结构的主成分进行了分析，发现利率期限结构的
曲率变化与利率的波动率有关。
发展趋势
到目前为止，利率期限结构的研究已经取得了突破性的进展，但是，大多数
模型都存在着一定的缺陷。所以，我们有必要对模型作进一步扩展以更好地能描
单因r利率期限结构模掣的非参数估计
述利率的实际行为。
在理论模型方面，我们可以在利率过程中引入随机波动和跳跃项，Ahn
Thompson(1988)和longstaff Schwartz Das[(1994)(199S)]Das Foresi(1996)已对
这方面进行了研究，但是他们仍然在一般HJM模型的框架之下，所以还要进一步
探索，突破这个框架。
在应用方面，因为多因子模型的计算一般相当复杂，所以我们需要在不降低
其对真实利率解释力度的情况下简化模型使其具有马尔可夫性，从而能够应用到
实际分析中。
在实证方面，我们需要进一步了解那些用来解释期限结构的因素的经济含
义。此外，我们还需要思考均值回复的重要性以及跳跃项在利率中的作用。
本章小结
本章简单地介绍了利率期限结构的概念，并从理论模型和实证分析两方面
系统地阐述了国内外研究现状。
第_章单因予利率期限结构模型
第二章单因子利率期限结构模型
第一节利率的连续时间模型
在讨论具体的利率期限结构模型之前，我们有必要先讨论利率的分布情况
及推导出利率模型的一般表达式，这样我们可以进一步了解具体的利率期限结
构模型。所以，本节主要讨论利率的分布情况，并最后得出利率的连续时间模
型。
2．1，1翻率的运动情况
2首先我们把时间区间【o，r】细分为Ⅳ个子区间：
0=to<tI<⋯<t^，2T
其中At=t。一t。-，，在时刻b，t．，．．．，t，的短期利率分别为ro，‘，．．．，rN。在时刻f。利
率的相对水平定义为y。=o／‘。。该相对水平是一个随机变量，假定它是独立
同分布的。如果随机变量厶与‘一．是相互独立的，那么将来的利率变动不依赖于
历史的利率变动，这就是所谓的弱式效率市场假设，利率的历史信息都反映在
当前的水平中；未来的利率变动只与新信息和环境变动等其他因素有关。
如果相对水平服从同分布，则它们的期望值和方差就是常量，即
槲=倒rn+I；VaI[鲁]=Ⅶ{纠
第一个等式表明利率的期望增长率是常量，第二个等式表明利率的波动率也是
常量。
考虑下面的恒等式：
两边同时取对数
丑；三垒⋯卫：u叱⋯h
，0 ，o‘ ru一1
xⅣ=砭+砭+．．．+％ 其中x。：h丑； 吒=Inv。=ln』L
％ ‘一I
从该等式中我们可以得出一些重要结论：如果相对水|甲v。服从独立同分布，那
么它的对数砭也服从独立同分布。
Ⅳ
￡h】=yE[铲o]--M阮】=Arm。
n=l
14
单因了利率期限结构模型的非参数仙计
Ⅳ
var[x。】=Σvark】=Ⅳvar融】=№三
n=l
其中m。和盯二分别是对数相对水平的期望值和方差。
假设有两个人来分析同一利率过程的变化情况，但是其中一人把时间分成Ⅳ
个时间间隔，每个间隔是址，而另一个人把时问分成Ⅳ／2个时间间隔，每个间
隔是2At。划分利率的变化路径是任意的，但是EIx，I是相同的。上述两种情况
可以写成：
￡k，】=Nm。和占b，】=昙肼：。
‘
从中可以得出所2～=2m～·从而也可以写成m～=mat；同理，盯Ⅳ2=盯2At。XT
的期望值和方差表示如下：
Ekj=mNAt=mT
var[x，=er2NAt=盯2T
并的期望值和方差等于常量乘以L
在得出重要结论之前，我们需要回忆一下统计的一些知识：假设yI，．一Y。是
由总体y取出的容量为Ⅳ的子样，其中毋=肼，va杪】-盯2，则样本的平均值
Ⅳ
虱=(1／N)ΣY．。这个样本平均值当然也是随机变量，其期望值是所，方差是
盯2／N。根据中心极限定理，当Ⅳ专∞，不管只服从什么分布，虱是服从正
态分布。其公式表示如下：
．1i—my。～Ⅳb，仃2／N) 或艘Ⅳ歹，=牌(y。+⋯+y。)～Ⅳb^，，仃2Ⅳ)
符号～表示“服从”，其中Nb，u2)表示期望值为m，方差为u2的正态分布。这
样，结合h=砭+砭+⋯+％可以得出：
坼=。一lira．。。瓴+⋯+~Ⅳ)～^，b。N，盯三^r)=N(mhtN，盯2△fⅣ)=．vbr，盯2丁)
根据中心极限定理，当△，一0即Ⅳ_oO，x，的分布函数就会弱收敛于正态分
布N(m7，盯2rI。
2．1．2翻率分寿的性爱
在上一节中我们已得到而是服从期望值为肌r，方差为口2T的正态分布。rr
是服从对数正态分布。有关正态分布和对数正态分布的性质请见附录。
第一章单因子利率期限结构模础
在时刻f，利率水平可以表示为，f=roe‘，其中变量J，的概率密度函数为
俐=击ex《．三除)2)
随机变量‘的五阶矩可以表示为
水丢)1]=Ek柚】=f)机／“)(以=emH；聋口～
rr的期望值和方差：在时刻r，在上式中取A=1，可以得到：
Ek】-r0。悖2J7
我们令
1 2
Ⅳ2小+一2盯’
取丑=2．我们可以得到：
V蚓=制2搿卧砷“一，)
方差和波动率：xr是期望值为mT，方差为盯2T的随机变量。其中r是一
个时间段，仃是利率水平的波动率。我们可以会发现盯应该也是对数利率比率
的波动率；但是这两者有密切的联系，实际上是一样的。不妨取短时间At(一
天或一周)，根据等式‰-ro=Ar，则
Va{加刳=Ⅶ{d-+爿卜v[A％r]-Ⅶ{t+钥=Ve]
其中约等号是根据标准泰勒展开：ln0+旬=4一i142+{口3-．．．，而在此我们
用了va4n+q=v@】，其中a为常数。对短时问来说，r，／ro ln(rr／％)的方
差是相等的。
实际上，这意味着如果我们用利率水平的历史信息来判断每天或每周的波
动率，用利率本身或其对数将会得出基本上相同的结论。但是，如果用每季的
信息来判断波动率，这两者将得出完全不同的结论。
一=如“／ro) Ⅳbr，盯2f)，其中小=卢一三巧2。定义毛=G，一mt)／盯以为
标准正态变量，因此2，_|}}{从标准正态分布，即刁～Ⅳ(o，1)。将‘=脚“．盯，％代
入式Ek】：，o。【厢+。2“，可以得到：
16
单困子利率期限结构模酗的非参数估计
r．=roe”’。五z，=roe“{d_·
现在来分析一下上式的意义。√乙，通常表示为嵋。Wt是描述一维Brownian
运动。这种观察在物理学中用于描绘某个粒子受到大量小分子碰撞的不规则运
动，称Wiener过程。
叫到式c=roe⋯1，在此只考虑短时间△，，该等式转化为：
‘+△，，=‘e批_+。6^ 其中Aw,=√△，z山
只考虑短时间和微小的变化，因此可以运用函数的展开式，即
P4=l+口+击口2+⋯，从而上式可以转化为：
‘+缸=‘{-+∽出+础嵋)+吾如血+以w)2+⋯}
通常情况下，那些高价无穷小量可以忽略不计。但是，要仔细考察△嵋=√五乙。，
z。是标准正态分布中取的一个随机值，因此△H不是At的等价无穷小量，为了
保持上式的一致性，需要保留与△，等价的△矿。从而我们可以得到：
等=坍出+以嵋+j1盯2川2 ，． Z
其中，觚2的期望值是出，方差是2△f2。因此，当△r---}0时，AW,2的方差比出
更快趋向于零。但是，当△∽2方差趋向于零时，Aw,2就趋向于它的期望值，即
此时△Ⅵ2不再是随机变量。从而可以作一个替换：
lj}mAw,2斗E【△wf2J-出
根据式∥=m+．1--a2，在短时间内利率的演化过程可以用等式表示如下；
等=所△f+础+丢也=肚+础
当At一0时，利率的变动△^可以用连续模型来描述，即
咖=∥“№+盯“地
其中∥“)和盯G)可以是‘的函数，也可以不是f的函数。
17
第■章单园f利率期限结构模璎
第二节单因子利率期限结构模型
在单因子均衡模型中，短期利率，，只涉及一个不确定因素，根据上一节推导
出的结论，其一般形式可以表示成：
疵=∥“№+盯“地
其中{w，，t20)是个标准布朗运动，函数∥“)和盯“)分别是漂移函数(或瞬
时均值)和扩散函数(或瞬时方差)。对∥“)和玎“)加上一些限制，我们就有
了下面著名的短期利率模型。所以，本节我将在一个共同的框架下介绍单因子
利率模型。以下模型是建立在一系列的假设条件基础之上的，该模型的主要理
论假设有以下几点：
(1)市场上不存在无风险套利机会。
(2)市场无摩擦，可以连续交易，没有交易费用和税收等。
(3)允许卖空标的证券。
2．2．1 Merton模銎
Melton(1973)首先提出了一个简单的单因子模型1：
dr,=砸t+odwt
其中Ⅳ，盯为常数。
短期利率，If)的分布形式
给定时刻j的信息集F，在时刻，(，2 J)，短期利率服从正态分布，即
‘k～Ⅳn+∥O—sl盯20—s))
此外，如果Ⅳ≠0，其条件均值将随时间t的增加而增加。
该模型的主要缺陷：
(1)对利率非负的破坏：当Vt>O固定时，‘服从均值为，0+∥，方差为tO"2的
正态分布，由于任何正态分布的随机变量取负值的概率大于零，所以Merton模型
不符合实际情况。
(2)对均值回复性的破坏：当∥≠0时，‘的均值是t的单调增函数(∥>0时)
或单调减函数(∥<0时)，这显然与利率的实际波动情况不符。因为当利率较
高时，借款人的筹资成本上升，对货币的需求下降，所以利率会下降，反之利率
较低时，对货币的需求增加，利率会上升。利率的这一特点称为均值回复性，
Merton模型的结论违反了均值回复力式。
18
单因子利率期限结构模型的非参数估计
2．2．2 Vasicek模銎
v船icek(1977)首先提出了一个均值回复的期限结构模型，其模型表达式如
下‘：
ar,=口∽一，，弦+a机
其中，d，∥和盯都是正的常数。卢是短期利率的长期平均值。从该模型
中可以看出，当rf>∥时，方程有负的漂移项，此时，短期利率‘水平将下降。
当‘<∥时，方程有正的漂移项，即‘将上升。从而利率的变化呈现出一种趋向
于平均水平口的走势，具有上述性质的短期利率模型被称为均值回复模型。均值
回复性可见下图
利
巫
f
图2．1均值回复图
短期利率‘的分布形式
给定时刻s的信息集P，在时刻，(，≥J)，短期利率服从正态分布，即
‘卜^1‘+∥(r—s∥，丢¨2小。)】
可以看出，出现负利率的概率大于零，但是由于在时刻r短期利率的无条件
均值和无条件方差均为常数
舰E，t防)=∥
9
第_章单因了利率期限结构模型
limVar,(，,lF,)=瓦0-2
表明，在均值回复过程中较大利率出现的概率相当小，因此更适用于描述
现实情况。Vasicek模型下风险的市场价格是常数。
该模型的评价：
(1)Vasicek模型满足了均值回复的特性，因此比Melton模型更加接近现实情
况。
(2)f是一个连续的马尔可夫过程，表明未来的短期利率仅于与现在的利率水
平有关，而与短期利率的历史值无关。
(3)由于Vasicek模型中没有考虑，，的不连续变动，即没有考虑重要事件造成
的“跳跃”，所以该模型不能充分反映出c所有的行为方式。
(4)对利率非负性的破坏，由于‘的条件分布是正态分布，故，』取负值的概率
大于零。
2．2．3 clR模型
Cox。Ingersoll和Ross(1985)进一步把期限结构理论推广到一般均衡下的经
济环境中去。他们假定投资者的效用函数具育对数形式，在市场局部均衡(无套
利)的条件下，他们推导出一个非常重要的利率模型。该模型的短期利率‘服从
以下的平方根过程5：
dr,=口p一‘功+盯47,dw,
这里口，∥和0-都是正的常数。‘是围绕利率的长期平均值p上下波动，
参数口反映了利率回复到口的速度，短期利率变化的方差与利率水平的平方根成
正比。
在CIR模型中的系数都是常数，对变系数情形，有Hull—White所提出的(推
广的)CIR模型：
dr,=at峪t—r。Ⅺ|+O"t≈ldwl
短期利率一的分布形式
给定时刻s的信息集E，在atNt(f≥j)，短期利率服从z2分布，根据该分
布函数，给定时刻s的信息集E，在时刻，(f≥s)，，，的均值和方差为
耳G防)=∥+n一∥-”o“’
单因子利率期限结构模犁的非参数估计
‰比)=‘鲁G-=O-d_e-2,4,-,))+4丢Il矿㈣)2
均值为短期利率的当前值和无条件均值的加权平均。这些权重为正，并且其
总和等于l，这反映了短期利率的均值回复性。当f哼m时，方差趋于常数，逐
渐变得独立于信息集F，表达式如下：
!im廓把阢J=∥
烛‰比)=爿丢】
CIR模型的评价：
(1)CIR模型中的利率过程t具有均值回复性，回复速度为口。
(2)CIR模型中的利率过程‘具有非负性。从公式可知，当‘_0时，漂移项是
恒为正数，而扩散系数盯√Z也以利率平方根的速度趋近于零，这表明利率的波
动性也趋近于零，从整体来看预期的利率变化以为正数，从而保证了利率不会
取负值，也可以说，如果此时利率等于零，那么下一时刻利率将大于零。
(3)不同于Merton模型和Vasicek模型，CIR模型下风险的市场价格不再是常数，
而是取决于短期利率水平。
(4)当利率本身上升时，其绝对方差也将增大。
2．2．4 CKLS模銎
Chart，Karolyi，Longstaff和Sanders(1992)(CKLS)建立了一个通用模型，他
们用它来估计和比较一系列单因子模型。该模型的结构为6：
dr,=盯∽一‘)dt+0r4dw,
其中，口，p，盯和A为正的常数。参数口，p，五取不同的值就演变成不
同的模型，比如，当∥为长期利率、丑=0，就是Vasicek模型；当∥为长期利率、
A=1／2时，就是CIR模型；当∥为长期利率、2=1，就是Courtadon模型。该模
型的贡献在于它是一种通用的模型，通过它能够对各种模型进行实证检验。
除了这些模型以外，其他著名的模型还有Duffle—Kan模型、Cox模型等，这
些模型的推导和结构都十分相似，所以本文刁i详细讨论这些模型，表2．I总结了
单因子模型。
2l
第-章单园f利率期限结构模型
口归一，)
口∽一，)
口∽一，)
口∽一，)
口∽一，)
矽@一111(，))
ar4。一5)+蹄
口+∥+∥2
8
O
O
Vasicek(197n
Cox—Ingersoll—Ross(1985)
Courtadon(1982)
Chan et a1．(1992)
Duffle·Kan(1993)
Brennan-Schwartz(1 979)
Marsh·Rosenfeld(1 983)
Constantinedes(1 992)
Meaon(1973)
Dothan(1978)
Cox(1975)
表2．1
2．2．5单西子莉率期限结构模型的特点
由于大多数单因子模型都是以瞬时短期利率作为研究对象，因此有必要对其
行为特征进行介绍。短期利率具有以下主要特征：
(1)短期利率的变动范围是有限的。一般情况下，短期利率不会是负值，也
不可能是特别大的值。
(2)当利率水平特别高时，利率更倾向于下降而非上升：反之，当利率水平
特别低时，利率更倾向于上升而非下降。这种行为称作具有均值回复性。
(3)不同期限的利率具有不同的波动率，收益率曲线短端的利率通常具有更
高的波动率。
(4)短期利率的波动率具有异方差性，即不同的绝对利率水平上，利率的波
怛
。
巧
舭
矿
口
。
舭
僻
舭峨
m
一
～。m帆
单因子利率期限结构模刑的非参数估计
动率的方差不同。
此外，单因子模型的另一个特征是所有不同到期日的债券的瞬时收益率是完
全相关的，当利率是均值回复时，到期U为无穷大的债券的收益率将趋近于一个
常数。由于依赖于当前的短期利率水平的影响，收益率曲线将会出现单调增加、
单调减少或单峰现象。
这些单因子模型以一个简单的方式描述了利率期限结构的动态变化，虽然并
不能完全反映实际情况，但鉴于其简单、方便，本文就只考虑单因子利率期限结
构模型。
本章小结
本章首先详细研究了利率的分布情况，并推导出单因子模型的一般表达式。
在这基础上，分别详细讨论了Met'ton模型、Vasicek模型、Cox—Ingersoll—Ross
模型以及CKLS模型，并给出了单因子模型的特点。
第j章单因子利率期限结构模掣的非参数估计
第三章单因子利率期限结构模型的非参数估计
本章主要讨论单因子利率期限结构模型的非参数估计，但是为了体现其特
有的优点，我们有必要先讨论其参数估计方法，然后再详细研究非参数估计方
法。
第一节单因子利率期限结构模型的参数估计
传统的参数估计方法，如普通最小二乘法、广义最小二乘法和极大似然法等，
都有它们的局限性，其参数估计量必须在满足某些假设时才具有良好的性质。而
Hamen(1982)提出的广义矩估计法是估计模型参数的一种新计量经济学方法。这
一方法的基本思想是通过参数选择使模型的矩尽量符合数据的矩，矩条件可根据
问题来选择。权重矩阵则决定了不同的矩具有不同的重要性。GMM方法与其它
估计方法相比，其优点在于假设检验中不需要作出统计假设，这也就是说无须假
设利率的变动服从某特定分布。另外，CKLS认为即使扰动项，存在条件异方差，
GMM的估计值和它们的标准差仍然是一致的。所以GMM方法可以减轻用离散数
据来估计连续时间模型给扰动项分布带来的影响。这样，即使CIR模型假设利率
的变动比例服从非中心的z2分布，也无须对其离散时问形式作出同样的假设。
’GMM方法理论分析
GMM的核心是选择参数来最小化二次型函数：
Jr=丽‘p炳p)
其中，口是表示K维参数向量，所(护)是表示上维正交条件向量，矽是工×三权
重矩阵。
(1)正交条件分析
正交条件的含义是使包括数据和参数的函数为零。例如，对数据只，估计均
值∥，一个简单的限制条件是￡∽)=∥，这样总体的正交条件就是
E∽一∥)=0。考虑一个一般模型：
KNl-f似M；卅+占
为了估计K维向量护，需要L(￡≥K)(独立的)个限制条件。某一个矩条件的
总体形式是：
Eim(y，，xA0)]=0
其样本形式是：
24
单因子利率期限结构模碰的非参数估计
而(y，x；口)=睾Σ所◇．，一；占)
其中Yl，五分别表示矩阵r和矩阵x的第f行。
如果限制条件个数少于待估参数的个数，就可引入工具变量Z，。在样本中，
模型误差项为：
ep)=y-f(X；曰)
这样可得到矩条件：
而p)=71Σrt Z，e(’，州占)=；z。(¨；口)=l 』J
(2)权重矩阵分析
如果矩条件数与参数个数相等，就只要令鬲p)=0，就能使式
1 r
而(y，x；一)=睾Σm∽,Xt；o)oo目标函数厶=o，从而解出参数估计值，这就属于
‘t=l
恰好识别情况。如果矩条件数大于参数个数，即过度识别，就需要利用权重矩阵
来衡量不同条件的相对重要性。Hansen(1982)指出，选择W=S一，就能得到具有
1 r
最小渐近方差的估计值。在过度识别情况下，要使式而(y，x；口)=÷Σm◇，，一；口)
1 1=1
的目标函数最小化， 由于权重矩阵的存在，就可以先求出矩条件的雅可比矩阵
m(o)／ao=砑p)，再令面’p矽p)砑p)=0，就可求出待估参数a
定义口为由口，p，盯组成的参数向量。由于‘=，，一“一tffo一％r『-l’所以考
虑向量
，p)=
q
6"t‘一I
f一盯2
G卜0．2k一。
矩条件E∽p)】=0。按照GMM方法，使用E∽p)】的样本形式岛p)替代
第i苹单因子利率期限结构模掣的非参数估计
Ekp)】，则岛p)=!n窆t=lzp)，胛是样本观测值的数目，通过最小化下面的目
标函数式以得到参数的估计值：
‘，。p)=酵p耽pk。p)
其中％p)是权重矩阵。
CIR模跫的GMM估计；
定义p为由口，肛盯组成的参数向量。由于‘=‘一‘一．一％一啊‘一l’所以考
虑向量
．，：p)=
‘
目‘．1
彳一盯2‘一I
∽一口2“k一．
矩条件E∽p)】=o。按照GMM方法，使用E【，：p)】的样本形式岛p)替代
Ek(o)l，则岛p)=吉喜，p)，”是样本观测值的数目，NA／豪,I、化下面的目
标函数式以得到参数的估计值：
以p)=或p耽p)g。p)
其中既p)是权重矩阵。
第二节单因子利率期限结构模型的非参数估计
由于任何参数估计方法都存在一个潜在的问题，即利率模型的选择不准确，
特别是当经济上没有理由去解释为何我们应该选择这个模型，而刁i是其他模型。
即使某一模型在样本数据下能比较好地拟合利率变动，但是，它未必能很好地
对债券进行定价。这是因为债券的当前价格不是取决于过去的利率，而是取决
于处在现在和债券到期口之间的利率的总体分布。对历史数据能较好地拟合并
不能保证对总体分布能较好地拟合，从而会造成较大的定价误差和保值误差。
事实上，目前的参数利率模型甚至不能很好地拟合历史数据。正是由于参数方
法存在着较大的缺陷，学者们提出了非参数估计法。
单因下利率期限结构模型的非参数估计
3．2．1漂移函数的估计
在文献中，缸，盯2)就隐含了特定的边际密度函数和转移密度函数，也就是
说，只要知道∥和口2，边际密度函数和转移密度函数也就确定了，例如，满足
Ornstcin-Uhlenbcck过程的以=d∞一‘功+佣∽，它就隐含了高斯转移密度函
数和边际密度函数。基本思想就是我们无法观察到漂移项和扩散项，同时也不
能直接估计漂移项和扩散项，但是，我们可以从短期利率的数据来估计这一过
程的密度函数(短期利率是单变量框架下的状态变量)，然后通过拟合密度函
数，最后我们可以构建漂移项和扩散项。
在单变量的模型中，Ait—Sahalia指出，漂移项∥(·，曰)取决于未知参数向量口，
而盯2(·)是未知函数。
假设石(．)是状态变量的边际密度函数，p(△，‘+。k)是两个连续观察值之间的
转移概率密度函数，后者只用了时间f时的信息，因为假设该过程是马尔可夫过
程。
考虑Kolmogorov前向方程：
鸡掣=一去‰，口k‰k峨笔‰。扣‰I一))
在某种程度上，该方程取决于漂移函数、扩散函数和转移概率密度函数。
为了从密度函数中估计出盯2，我们利用上述方程来推导出扩散函数，但是
这里的转移概率密度函数与△无关。
对于这一点，根据固定性，我们可以得出rp(△，‘+。忙弦“)也=万“+：)对
时间的偏导数等于零，因此，我们对上述等式两边乘以石b)，然后对所得到的
等式对变量一进行积分，具体如下：
唑掣剞=一去。㈨》‰I‘肪“)
++三暑一p2“+。姚—‰IA2 —=一Icr。Ir．．1_口I．厂|．，，，|I拓舫I“r )J
现：．、⋯⋯一⋯“7⋯
去r，(△^aIt)r“地=一去[r∥“一目b(△^。I。kn地]
++i圭j再簧lJ口"2‘hnk+ab护‰忪I‘r+，a r『盹卢n地∥‘]j
第王章单因子利率期限结构模型的非参数估计
进行简单的代数处理可以得出：
杀p2h地a”=z去诋胤棚
这一等式在任何一点以及对真实参数值口都肯定是满足的。
为了找出仃2的显性表达式，我们对上述方程进行两次积分，并且有边界条
件，r(o)=0，可以得到：
仃20)=丽2 r∥0，咖0胁
此等式表明我们一旦知道漂移项的参数向量口，则可以从边际函数万(·)推导
出扩散函数。
在参数估计的框架中，我们对漂移项参数口进行一个事先的函数形式的设
定。通常，我们假定一个线性的均值回复形式，即：∥“，e)--口∽一‘)，
口=仁，∥)，这一假定符合大多数利率模型中对漂移项的参数的设定。利率的变
化呈现出一种趋向于均衡价值口的走势，口是速度。一旦确定，漂移项可以代
入上式方程，这对一般的漂移函数都有效：该等式需要估计参数矽和边际密度
函数万(“)。
Ek+。k】=p+e一““一∥)
通过最小二乘法和广义最小二乘法8对方程Ek+。k】=A+色进行回归，我们
可以估计出旯和J，最后可以得出漂移项的参数，口=一In影△，∥=一州(1一艿)。
3．2．2密麦函数的非参数估计
为了得到or2的估计值子2，我们必须估计出石(·)。如果利率过程的样本经
历了r年，时间间隔为AT，因而有N=r／AT个数据，从而我们可以得到核密
度的估计值为
荆=专薯}(等]
估计中的权重是由核函数K(·)和窗宽h决定的，其中h决定了核函数估计
的光滑程度。上式也可以表示为：
制=吾势(等]Ar
上式将甜的核密度估计表达为利率过程的样本数据在“附近的时间的加权
平均数。对于一个给定的数据跨度，抽样次数的提高会使核密度估计越正确。
单因r利率期限结构模犁的非参数估计
一个理想的状态就是连续抽样。虽然这样取样不可能，但是这很有用，因为这
样可以确定密度估计值的上限。上式当AT一0，我们可以得到边际连续密度函
数
荆=掀可早卜
在核密度估计中最重要的因素就是窗宽h的选择9。
在本文中用利率数据{f，f-1,2，⋯，n)，得到平滑的密度函数估计值为
扑去喜双寻]
其中x(．)为核函数，h为窗宽。
3．2．3扩散函数的估计
在3．2．1和3．2．2中，我们分别估计出了丘和万(．)，根据
盯20)=‘南r卢o，咖。协，把丘和方(．)代入上式，我们得到扩散项的估计值
亏2。
(a)估计值彦2的分布如下：
彰2刀V2p20)一盯2(，)}—．!—，Ⅳ(0，咯(，))
渐进方差
％p)：汇Ko)2幽}40肛(，)
(b)渐进方差可以用以下的估计值来替代：
咯(r)：{f=xo)2幽》4(，沙(r)
(c)在(o，m)中任意不同的两点r和，’，号2(r)和矛2(，’)是渐进独立的”。
第三节其他非参数估计方法的简单介绍
该模型的前提假设为：
(1)利率过程服从马尔可夫过程。
第：三章单因子利率期限结构模掣的非参数估计
(2)利率过程是单变量扩散过程。
(3)严格静态“
(4)短期利率在有限的时间里和有限的参数空间里是无法到达0和00。
在上述假定下，设∞。(．1盯；(．))为真实值。现在考虑一个复合参数类，即
JP={0(．，目l盯2(．，臼))：口eo)，其中O为R。的紧子集。例如在CIR模型中，
P=札G，pl盯2 x，目的=∞b一工l盯2x)：口=仁，∥，dr2)e。)。现在的问题是：参数
真实值缸。(．1盯；(．))是否属于参数空间JD?所以我们提出如下的原假设和备择
假设：
fH。：j岛∈@／∥(．，吼)=卢。(．1莎2(．，吼)=仃；(·)
【q：∞。(．1盯；(．”匹P
由于难以对漂移函数和扩散函数进行直接估计，因此，我们只能考虑其他
方法。因为考虑参数-，dr2)和考虑其边际密度函数与转移密度函数是一样的。
对应于上述的参数空间P，我们可以得出如下的参数空间：
YI；}r(．，olp(．，·J·，·，口)／∞(．，口l盯2(．，目”∈P，口∈。)
其中，万G，口)是状态变量x的边际密度函数，p(，+△，‘+。I，‘，护)是存时刻两个连
续观察值之间的转移概率密度函数。
首先n^，定义为兀^，s k(·，口)／缸(．，口l盯2(．，口”∈P，p∈o}，假定真实的边际
密度函数是
非南e叫f瓣)
其中F。是常数，保证了边际密度函数的积分等于I。在这里，我们把原假设和
备择假设表示为
fH。。：了岛∈o／厅(．，目o)--*to(o)
1日。。：‰(．)仨兀。
当日。为真时，H。必定为真。如果真实的密度函数石(·)已知，那我们只要
检测一下它是否属于某个参数空间。因为它是未知的，所以我们不得不对它进
行估计。现在我们考虑隐含密度函数石(·，岛)的参数估计值。如果模型表达式选
择正确的话，它将趋向于真实的密度函数，因此，如果模型选择恰当，参数估
计值和非参数估计值应该是十分接近的，否则就相差甚远。在这里我们用距离
M来刻画真实值与估计值之间的差距，从而用来进行检验。其中
肘；ra。。i。n f仞0，口)一‰0))2‰0协
=—恕Ek∽，口)一‰∽))2 J
单因了利率期限结构模型的非参数估计
在实际中，我们采用了如下的离散形式
161=-nh．卿去喜D㈣一磊“))2
其中磊(．)为密度函数的非参数估计值，具体可以参考上一节3．2．2。如果衍足
够大，我们就拒绝原假设，否则就接受原假设。
在给定显著性水平口，我们来检验原假设，这里有一个临界域：当
衍≥6仁)；毛+硝2钆。／％严，我们就拒绝Ⅳ。。其中‘2
毛；(肛2b妞B静叫
九s2(c虻K。皿。+x№}出)(去喜毹n))
我们设定z。。=1．64，即置信度是95％。高斯核K0)=exp(-“2／2)／√西，
其中两个核常数为(EK2G胁)=1／(2√孑)和
(e心。皿。+咖H=l／(2删。窗宽％的选择请参考附录。
”与Air．Sahalia方法的相比，Stanton方法是用Z的离散观测值来确定和估计利
率模型的参数，还有该方法以速度岔收敛于真实函数／a和盯，其中△是时间间
隔，而后是任意一个正的整数。Stanton方法具体如下：
(i)泰勒展开
考虑置的扩散过程，其满足如下的随机微分方程
dX。=∥似，净+仃(Ⅳ，)az，
在对1a、盯和随机函数施加一定的条件后， 我们可以对条件期望值
E【厂(置+A，，+△)】进行泰勒展开
E【，_(置+。，f+△)】=，(五，1)+Lf(x．，f)△+．妻r，(一，flr+⋯
‘
+{r厂似，，fp+D(Ⅳ“)“
仃：
其中上为一个算子。如果设定仃=0，我们可以得到标准的非随机泰勒展开式。
上式一般用来进行数值逼近。但在这里，我们的目标刚好相反。我们不知道∥和
盯，但是写出足够多的展开式后，我们可以估计出上式左边的期望值。选定合
第．三章单因了利率期限结构模掣的非参数估计
适的函数后，上式可以用来计算Ⅳ和盯的近似值。
(ii)∥和盯的近似值
我们把上述等式改写为
Lf(X，,t)=去E驴(一。，，+△)一，∽，，)】一三r／似∥)△
一≥e f心t．11世一⋯
除了保留第一项，忽略其他各项，我们可以得到∥的一阶近似值
Lf(x，，，)=÷E【厂似，+。，f+△)一／C一，f)】+D(△)
我们也可以考虑时间段为2A的情况：
∥(x∥)=五1 E，L厂‰∥+2△)一，似，，f)1—1L2f(X,,tX2A)
一喜r，伍．，,X2△Y⋯．
进行简单处理后，我们可以得到二阶近似值：
LW(X,,t)2去{4‘陟似t+a,t+A)一，∽，，)】一E驴似t+2a，1+2△)
． 一／(一，，)B+D(△2)
同理，我们还可以推出更高价的近似值。
如果要求出某一函数的近似表达式，现在我们只要找到一个特定的函数，
满足
∥伍，f)=g(X，t)
漂移项
如果要求出漂移项口的近似值，只要考虑函数
矗1G，，)=工
根据三的定义，我们有
奶j1G，f)=∥G)
连续将上式代入等式，可以得出以下掣的近似值：
∥似，)=EtIX,+a一Ⅳr】+D(△)
∥∽，)2去{4E防一一置卜巨阮+2A一置B+D【△2)
啻l散项
如果要求出漂移项盯2的近似值，只要考虑函数
石：1G，，)=G一置)2
单因子利率期限结构模型的非参数估计
根据三的定义，我们碉
断：)G，f)=2(x—x，nb)+盯2G)
或
研：l∽，，)=盯2∽。)
连续将上式代入等式，可以得出以下盯2的近似值：
盯20，)=去E眦r置)2】+o(△)
旷2似，)=去{4Ek。一置)2】_E陋m。一置)2l+D(△2)
对上述两式求平方根“，有
盯∽)=拉kr训+o(△)
盯∽)=J丢{4Ekr五)2】-Ek。。一置)2l+D(△2)
在进行实证分析时，我们不可能得到漂移项和扩散项的精确表达式，因此
只求它们的近似表达式。在本部分，我们只以漂移项和扩散项的一阶近似值为
例，其他二阶、三阶近似值类似。条件期望近似表达式为：
E【． ，，r，，，Σ忙“+。r】一‘；k【笠(，一；‘二／^竺)】
善K【(，一‘／6)】
因此，漂移项的一阶近似表达式为：
∥(，)≈ 1善◇，‘k【(，一‘／硼
△ΣT-I K附一‘／^)】
0-2(，)*了i旦1：=广——K[(—r-一r,／h)]
．Σ“+。一‘)2
△
EK[(r-r,lh)]
其中KG)=(2万)一”2P一(啦矿，^为窗宽，详见参考附录。
第i章单因子利率期限结构模型的非参数估计
3．3．3Jiang方法
州=南e舛【瓣)
∥(，)=丽1石d Ir2协(r)】
盯2(，)2丽2№，咖0伽
哪，=觜ΣⅨI孚l
这里‘(，=1，2，⋯一)是样本空间，样本间隔△。=％：鼢(．)是核函数，这里采
∥(r)=z‰昙b2(，k(，)】可以得到漂移函数、扩散函数和边际密度三者之间的
刖=12『L剑dr∥(r)矧
单因f利率期限结构模犁的非参数估计
密度函数的核估计为：
刖=去莩文百r,-r]
通过上述三式就可以用非参数的方法估计出漂移函数和扩散函数。
第四节非参数估计的特点
非参数统计方法与参数统计方法相比主要有以下几个不同点：
(1)非参数统计方法的适用面广。它不仅可以用于定矩、定比尺度的数据，
进行定量资料的分析研究；还可以用于定类、定序尺度的数据，对定性资料进行
统计分析研究。如利用问卷调查资料，进行居民对某几种商品质量满意程度是否
相等的分析研究：利用民意测验，分析研究居民对几种房改方案的支持率是否有
差异等等。而这些方面的研究是参数统计方法所不能及的。但是，如果某种特定
的模型适合该问题，且针对该模型存在一种优良的统计方法，则与参数方法相比，
非参数统计方法一般效率较低。
(2)大样本方法在非参数统计中起着重要的作用。绝大多数常用的非参数统
计方法都是基于有关统计量的某种极限性质。存使用大样本时，人们假定样本大
小刀己经“足够大”，以至有关统计量的确切分布与其极限分布的差距己经“足
够小”。因而使用极限分布带来的偏离，在应用上“可以忽略4i计”。当定距或
定比尺度测量的数据能够满足参数统计的所有假设时，非参数统计方法虽然也可
以使用，但效果远不如参数统计方法。这时，如果要采用非参数统计方法，唯一
可以补救的办法就是增大样本容量，用大样本来弥补由于采用非参数统计方法而
带来的损失。比如说，通过90次独立观察获取的数据足以保证参数统计所要达到
的精度，而若用非参数统计方法，可能至少需要100次独立观察所获取的数据。
(3)使用样本信息与参数方法小同。样本是统计推断的依据，统计方法优劣
的依据很大程度上依赖与它是否“充分地”提取和使用了样本中的信息，以此构
造合理的模型。例如极大似然估计，它要求总体的概率密度的形状已知，所以，
参数统计方法往往对设定的模型有更多的针对性，一旦模型改变，方法也随之改
变。非参数方法则不然，由于非参数方法中对总体的限定很少，以致只能用很一
般的方式去使用样本信息，如位置、次序关系之类。由于参数统计方法对数据有
较强的假定条件，因而当数据满足这些条件时，参数统计方法能够从中广泛地、
充分地提取有关信息。非参数统计方法对数据的限制较为宽松，因而只能从其中
提取一般的信息。当数据资料允许使用参数统计方法时，采用非参数统计方法会
浪费信息。
第■章单因子利率期限结构模喇的非参数估计
(4)非参数统计具有稳健性。稳健性(Robustness)反映这样一种性质：当真
实模型与假定的理论模型有不大的偏离时，统计方法仍能维持较为良好的性质，
至少不会变得很坏。参数统计法是建立在假设条件基础上，一旦假定条件不符合，
其推断的正确性就会不存在。非参数统计方法由于都是带有最弱的假设，对模型
的限制很少，故天然具有稳健性。例如，在两样本问题的CM n PBOB检验中，由于
对总体分布没有特定的要求，就不会发生真实模型分布与假设有偏离的事。因而
这个检验就必然符合稳健性的要求。
本章小结
本章主要讨论了用参数方法和非参数方法来分析单因子利率模型，然后简
单地介绍了其他几种非参数方法，最后详尽阐述了非参数估计的特点。
单因了利率期限结构模型的非参数估计
第四章实证分析
第一节市场介绍及样本数据的选择
4j 1．1研究对象的选择
利率期限结构是指某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线。从中可以看
出，利率期限结构分析的是利率与时间的关系。而在实际中存在着多种利率，所
以我们必须找一个具有代表性的利率进行研究，即基准利翠。所谓基准利率是在
整个金融市场上和利率体系中处于关键地位、起决定性作用的利率。基准利率选
择的几个理论依据：(1)能充分反映市场资金的供需状况：(2)可控性、可测性好；
(3)与其他利率相关性强；(4)稳定性好。
根据国外对基准利率选择的经验，基准利率应是一种货币市场利率。货币市
场包含同业拆借市场、票据市场、国债回购市场和短期国债交易市场。所以要在
这些利率中选择一个基准利率。纵观国外所选择的基准利率，我们可以发现，他
们选择基准利率的根据基本上与前述选择依据一致，都选择了货币市场利率，但
是各国的基准利率也呈现了多样性。例如，美国选择了三个月国债利率和联邦基
金利率为基准利率；日本选择了同业拆借利率为基准利率；而德国选择了7天或
14天回购利率为基准利率等。这说明了选择基准利率要立足本国，应从本国实际
情况出发，选择符合本国发展阶段的利率作为基准利率。
我国目前的货币市场主要由同业拆借市场、交易所债券市场、银行间债券市
场和票据市场组成，从我国发展市场经济和进行利率市场化建设开始，这些货币
市场的子市场虽然起步时间不同，但到目前无论从交易主体、交易量和交易产品
上都取得了较大的发展，其利率基本上实现了市场化。我国目前货币市场利率主
要包括再贷款利率、短期国债现券交易利率、票据贴现利率、交易所国债回购利
率、银行间回购利率和银行同业拆借利率，所以只能从中选择我国的基准利率。
根据基准利率的选择依据并结合实际情况”，我们可以得到：我国包括存贷
款利率、再贷款利率等法定利率不适合作为基准利率；国债现券交易利率、交易
所回购利率等市场化的利率也存在不能作为基准利率的重大缺陷；同业拆借利率
虽然在交易规模和市场化程度上同银行间回购利率有一定的可比性，但银行间回
购利率相对于同业拆借更有作为基准利率的优势，能比较好地满足作为基准利率
的要求，具有良好的可控性、稳定性、关联性和反映市场的能力，因此，选择银
行间回购利率作为我国现阶段的基准利率是切实可行和合理的。本文就选择银行
间回购利率作为研究对象，来分析我国的利率期限结构。
第四章宴证分析
各种利率优劣比较
再贷款利
短期国债
票据贴现
交易所国
银行间回银行同业
选择依据现券交易债回购利
盔利率购利率拆借利率
利率塞
交易量和
交易主体
不好不好不好好好不好
与其他利
率相关性
不好不好不好好好好
可控性不好不好好一般好一般
可测性不好不好好一般好一般
稳定性不好不好不好不好好一般
选择结果不好不好不好不好好不好
4．1．2市场介绍
表4．I
银行间国债回购市场，是货币市场的另一个重要组成部分一银行问债券市场
的一个重要构成，因为在中国，债券市场一直以回购交易为主．所以银行间国债
回购市场对于开拓银行资金投向，增加银行经营收益、发挥中央银行的调控职能，
同样都具有举足轻重的作用。我国要建立社会主义市场经济，要培育金融市场，
就必须进～步完善与发展银行间国债回购市场。
我国的国债回购市场确切地说是从1993年建立的。这一年的12月13口在上海
证券交易所内国债回购市场业务开通。这一市场的参与者包括券商和商业银行。
设立这一新的交易方式的初衷是整顿金融秩序，禁止金融机构之间的乱拆借。为
了引导短期资金的流通，填补规范同业拆借所产生的资金缺口，于是开辟了国债
回购业务。场内国债回购业务在有利于金融机构短期融资的同时，又可发挥其套
期保值功能。从而最终提高了整个国债市场的流动性。
但随着场内国债回购市场的发展，它的弊端也口益凸现。首先，在发展过程
中，有些金融机构用代保管单大量买空卖空，结果导致金融风险暴露，甚至引发
了新的“金融三角债”。针对此情况，国家有关部门采取了多种措施加以规范，
其中包括1997年中央国债登记结算公司的正式运作以及《中华人民共和国国债托
管管理暂行办法》和《实物国债托管业务规则》的颁布和实施。这些拮施很好地
解决了乱开国债代保管单的问题。其次，银行和证券公司同为市场交易者，在股
市行情高涨时，银行资金大量涌入股市，一方面会增加股市的投机性，另一方面
不利于银行资产的安全性。事实上，这一问题确实很严重。根据上海证券交易所
38
单因子利率期限结构模碰的非参数估计
国债回购市场交易量排名前30名会员的电脑交易记录，1996年12月2日--13日，
银行及其所属证券信托投资公司通过回购市场为券商提供了巨额资金：融出资金
前30名会员在此期间共计融出资金38．068亿元，占44．58％；银行所属(全资附
属或绝对控股)的信托、证券公司融出资金139．57亿元，占41．28％；其他融出
47．79亿元，占14．14％。融入资金最大的前30名会员存此期间共融入资金247．47
亿元，其中证券公司融入资金136．26亿元，占55．06％；信托投资公司融入资金
97．84％亿元，占39．54％，信用社融入13．37亿元，占5．4％。再次，场内交易方
式的固有缺陷不利于中央银行对商业银行的监管和货币政策的展开，场内交易采
取集中竞价，自动撮合的成交方式，交易双方不知对方是谁，中央银行也无法对
商业银行进行实时监控。另外，我国的场内国债回购市场也不利于中央银行公开
市场操作的展开，大笔交易通过交易所进行，极易造成市场忽涨忽跌，不符合公
开市场操作连续性的要求。
基于场内国债回购市场的以上弊端，为了在货币市场和资本市场之间建一道
防火墙，同时，也为了公开市场操作的顺利展开，管理层于1997年6月强令商业
银行退出交易所国债市场，同时组建银行间国债回购市场。由此，我国形成了平
行的两个国债回购市场：银行间国债回购市场与交易所内国债回购市场。
银行间国债回购市场成立于1997年起初，其参与者仅限于全国银行间同业拆
借市场的会员，即仅限于商业银行。该市场具有先天缺陷。由于交易主体太过单
一，资产结构大多雷同，需求偏好也几乎一致，致使市场供求结构趋同。这样，
在商业银行普遍“借贷”和资金充足的情况下，交易十分清淡，成交量也较少。
到1998年6月，一年的成交量仅660亿元，日均仅42亿多元。同时，中央银行为消
除通货紧缩而进行的公开市场操作，也会因该市场交易主体资金充裕而难以获得
较好反应，从而货币政策意图难以实现。但随着我国金融体制改革的深入，该市
场的参与者无论从数量和类别都在不断增多，其交易成员同拆借市场完全一样，
共计889家，涵盖银行、证券公司、基金公司、信托公司、财务公司、社保基金
等我国所有类型的金融机构，成为我国交易主体最为丰富的货币市场之一。其交
易量从2000年以来一直位居各货币子市场首位，交易品种也较其他市场丰富，而
且多为短期交易品种，目前，银行间回购包括7天、14天、2l天、1个月、2个月、
3个月、4个月、6个月、9-f"月和1年共lO个期限的品种，交易非常活跃，2003年，
交易额达N117203亿元，达到同业拆借量的5倍，成为我国央行进行货币调节的
主要场所，所以银行间回购市场利率作为我国的基准利率具有得灭独厚的优势，
最能符合基准利率的选择原则，鉴于此，本文选择了银行间回购市场利率作为研
究对象。
第四章实证分析
4．1．3样本数据的选择
本文采用从1999年1月4 U至2006年12月14 EJ的银行间7天国债回购
利率的每U数据，共1911个数据，对于少数缺失数据进行插值法填补，数据来
源于Wind资讯金融终端。银行间7天国债回购利率的走势图如下：
市蜀lI摹老势
19QB-12-6 2D00-12{2∞1-1；5加∞．12{御0事12-5 2L删L-124卸惦-12-4 2衄@-12-4
一肿巾
散据来漂I■m磺讯
图4．1利率走势图
4．2．1平稳性检验
第二节实证分析
检验序列平稳性的标准方法是单位根检验。目前有6种单位根检验方法：
Dickey．Fuller(DF)检验、Augmented Dickey—Fuller(ADF)检验、Phillops-Perron(PP)
检验、KPSS检验、EPS检验和NP检验。本文采用Augmented Dickey-Fuller(ADF)
检验”来检验_甲稳性，所以有必要先介绍DF检验。
为了说明DF检验，先考虑3种形式的回归模型
乃2,oyl—I+“，
Y，2刀Pr—l+口+／A
哪
叭
衢
伽
“
绷
∞
2
￡
2
I
l
1
O
2-导
单因了利率期限结构模掣的非参数估计
y-=PYt-l+盯+声+甜
其中口是常数，芦是线性趋势函数，Ⅳ．一Ⅳ(o，仃2 J。如果一1<p<1，则平稳。
如果P=l，以序列是一阶单整非平稳序列。如果纠>1，序列发散。因此，判
断一个序列是否平稳，可以通过检验P是否严格小于l来实现。也就是说原假
设为Ho：p=l，备择假设为Hi：P<1
从方程两边同时减去y。得
姆t=8))t^七ut
aY,=PY,-1+口+U，
AY,=8))l_+饯+弘+u
所以原假设和备择假设可以改写为风：∥=0HH．：∥<0，其中p=∥一l。
可以通过最小二乘法得到卢的估计值∥，从而可以构造检验矽显著性水平
的f统计量。Dickey．Fuller研究了这个，统计量在原假设下己不再服从t分布，
Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型以及不同样本数下t统计
量在l％、5％和10％显著性水平下的I临界值。这样，就可以根据需要，选择适
当的显著性水平，通过t统计量来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为
Dickey．Fuller检验(DF检验1。
上面描述的单位根检验只有当序列为A则1)时才有效。如果序列存在高阶
滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假定。在这种情况下，可以使用
增广的DF检验方法(ADF检验)来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。
ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量只的滞后差分项来控制高
阶序列相关
上
aY,=勿‘一I+Σ∥—句·一，+越，
缈，：加一。+口+圭谚鱿．，+q
，=J
5
奶=加一l+口+，f+Σ以奶。+q
，；l
原假设和备择假设为Ho：∥=0HHl：∥<0。类似于DF检验，Macldnnon通
过模拟也可以得出在不同回归模型及不同样本容量下检验口在设定显著性水平
下，统计量的临界值，这样我们能够很方便地在设定的显著性水平判断高阶自相
关序列是否存在单位根。
41
第四章实证分析
而本文的检验模型为：
5
弛=∥+咖一I+Σ以缸．，+毛
』=J
其中弘矿，磊，⋯九是估计参数，‘是随机误差项。检验结果见下表
来源银行间7天回购利率
频率每天
样本期间1999年1月--2006年12月
H。：非平稳
ADF检验统计量临界值(5％显著水平)
．3．47 -2．86
表4．2
因为卜_3．47|>-2．86，即ADF检验统计量的绝对值大于其临界值，所以拒绝原
假设，该序列是平稳过程。
4，2．2结果分析
本文以银行问7天回购利率为样本数据，采用Matlab软件进行了广义矩估
计和非参数估计，结果如下表：
我国银行间7天回购利率(1999．I．4--2006．12．25)
表4．3
参数计算
首先考虑参数估计的情况，根据口=一万，∥=一州J和表5．2，可以算出
单因子利率期限结构模型的非参数估计
a-=0．009，口=2．211(Vasieek)， 盯=0．003，∥=4．030(CIR)。再考虑非参
数情况，根据口=一1．a／△，∥=一∥0一万)和上述表2，我们可以分别得到
口=0．012，∥=2．317(OLS的结果)；口=0．007，∥=2．377(FGLS的结果)。
估计结采绚单分析
(1)参数估计结果分析，先考虑Vasicek模型的估计结果，给定显著性水平
a=o．05，从表4．3中可以看出，参数的⋯t值显然都大于临界值，表明参数五、
J与or2的估计值相当显著，从这个角度看，我们可以认为模型能比较好地解释
银行间7天回购市场的利率行为；接着分析CIR模型的估计结果，从表4．3中
可以发现，两个参数的Iflt值小于其临界值，所以，该模型对银行间7天回购利
率的解释力度较差。
非参数估计结果分析，从表中可以看出，无论是OLS估计结果还是FGLS
估计结果，其H值都显然超过临界值，因此关系较显著，这两种估计结果得出
的利率模型对银行问7天回购利率有较强的解释能力。
(2)无论是参数估计还是非参数估计，美国利率的调整速度都快于我国，
这说明美国的金融市场反应比较快。此外，用Vasicek模型算出的美国利率的波
动率大于我国，这符合实际情况，因为美国市场已经比较成熟，而我国属于新
型市场，波动率相对较大；但是CIR模型算出的波动率刚好与上述相反，这说
明Vasicek模型比CIR模型更加符合我国情况。
美国7天欧洲美元存款利率(19731．I--1995．12．25)”
表4．4
第三节参数估计和非参数估计结果的比较分析
这一节主要对参数估计的结果与非参数估计的结果进行比较分析，在以下
的一些图表中横坐标是利率，纵坐标分别是边际密度函数、扩散函数和漂移函
数。
第pq章实证分析
图5．2为样本数据的频率直方图。频率是实际利率水平落在某个区间里的
个数_除以利率水平的样本容量玎，依大数定律兰z P，，所以，当样本容量足
月
够大时，频率可以任意趋向于概率，从而该频率直方图反映了利率水平的真实
分布的基本特征。
图4．2频率直方图
图al、图a2和图a3分别是Vasicek模型的边际密度函数、CIR模型的边际
密度函数和边际密度函数的非参数估计。从中可以看出，边际密度函数的非参
数估计与图4．2频率直方图比较接近，从而更加符合利率的真实分布。而Vasicek
模型的边际密度函数和CIR模型的边际密度函数与直方图偏离较大，其原因主
要是由于这两个模型对利率的分布事先已有假定，而这个假定与利率的真实分
布可能存在较大的偏差，也就是说这两个模型在很大程度上不是根据实际数据
来进行分析的，主要是从事先假定的模型进行分析，而非参数估计就是从利率
的实际数据出发来进行分析，因此，相对而言，密度函数的非参数估计与利率
的真实分布比较接近。
单因子利率期限结构模型的非参数估计
J
图al Vasieek模型的密度函数图b2 CIR模型的密度函数
图a3 边际密度函数的非参数估计
图4．3边际密度函数图
4．3．2寿1散函数的比较
下面图bl、图b2和图b3分别是Vasicek模型的扩散函数估计、CIR模
型的扩散函数估计和扩散函数的非参数估计。从图中可以看出Vasicek模型的扩
散函数估计是一个常数，即不管利率怎么变化，其波动率不变，这不符合实际
情况，而CIR模型的扩散函数估计是随着利率的上升而增大，表明波动率是随
着利率的上升而增大，反映了市场对低利率较易接受，而对高利率比较敏感，
在一定程度上符合实际情况，但是，其波动率是与利率成正比，这与实际情况
相悖。扩散函数的非参数估计也是随着利率的上升而增大，当利率超过3．5以
后就迅速上升，表明市场对高利率比较敏感，这较CIR模型的波动率对实际情
况有更大的解释能力。
第Pq章实证分析
图bl Vasieek模型的扩散函数估计图b2 CIR模型的扩散函数估计
4．3．3漂移函数的比较
图b3 扩散函数的非参数估计
图4．4扩散函数图
下面图cl、图c2和图c3分别是Vasicek模型的漂移函数估计、CIR模型的
漂移函数估计和漂移函数的非参数估计。从中可以看出，这三者都是线性函数。
当r<F时，有正的漂移项，当，>，，有负的漂移项。具体地说，以Vasicek模
型为例，当，<2．211，有正的漂移项，当，>2．211时，有负的漂移项，CIR模
型的漂移项和漂移项的非参数估计有类似结果。因此，这三者在一定程度上符
合了利率的均值回复现象。但是有一定的局限性，漂移项与利率成线性关系这
一点难以符合现实情况，因为一般利率较小时，漂移项增加速率减慢，而利率
较大时，漂移项减少速率增加，P-P币U率较小或较大时，利率的回复程度较大，
因此有必要对漂移项的非参数估计进行改进，使其更加接近现实倩况。
单园了利率期限结构模型的非参数估计
图c1 Vasicek模型的漂移函数估计图e2 CIR模型的漂移函数估计
图c3 漂移函数的非参数估计
图4．5漂移函数图
综上所述，边际密度函数的非参数估计比较接近频率直方图，也就是说其
边际密度函数与利率的真实分布更吻合，这一点也是参数估计的关键缺陷，因
为概率分布基本上决定了统计特征，因此如果在分布方面有很大偏差，接下来
的估计会存在更大的偏差，所以从这方面看，非参数估计方法优于参数估计方
法；从扩散函数看，Vasicek模型的扩散函数是一条与横坐标平行的水平线，
CIR模型的扩散函数是一条向上倾斜的直线，即都是线性关系，这与现实情况
不符，而扩散函数的非参数估计是一条向下凸的曲线，较前两者更符合现实情
况，所以非参数估计总体上优于参数估计。
本章小结
本部分主要进行了实证分析。首先详细分析了研究对象的选择并介绍了银
行间7天回购利率市场和本文选取的样本数据，利用Matiab进行广义矩估计和
非参数估计，最后从漂移项、扩散项和边际密度函数三方面对参数估计和非参
数估计进行了比较分析。
第五章结论及建议
第五章结论及建议
利率期限结构是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投
机等的基准。所以利率期限结构模型以及利率行为的特点一直以来就是金融学
研究的重点。随着我国债券市场的发展，金融创新的不断深入以及利率市场化
进程的逐步推进，利率期限结构问题研究的重要性臼益凸现。但是，目前我国
对这方面的研究仍然停留在主要引用国外利率期限结构模型来分析中国金融市
场特点的阶段，尚未形成对利率期限结构系统性的研究。基于这些背景，本文
以利率期限结构为主要研究对象，从利率期限结构模型理论研究到实证分析，
对利率期限结构进行了系统的分析。
在理论研究部分，本文首先对国内外有关利率期限结构的理论研究和实证
分析进行了比较系统地介绍，接着详细介绍了有代表性的单因子利率期限结构
模型，在此基础上分别介绍了参数方法和非参数方法，并把这两种方法运用到
因子利率期限结构模型中进行估计。在实证研究部分，本文以银行间7天回购
利率为样本数据，用广义矩估计和非参数方法对CKLS连续时间利率期限结构
模型统一框架下的模型进行了分析，并对参数估计结果和非参数估计结果进行
了简单的比较分析，且与美国的情况也作了对比分析，此外，还在漂移函数、
扩散函数和边际密度函数等三方面对参数方法和非参数方法也进行了详细的比
较分析。主要结论如下：
(1)根据国外的基准利率的选择原则并结合我国的实际情况确定我国基准
利率的选择标准：能充分反映市场资金的供需状况；可控性、可测性好；与其他
利率相关性强；稳定性好。针对这几条标准，对再贷款利率、短期国债现券交易
利率、票据贴现利率、交易所国债回购利率、银行间回购利率和银行同业拆借利
率进行对比分析，最后确定银行间回购利率作为我国现阶段的基准利率。
(2)在与以美国7天欧洲美元存款利率作了对比分析后，得出无论是参数
估计还是非参数估计，美国利率的调整速度都快于我国，这说明美国的金融市
场反应比较快。此外，用Vasicek模型算出的美国利率的波动率大于我国，这符
合实际情况，因为美国市场已经比较成熟，而我国属于新型市场，波动率相对
较大；但是CIR模型算出的结果刚好与上述相反，这说明Vasicek模型比CIR
模型更加符合我国情况。
(3)本文以银行间7天回购利率为样本数据，用广义矩估计对Vasicek模型
和CIR模型进行了参数估计，同时用非参数方法对CKLS连续时间利率期限结
构模型统一框架下也进行了估计，然后从漂移函数、扩散函数和边际密度函数
等三方面对参数方法和非参数方法进行了详细的比较分析，得出非参数估计优
单因r利率期限结构模掣的非参数估计
于参数估计。
根据本文的理论分析和实证研究，有如下建议：
(1)目前在我国利率市场化的过程中尚未找到一种完全合适的利率来承担基
准利率的责任，不少人主张选择同业市场拆借利率，理由是它的影响较大，参照
性较强，但由于它受各参与主体拆借用途的影响，波动性较大，变化较快，而且
不太便于调控。相比较而言，银行间回购利率相对于同业拆借更有作为基准利率
的优势，能比较好地满足作为基准利率的要求，具有良好的可控性、稳定性、关
联性和反映市场的能力，因此，本文认为选择银行间回购利率作为我国现阶段的
基准利率是切实可行和合理的。
(2)从第二个结论看出，我国的利率市场的调整速度远不如美国市场的调整
速度，还有，我国的利率波动大于美国的波动率，说明我国的金融市场还属于新
型市场，因此，应该加快利率的市场化改革。利率市场化不但在合理有效配置资
金资源、促进经济增长方面有着重要作用，而且在防范和化解金融风险、有利于
货币政策实施以及加快金融深化的步伐方面有重要意义。
附录
(1)对数正态分布的性覆
附录
随机变量x服从正态分布，其密度函数为
几m1，1)-=k{歹去；。商警。”护∥。如
【O,ys0
r，Z1
①均值：EM=eI,1 J
②方差：varD，】：eo一”2)G，一1)
③k阶矩：￡蚪。(扣+矧
此外，对数正态分布的随机变量服从联合正态分布变量的加总原则，即联
合对数正态分布变量的积和乘方也是对数正态分布。
(2)t分布的定义及其密度函数
设xI’．一，X。独立，X，～．ⅣO，，1)，f=l，⋯，，，则x=Σ．砰的分布称为具有
i=l
自由度刑m心参数占=(喜口矿的z2分布，记为x～办当J=。时，分
布称为中心的，且记为X～Z。具有自由度，l、非中心参数为占的z2分布的密
度函数为
慨班e∥咯班砉K爿。熹筹扔舻。
m卜去等
单因r利率期限结构模窄的非参数估计
孙。帆∞纠观枞弘呲州=睁nrI训-!e训耳x2 I卜。，
当J≤o时，k(x，疗，万)=o。其中rQ)=r∥工”1出a
(3)最小二乘锆计与广义最小二乘估计
我们讨论线性模型
Y=X13+e， E0)=0， Coy(e)=仃21
其中Y为nxl观测向量t X为疗×P的设计矩阵，卢为pxl未知参数向量，
盯2为误差向量，矿2>0。R(x’)=，≤P。若，<P，称上述模型为降秩线性模
型，否则，称为满秩线性模型。
最小二乘估计(LS)
对上述线性模型，若Y的线性函数满足
p一助82=n叫旷即02
正则方程组为
xX8=x'y
解得
a=心x、x1)，。
称∥为∥的一个LS解。
广义最小二乘估计(FGLS)
在实际中存在着许多线性模型，其误差协方差阵为盯2z，or2仍然为未知参
数，所以有必要讨论线性模型
Y=Xfl+e， EG)=0， Cov(O=盯2Σ
在这里假定z>0。故存在唯一的正定对称阵．Σt／2，使得Σ=IΣ”／r。用
Σ{兰(ΣVz)-’左乘，并记歹：Σ{y，j：Z1'X，万：Σ-{“，则得到
夕=劫+“， EO)=0，cbv(Ⅳ)=盯2I
这就化为一般线性的情形了。
对模型用最小二乘法求∥的LS解，即解眵一劫82的最小值问题。正则方
程组为
J芑一1．Y口=j艺一’Y
于是，口的LS解为
夕=∽∥x)-x芑‘。Y
称为广义最小二乘解。
附录
(4)核估计
核函数估计方法是一种非常有效的非参数估计方法，简称核估计。在金融领
域内处理数据时经常无法事先断定样本分布具有某种具体的数学形式，即对样本
的分布是未知的。一些模型往往作了简化，假设金融变量服从正态分布等。如果
实证的结果发现这种假设的分布与实际不相符合，就必须对变量的真实分布进行
估计。核函数估计方法能够有效地估计出密度函数。
设样本置，x2，．一，x。是从具有未知密度厂(x)的一维总体中抽样的简单样本，
要依据这些样本去估计．厂(J)。
最古老而又简便的密度估计方法是直方图，其方法如下：
将整个实轴分成脚个小区间h，q+。)，f=l’．．·，m(通常在-．，口。)内包含了
全部或绝大部分样本点)，设区间k，，a。)内包含了％个样本点(X，，X：，⋯，j0中
有n．个落在区间h，口。)内)。根据频率逼近概率的思想，可用■加去估计总体
分布落在区间k。a。)上的频率，而在区间h，al+．)上的频率密度估计可用
ZG)=÷， 竹△
当z∈k∥。)
去估计，其中A．=口。一al为区间长度。
直方图密度估计具有直观易懂的特点，是对总体分布进行初步分析的一种
简单有效的工具。在作直方图时，区间划分的方式需要根据实际情形和检验来
决定。一般埘个区间应包含全部或绝大部分的样本。另外，州的大小应根据样
本容量挖的大小而定。m过小，则每个区间较大，因此造成区间中心部分的估
计效果好，而在区间端点部分估计效果差；肼过大，则落在每个区间内样本点
较小，使得估计偏差较大。下图给出了用直力图估计正态分布的密度函数的一
个示意图，图中的曲线是正态分布的密度函数曲线，阴影柱是直方图估计的结
果。
Y
015 045 075
X
直方圈宅度估计
单因子利率期限结构模掣的非参数估计
为了克服直方图在区间中心部分估计效果好，而在区间端点附近效果较差
的缺点。一种改进的方法是：对每个x，以](为中心作区问b一矗，x+川，其中h
为事先选定的区间半长度。用月．记样本x。，x：，⋯，X。落入此区间的个数，用
zG)=彘，
去估计密度，b)。由于对每一个工值，都是以它为中心去构造区间，显然这种
密度估计的效果优于直方图的估计，且具有较好的连续性。
记而，z：，⋯，X。是样本观测值，则在任意点x处的核密度估计为：
删=去喜足(等]
其中K(·)为核函数，它通常满足对称性及IK(x垮=1，h为窗宽。上式表明，每
一点的密度函数值都由其周围样本点的半均密度来估计。样本点离待估计的点越
近，它在密度估计中所占的权重就越大。这样以来，如果在某点周围聚集的点越
多，该点的密度估计值就越大，反之越小。从这个意义上说，核密度估计很像直
方图，只不过这里估计的是每一点的密度函数值，而不是像直方图那样估计某一
个区域的密度。
核估计理论的许多文献表明，只要核函数选择合理，其对密度函数估计的影
响并不大。不失一般性，本文采用高斯核，即正态分布函数(并不代表估计的整
个密度函数为正态分布函数)。
(§)密宽的选择
窗宽的选择比核函数的选择更重要，因为选择窗宽的目的就是为了进行核
密度估计，窗宽一般随着样本容量的增大而下降。
如果窗宽h取得太小时，随机性的影响增加，而使夕G)呈现不规则的形状，
这可能会掩盖总体密度函数厂(x)的重要特征。
反之，如果窗宽h取得太大，将会使得夕“)受到过度光滑，无法反映总体
密度函数，(x)的细部特征，如多峰形态或者对称性。
选择估计密度函数的最佳窗宽％。一般使得累积分平方误差(Integrated
Square Error)：
脚阮)=EI肜G)一，b咿出I
达到最小。
注释
注释
1具体参考：于瑾．利率期限结构研究【D】．北京：对外经济贸易大学，2002．
2 Peter James．Option Theory【M】，J．Wiley，2003：29．
’Merton R．C．Theory ofRational Option Pricing【_『】．Bell Journal ofEconomics and
Management Science，1973，4(1)：141一l 83．
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o Chart IC C．，Karolyi G．A．，LongstaffF．A．and Sanders A．B．An Empirical
Comparison ofAlternative Models ofthe Short-Term Interest Rate【J】．Joumal of
Finance，1992，47(1)：1209·1227．
7 Hansen L．P．Large Sample Propegies ofGeneralized Method ofMoments
Estimators【J】．Econometrica,1982，50(4)：1029·1054．
8具体参考附录(1)
9具体参考附录(2)
”具体参考Ait—Sahalia．Y．Nonparametric Pricing ofInterest Rate Derivative
Securities[J]．Econometrica,1996，64(3)：527·560．
¨对任意171，0<，l<⋯<t。<oo，以及任意状态变量而，⋯，石，，联合分布函数满
足P忸，．≤而，·．．，肖～≤x。)=P似”．A≤而，·一，J‘+A s工，)
12具体参考Ait-Sahalia Y．Testing Continuous-Time Models ofthe Spot Interest Rate
【J】．Review ofFinancial Studies，1996，9(2)：385-426．
”具体参考Stanton R．A Nonparametrie ModeJ ofTerm Structure Dynamics and the
Market Priee ofInterest Rate Risk【J】．Journal ofFinance，1997，52(5)：1973—2002．
“∥G算，子，三)：(l具im体—参EO考e(XO,k,sre)n|Xd,a—l(=1x9)8-f5()x),定t)义为：
：掣+掣∥G)+一I塑些0-22 0
G)
a 玉一7 x2
～
”假定仃2似，)=A+o(岔)，然后利用二项近似值
盯(x，)=打6+o口)J胆
=打I+％o∽)一％D(△2‘)+．．t／2
=√一+Ol△÷}
单因了利率期限结构模犁的非参数估计
16具体参考Jiang Q J．Nonparametric Modeling ofU．S．Interest Rate Term Stnlcture
Dynamics and Implication on the Prices ofDerivative Securities m．Journal of
Financial and Quantitative Analysis，1998，33(4)：465-497．
17具体参考：王鹏．我国利率市场化改革中基准利率的选择[D]．上海：上海交
通大学，2094．．
。8具体参考Hamilton J．D．Time Series Analysis[M】，Princeton University Press，
1994：409．
19括号里是，值
20具体参考Ait．Sahalia Y Nonparametric Pricing of Interest Rate Derivative
Securities川．Econometrica,1996，64(3)：527·560．
21对矩阵A。。，一切满足方程组AXA=一的矩阵x，称为矩阵A的广义逆，记
为一一，其中当A为方阵且为可逆的，则A一=A一。具体参考陈希孺，数理统计
引论。
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致谢
致谢
本论文是在导师谢为安老师悉心指导下完成的。从论文的构崽、选题直至论
文的最终定稿，始终得到导师的精心指导，论文的字里行间凝聚着导师的智慧和
心血。导师渊博的学识、严谨的治学态度、开拓创新的工作作风和忘我奉献的高
尚品德使学生受益匪浅，终生难忘。三年的学习和生活，得到导师无微4i至的关
心和体贴，导师的指导不仅在学术上，而且存思想和事业的发展上给学生以很大
的启发和帮助。在此，谨向导师致以衷心的感谢和最诚挚的谢意!
此外，我还要特别感谢陈学彬老师和张陆洋老师在学习和论文研究过程中给
予的关心和指导。还要感谢姜波克老师、刘红忠老师和国际金融系的其他各位老
师，是他们默默无闻的辛勤工作给我们创造了良好的学玎环境。感谢辅导员邵宇
老师和攀登老师，感谢他们在生活上和学习上无微刁i至的关怀。我还要感谢我的
同学钱行、卓华、孙浩中、李宇家、张波、章子琦、郭刚、罗丹、吴亮、胡宇翔
和李飞，感谢他们给予我的帮助。感谢本文所引用文献的作者。
最后衷心感谢父母给予的无私奉献和全力支持。感谢三年来在学习和生活上
给予支持和帮助的所有朋友和亲人们。，
由于本人写作水平有限，本文难免存在许多彳i足之处，敬请各位专家不吝
指『F、批评。
壬术
2007年5月20日
于复旦北区